“万有引力定律”复习课教学

七、利用万有引力定律解题的基本思路七、利用万有引力定律解题的基本思路“万有引力定律”知识复习教学目标：1、系统复习万有引力定律概念2、万有引力定律的引用3、万有引力定律知识拓展（一）把行星绕太阳的运行近似看成是匀速圆周运动，太阳对行星的万有引力提供行星做圆周运动所需的向心力。即mv2Fmv2F二万r2兀r因为v=Tm所以得到f万一n2（T2）不由开普勒第三定律可知小即、=4n2Km①（二）牛顿认为K是一个与行星无关但与太阳质量相关的物理量。①式为太阳吸引行星的力，由牛顿第三定律可判定，行星吸引太阳的的力与太阳的TOC\o"1-5"\h\z质量成正比，得到F万8M②由①②可得：F8mM所以F=GmM（式中G为常量）万r2万r2（三）牛顿进一步认为任何两个物体间的引力也遵循同样的规律，所以得出万有引力mm定律F=G一万r2二、万有引力定律的内容宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比。三、万有引力定律的公式mmF=G-1-2（G=6.67X10-iiNm2/Kg2）万r2四、万有引力定律的适用条件（一）严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用（二）两个质量分布均匀的球体间的相互作用，可直接用公式（式中r为两个球体球心间的距离）（三）一个均匀的球体与球外一个质点的万有引力（r为到球心的距离）（四）两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，也可直接用公式计算，其中r为两个物体质心间的距离。五、对万有引力定律的理解（一）万有引力的普遍性万有引力是普遍存有宇宙中任何有质量物体之间的相互吸引力。它是自然界中物质之间的基本相互作用之一，大到宇宙天体，小到原子核内部，任何客观存有的物质之间都存有着万有引力。（二）万有引力的相互性万有引力是作用力与反作用力，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。（三）万有引力的客观性万有引力非常小，它的存有可由卡文迪许扭称来观察，只有在质量巨大的天体间，它的作用才有宏观物理意义。（四）万有引力的特殊性两个物体间的万有引力，只与它们本身的质量相关，与它们之间的距离相关，和所在空间的性质无关，和周围有无其它物体的存有无关。（五）发现万有引力定律的重大意义它把地面上的运动和天体运动的规律统一起来，第一次揭示了自然界中一种基本的相互作用力，使人们树立了理解宇宙并使用其规律的信心。六、万有引力定律的两个重要推论推论一在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到的万有引力的合力为零，即WF=0证明思路：（1）任取一个球壳，（2）以质点所在的位置为顶点，（3）作两个底面积充足小的对顶圆锥，（4）证明万有引力相等（利用相似比）。推论二在匀质球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体的引力，即F,=Gmmr2把天体的运动看成是匀速圆周运动，万有引力提供其所需的向心力。基本公式如下：GMmmv22兀、==m32R=m（一）2R=m（2兀f）2RR2R2T22212上式中可根据实际情况选用适当的公式实行分析或计算，式积1为引力距离，R2为环绕半径，当R1=R2时，必有一个天体为中心天体，另一个为环绕天体；当R1WR2时，两个均为环绕天体。(1)由GMm=m上得到v=GMR越大，v越小；R2RRR(2)由GMm=m32R得到3=：GMR越大，3越小；R2R3R越大，T越大。(3)由GRMm=m4T-LRR越大，T越大。八、万有引力定律在天文学上的应用(一)利用万有引力定律计算天体的质量1、M=土rl式中r为环绕半径，T为环绕周期。GT24兀2r3GT2例1.假设m'是太阳的质量，4兀2r3GT2质量m'。即Gmm=m（丝）2解得m'r2T2、M=也R为天体的半径，g为天体表面重力加速度G例2仅用引力常量G,地球半径R和重力加速度g,就可求出地球的质量。设地球质量为m’,表面附近物体的质量为，万有引力提供其所受重力。则Gm'mgr2=mg,解得m=。R2G3、M=rv2r为环绕半径，v是运行速度G例3已知月球绕地球作匀速圆周运动的半径为r,月球运行的线速度v,求地球的质量。因为地球对月球的引力提供月球作匀速圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得

解得Mrv2GMmv2解得Mrv2地-月=m—r2月rv3T4、M=v-T-T为环绕周期，v是线速度2兀G例4已知卫星运行的线速度v和运行周期T,求地球的质量。地球对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，则GMm-GMm-2地~卫=m—r2月rGMm2兀-地~卫二m—r2月T两式消去r两式消去r，解得M3T（二）利用万有引力定律计算天体的密度1、p=43RR为天体的半径，g为天体表面重力加速度例1设天体质量为M，半径为R，天体表面有一质量为m的物体，天体表面的重力加速度为g，求该天体的密度。该物体的重力由万有引力提供，则有：GMm=mg且M=pVV=4兀R3R23由上面三个式子解得：p=4兀GR2、p=/Jr为环绕半径，T为环绕周期，R为天体半径GT2R3GMm4兀2=mrr2T2例2设天体的质量为M，卫星的质量为mGMm4兀2=mrr2T24M=pVV=兀R33由上面三个式子解得：p=卫、当r=R时，有p=T为环绕周期GT2R3GT2（三）人造卫星——万有引力定律的具体应用1、人造地球卫星：牛顿曾预言，在地球表面上将物体抛出，当速度足够大时，物体就永远不会落到地面上来，而绕地球做匀速圆周运动，成为人造地球卫星。2、卫星的运动：卫星的运动分为三个阶段：（1）利用火箭发射升空阶段；（2）漂移进入轨道阶段；（3）在预定轨道上绕地球运行阶段人造地球卫星的运动可看作是匀速圆周运动，其所需的向心力由地球对它的引力提供：GMmmv2/2兀、==m32r=m（——）2r=mar2rT3、三种宇宙速度（1）第一宇宙速度（环绕速度）近地卫星轨道半径近似等于地球半径，万有引力提供卫星所需的向心力。则GMmmv2-1一mgR2R所以V=；GM=萩=7.9Km/s是卫星的最小发射速度也是最大环绕速度。\1R（2）第二宇宙速度（脱离速度）V2=..--2V1=11.2Km/s是物体挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造卫星或飞到其他行星上去的最小发射速度。（3）第三宇宙速度（逃逸速度）V3=16.7Km/s是使物体挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度。4、人造卫星的发射速度和运行速度（1）发射速度是指被发射物在地面附近离开发射装置时的速度。（2）运行速度是指卫星在进入轨道后饶地球做匀速圆周运动的线速度。5、人造卫星的超重与失重（1）人造卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动，这两个过程加速度方向均向上，因而都超重。（2）人造卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，所以处于完全失重状态，在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都会停止发生。因此，在卫星上的仪器凡是制造原理与重力有关的均不能使用，同理，与重力有关的实验也将无法进行。6、地球同步卫星相对地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通讯卫星。其特点如下：（1）同步卫星的运行方向与地球自转方向一致；

（2）同步卫星的运行周期与地球自转周期相同；（3）同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度；（4）同步卫星的轨道平面在地球赤道平面上；（5）同步卫星高度固定不变，h=3.6X104Km；（6（6）同步卫星的环绕速度大小一定，V=A=3.1X103m/s；\R+h（7）三颗同步卫星作为通讯卫星，可覆盖全球（有盲区）。7、黑洞问题黑洞是一种密度很大的天体，任何物体都不可能绕它做圆周运动，黑洞的逃逸速度比光速还要大。8、与星球表面的重力加速度有关的问题分析星球表面的重力加速度一方面与星球本身有关：（g=GM）；另一方面从它与运动的R2关系（如：平抛运动、自由落体运动、竖直上抛运动等）中求出。重力加速度是运动学与万有引力、天体运动联系的纽带。9、卫星问题是物理知识在高科技中的综合运用，题目中经常涉及新的科技信息，解决此类问题除了掌握物理学基础知识外，还要关心新的科技动态，对科学知识融会贯通，才能顺利解答。九、万有引力的应用与实例分析（一）物体在赤道上失重的四个重要规律由于地球的自转，使地球上的物体绕地轴做匀速圆周运动，都处于失重状态（两极除外）。且赤道上的物体失重最多。设地球为匀质球体，半径为R，表面的引力加速度g引心g，并不随地球自转变化。1、物体在赤道上的视重等于地球的引力与物体随同地球自转所需的向心力差（FN为视重）：FN=mg—m32R<mg2、物体在赤道上的失重等于物体绕地轴转动所需的向心力：F=FN0—FN=mg—Fn=m32R3、物体在赤道上完全失重的条件：Mg=m302R=mv02/R=m(2n/T0)2R=ma

所以a=g=9.8m/s23=:g氏1—rad/s00RR800R=7.9km/sTR=7.9km/sT=2兀，一=84mm

0\gmgNm(2n/T)2RpN3n/GT2=18.9kg/m3公认值：PmgNm(2n/T)2R（二）重力加速度的基本计算方法1、在地球表面附近（h<<R）处的重力加速度gGMmGM・mg=F->・g=kR2R2「p=3g・P4兀GR「p=3g・P4兀GR4・・g=3G兀pR3、在地球上空距离地心「二口+卜处的重力加速度gR2g7(R+h)2g4、在地球内部距离地心「处的重力加速度g,r；2，与=Rg。地球上不同位置处的重力加速度，随之位置到地心距离变催‘，g′一r图线如图一所示：5、在质量为M、半径为R的任意天体表面上的重力加r2速度g',g’=一Cj）gmR（三）填补法本来是非对称性的物体，通过填补后形成对称性物体，然后在利用对称性物体所满足的物理规律进行求解的方法，称为填补法。例：如图所示，一个质量为M的匀质实心球半径为R,如果从球心挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方，求下列两种情况下两球之间的引力大小？在什么情况下两种计算结果相同?（1）从球心中心挖去（如图二所示）。（2）从与球心相切处挖去（如图三所示）。（四）典型例题

1、运动学与万有引力的结合例：如图四所示，设地球质量为M,绕太阳作匀速圆周运动，有一质量为m的飞船由静止开始从P点在恒力的F作用下，沿PD方向作匀加速直线运动，一年后飞船在D点掠过地球上空，再过三个月又在Q处掠过地球上空。根据以上条件，求地球与太阳引力大小。（设飞船受地球和太阳的万有引力作用不改变飞船所受的恒力F）解：由牛顿第二定律：F=ma且t1=4t2'S解：由牛顿第二定律：F=ma且t1=4t2'SPQ=2小=2Fmt2SDQ=&R由初速度为零的匀加速运动规律可得：SPD：Spq=16：9解得：R=9Ft21图四地球环绕速率：V地球环绕速率：V=绊4F2（6）所以由向心力公式的得到：v2所以由向心力公式的得到：v2F-M——

R9兀2MF8V'2m2、双星运动例：宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，如图五所示，它们以两者连线上的某一点为圆心作匀速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设两者的质量分别为m1、m2，相距为L,求双星的轨道半径之比双星的线速度之比分别为m1、m2，相距为L,求双星的轨道半径之比双星的线速度之比双星的角速度双星的总质量3、万有引力与自旋问题例：某星球“一天”的时间是T=6h,用弹簧秤在星球的“赤道”上比在“两极”处例：测同一物体的重力时，读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？解：设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1,在“两极”处的重力为G2。即

在“赤道”处：G在“赤道”处：GM—G1=ma2R（1）TOC\o"1-5"\h\z在“两极”处：GMm=G2（2）R22依据题意的：（1—G1/G2）X100%=10%（3）设该星球自转的角速度增加到3，赤道上的物体自动飘起来，是指地面与物体间没X有相互作用力，物体受到的万有引力全部提供其随星球自转的向心力。则GMm=mGMm=m32Rx(4)(5)h=1.9h由(1)(2)(3)(4)(5h=1.9hx4、估算星球密度例：如果在一个星球上，宇航员为了估测星球的平均密度，设计了一个简单的实验：30^GT他先利用手表记下一昼夜的时间T；然后，用弹簧秤测一个砝码的重力。发现在赤道上的30^GT5、同步卫星例：某颗地球同步卫星正上方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星。试问：春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12h内有多长时间该观察者看不见此卫星？（地球半径为R,表面重力加速度为g,地球自转周期为T,不考虑光的折射）。T4兀2R1[t=arcsin（—r^-）3]兀gT26、登月工程例：我