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第十一章山东交通学院高等数学教研室第六节高斯公式通量与散度高斯公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有一阶连续的偏导数,函数P,Q,R在面所围成,则有(Gauss公式)

的方向取外侧,或是在点处的法向量的方向余弦.一、高斯(Gauss)公式注：成立条件1.闭曲面2.外侧3.偏导数连续若不闭合，添加求解:其中为边长为a的正方体表面外侧例1计算原式例2

求是所围立体表面的外侧解：原式与其中为部分的上侧解:补下侧原式=例3利用Gauss公式计算积分例4

求是的上侧解：原式补下侧其中为锥面解:补取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧,,,

为法向量的方向角.所围区域为,则例5利用Gauss公式计算积分定义:设有向量场其中P,Q,R

具有连续一阶偏导数,

是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,为向量场A

通过有向曲面的通量(流量).在场中点M(x,y,z)处称为向量场A

在点M

的散度.记作二、通量与散度的散选度。解：例6.求向诞量场2.通量塞与散嫩度设向做量场P,Q,R,在域G内有境一阶清连混续偏导趋数,则向量帐场通悄过有意向曲冒面的通用量为G内任伙意点盼处的闸散度趟为(n为的单位法向量）内容都小结高斯历公式改及其醉应用公式:应用:计算提曲面斗积分(非闭运曲面众时注庆意添丢加辅择助面难的技昨巧)思考轰与练崇习所围谎立体,判断章下列吼演算洞是否装正确?(1队)(2幕)为1.2.设是一根光滑斤闭曲醒面,所围耻立体的体是外法雅线向躲量与套点(x卷,臣y浆,祸z)的向拖径试证:证:设的单捉位外巨法向菜量为则的夹何角,积为V,高斯(1百77许7脾–坚18怜55啄)德国灵数学站家、跳天文增学家勾和物恰理学芬家,是与捷阿基紧米德,牛顿锈并列富的伟疤大数拐学家,他的忽数学飘成就青遍及犬各个残领域,在数掉论、级数顽、复小变函柜数及阻椭圆锤函数辰论等彼方面赢均有昼一系谱列开楚创性的泳贡献,他还叛十分傲重视跑数学啦的应我用,地测躁量学能和磁排学的柔研究辣中发晚明和蚕发展美了最梦小二孟乘法姻、曲面腿论和遵位势套论等.他在碍学术秩上十识分谨殊慎,原则:代数弱、非蠢欧几揉何、碌微兔分几晃何、伍超语几何在对银天文质学、杨大恪守究这样谈的“问题脂在思能想上报没有蝇弄通提之前桶决不万动笔页”.其中为例2.利用

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