排列组合二项式定理与概率及统计

1主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略排列与组合是高中数学中从内容到方法都比拟独特的一个组成局部，是进一步学习概率论的根底知识，该局部内容，不管其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复〞或“遗漏〞的错误，并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的根底知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．概率那么是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好根底，做好铺垫．学习中要注意根本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右．排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.〔4〕某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法〞；〔5〕某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法〞；在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；琴(2界)矛通过节分析严确定厚运用孩分类两计数稳原理尤还是躺分步掠计数得原理姑；徐(3谦)片分析登题目像条件炒，避轿免掉“外选顿取洗〞迹时重倚复和增遗漏吓；票(4榴)派列出赏式子猾计算饼和作战答．吨二、爸典例龄剖析画题型贿一：数排列坝组合转应用此题甩触解溜决没此类踢问题州的方巧法是劲：直速接法起，先肌考虑脏特殊骑元至素〔其或特绑殊位箭置〕转，再遭考虑珠其他牙元素书〔或穗位置惑〕；键间接邮法，厘所有免排法更中减业去不挖合要絮求的翠排法拘数；园对于甜复杂颤的应僚用题狗，要筹合理衣设计轧解题闲步骤芝，一混般是塞先分屯组，授后分汗步，碧要求窄不重便不漏老，符闲合条蒜件．抢例草1位、牧〔练0拒8铅安徽邀理酸1学2愁〕质1君2旁名同报学合贷影，毅站成印了前愁排顾4宋人后亩排驰8僚人．缸现摄跳影师难要从纺后络排头8念人中春抽膝2斤人调颜整到透前排爪，假设坟其他划人的嘱相对开顺序棵不变坑，那么聚不同陪调整桃方法勿的种迎数是画〔活〕紧A犬．薄B臂．胆C牵．抵D誓．解：餐从脱后而排抱8肥人中销选恒2慕人共鹿种选舟法，韵这劝2笼人插边入前胀排轨4充人中炭且保默证前啦排人成的顺弃序不地变，父那么先收从美4镜人中哥的话5龟个空往挡插孔入一谋人，诸有考5指种插砌法；匙余下株的一灯人那么额要插费入前哥排渔5抵人的周空挡误，财有爪6布种插妹法，香故为凳；综略上知淡选印C旨．寇例订2驱、剂〔嘉0鄙8达湖北伞理欠6待〕染将坏5伪名志菊愿者增分配巾到引3拉个不帝同的鸟奥运远场馆位参加怖接待妖工作候，每况个场论馆至天少分状配一枯名志浮愿者伟的方皮案种稠数为瞒〔号〕喉A沈．柴54迎0鬼B艰．神30借0雹C菠．愤18馒0哪D木．委15仪0解：工将穴5扇分成祝满足禽题意我的爷3芒份窝有便1够，幼1狮，明3嚷与志2制，担2签，写1泄两种回，所俯以共滨有售种方佣案，存故颜D谈正确短．揭例阳3痰、四灯棱锥微的杜8阵条棱勾代仅表冠8关种不页同的替化工沟产品用，有凡公共蒜点的陵两条雨棱代诉表的狂化工挖产品项放在蚊同一胜仓库仔是危作险的深，没马有公奏共顶浸点的段两条皂棱代困表的手化工测产品脑放在吸同一弯仓库丽是安负全的封，现蜂打算遇用编穿号为糊①妖、绕②蚁、琴③早、织④抵的吩4费个仓锋库存猫放美这茄8炉种化背工产委品，怎那么颗平安事存放脖的不闪同方术法种絮数为捐〔揉〕路A行．组9易6赛B柿．扯4层8馆C渠．累2欺4就D霜．忌0解：遭寄由题市意分踪析，密如图著，先蒜把标术号凡为恢1恰，敏2充，缸3曾，杏4蠢号化胡工产岁品分烫别放咬入奏①②姓③④迁4菌个克仓库叮内共朝有稳种放扔法；故再把膏标号骑为轧5具，师6撕，彼7素，阵8谋号化圣工产村品对达应按夕要求肠平安妄存放惹：抹7请放入将①搞，奥8乡放入隐②角，新5分放入松③抽，简6敌放入江④县；或通者费6繁放入罗①返，吸7塑放入饺②纵，额8桑放入呈③略，拥5观放入历④屋；两毅种放备法．奶综上纸所述权：共咬有悼种放挂法．俯故完选裕B新．饲例爪4廉、酬在正驳方体圈中，舍过任出意两凶个顶匆点的狼直线遇中成跃异面摇直线莲的樱有梅__洲__旋__挥__卷__舅_估_堆对．尺解法暮一：践锡连成究两条谋异面看直线描需秤要任4素个点喜，因米此在久正方面体极8读个顶乓点中温任惜取份4宗个点裙有叼种取患法．辟每朗4丙个点弓可分赤共面普和不孔共面森两种票情况港，共应面的互不符喘合条屡件得星去阿掉称.锯因为兔在骨6种个表址面殖和文6赵个体胁对角挽面中剖都有部四点绩共面持，故扯有粪种．堆但不成共面劳的掌4补点可复构成陡四面文体，伴而每盲个四蛙面体亮有能3为对异痕面直畏线，狗故共蜻有摆对．贿解法瘦二：锻茄一个件正方币体共费有扎1雄2沟条棱兄、个1喇2拳条面宁对角树线计、择4五条体座对角熄线，苹计翻2阅8状条，兔任取读两条虏有悟种情症况，发除去瞒其中营共面坝的情刻况：瓜〔盏1业〕仙6隔个表垦面，棉每个刑面上蠢有渠6唉条线奴共面旗，共严有早条；秧〔自2蹈〕跪6愁个体咬对角销面，秒每个泥面上吹也微有务6智条线静共面沃，共阔有秩条；碧〔恶3茅〕从罢同谅一顶香点出广发急有舒3答条面跑对角列线，掘任意凉两条姨线都茶共鸦面，误共有券，故椅共有鸡异面扬直线糕－妹－杂－淡=1档7蓬4书对．欠题型切二：闯求展谅开式只中的铜系数荣例坐5男、这〔偶0凳8苏广东射理喘1饿0隙〕已装知雹〔授是正视整数窑〕的穗展开让式中井，绳的系艇数小截于絮12厦0上，那么务__坡__得__肠__跪_贴_默．解：仰按二促项式吹定理苦展开盒的通焦项为纹，我净们知坑道疾的系冲数为土，即冶，也擦即排，而平是正侨整数芳，故餐只能目取床1翻．柳例莫6恨、悉假设多所项式受，牲那么烤a灭9摸等于朴〔壳〕焰A券．仿9栋B属．语1筹0士C奔．征－婶9有D蜜．咬－痛10解：=∴．俩例辟7橡、艘展开教式中季第暮6饱项与衣第柴7砖项的勇系数啊的绝即对值桂相等脸，求先展开扣式中樱系数订最大粪的项暴和系卫数绝榨对值架最大溪的项狼．解：燥，依姑题意嚷有俊，统∴射n=兆8思．那么惨展开害式中呀二项摧式系夜数最闷大的验项为亩．榜川设壁第蓄r斧＋螺1序项系堂数的续绝对浙值最贼大，丸那么有．迫除那么柏系尼数绝膛对值础最大攻项为佣．诱例蝇8骂、呈求证彩：祥．钟证：店〔法预一〕止倒序寒相加肥：设扫①尾固又陵∵径②萝∵躁，晴∴吓，涨壶由位①拜＋清②辰得：魄，洽∴溜，垫父即荒．宪晒〔法伟二〕竹：左慌边各众组合岭数的沙通项拥为丹，∴．驾秩〔法妨三〕蛮：朗题型膝三：读求复材杂事穿件的锣概率舍例钞9鞭、奋〔偷0铃8纽福建息理臭5跃〕某固一批白花生窜种子疼，如劲果再每瓣1胀粒发心芽的玻概率鞋为狸，那获么播闯下剩4献粒种引子恰决有里2玩粒发讲芽的搭概率培是〔娇〕册A涨．稳B风．甩C贺．凯D遥．固解：雁由评．皂例痕1畅0挨、扇甲、误乙两宴个围淹棋队王各沾5宏名队合员按咬事先山排好其的顺究序进赖行擂拘台赛磁，双峰方刷1网号队会员先势赛，年负者烤被淘雁汰，妙然后典负方积的队帆员喜2色号再昆与对善方的相获胜训队员耕再赛棵，负拐者又墨被淘撞汰，歪一直三这样际进行祖下去宫，直涛到有约一方慧队员宏全被信淘汰厉时，孔另一呜方获乎胜，许假设耐每个贞队员革的实碗力相候当，菌那么甲响方沾有顾4犁名队艺员被悟淘汰活，且医最后伟战胜腔乙方蹦的概诸率是娱多少吨？解：杜忘根据能比赛票规那么司可知贸，一钢共比椅赛狼了颤9详场，净并且夕最后焦一场摧是甲倡方我的薪5叹号队铃员战腊胜乙跳方天的挡5贼号队宣员，嗓而甲约方的团前劲4投名队圈员在哲前驴8期场比翅赛中虫被淘艰汰，悬也就污是颠在值8假次独炼立重傻复试驼验中颜该事哲件恰激好发盯生畜4透次的破概率清，可蚁得巾，又睡第舒9朽场甲筝方戚的树5闹号队尚员战差胜乙纱方港的雕5饱号队痰员的献概率源为样，所继以所齿求的忌概率矮为韵．垫题型痛四：陕求离检散型惹随机甩变量松的分享布列置、期杀望和前方差念例斗1震1逐、侧某先躲生居盗住在表城镇圆的移A滑处，客准备干开车秀到单乓位腿B蜡处上灰班好.搭假设球该地愿各路瓣段发其生堵办车事馆件都宾是相爷互独速立的鞭，且酬在同岛一路唉段发回生堵阀车事货件最性多只扩有一赢次，逼发生卸堵车器事件起的概校率如老图．而〔例美如遭：热A弄→城C涌→阅D粘算作塔两个叠路段练：路制段敏A帜C通发生把堵车宏事件壮的概迟率为踩，路验段叛C多D痕发生鸟堵车岭事件掌的屡概率剑为余〔孝1亲〕请她你为摸其选核择一衔条社由涛A唇到赏B平的路赏线，秀使得河途中倘发生甚堵车辉事件季的概夸率最笋小；形〔露2惕〕假设删记路哑线厕A粪→胶C幻→染F寨→佩B殃中遇明到堵搁车次绍数为狂随机肢变量岁，求垮的数以学期屿望解：滤〔怒1致〕记诚路宁段凳M平N渡发生竖堵车详事件吼为组M木N净．因夏为各蜜路段余发生背堵车困事件脖都是胞独立逮的，仔且在杏同一孕路段烟发生诚堵车钻事件帮最多咳只有颠一次妻，所玉以路剖线疑A灭→殃C幼→渡D驶→备B音中遇忌到堵亡车的乡概暴率扫P仆1临为测=鸭1亡－眉[甩1狸－债P浇〔哪A姜C魂〕垂][关1读－广P祝〔裳C厨D割〕冒][徒1献－煮P奖〔董D算B沸〕辆]座=救1扁－哑；敬同理叼：路垂线丙A可→素C商→婚F注→释B蜘中遇侮到堵面车的础概陡率握P猜2爷为惧1勒－者P表〔锄〔小搞于洋〕．仗路勾线脏A什→打E随→谎F果→主B绢中想遇到轮堵车巡的概黄率肤P岁3尘为膜1岁－择P肌〔追〔小芽于道〕．哪妈显然需要使桥得凡由扣A奏到级B饱的路性线途名中发好生堵望车事马件的氧概率规最小笛．只耍可能办在以煎上三允条路债线中极选择皮．因环此选甚择路健线徐A闹→魔C男→厘F矩→浓B假，可卸使得面途中班发生西堵车锋事件犁的概圾率最葛小．峰〔渴2沈〕路快线跌A雀→嗓C吃→编F袜→梁B焦中遇玉到堵价车次摇数漫可取表值夏为括0百，尚1昌，搏2址，供3稀．吃答：换路畏线篇A咐→秤C屡→养F员→厌B比中遇设到堵猎车次挂数的信数学宇期望异为唇例办1筋2例、半如图迫所示剪，甲睬、乙通两只岸小蚂流蚁分酸别位速于一呆个单宋位正省方体拘的披点和观点，麻每只怎小蚂译蚁都蹲可以皱从每洒一个铺顶点铃处等逐可能愿地沿挡各条两棱向叔各个唱方向该移动爆，但瓜不能亚按原捎线路斗返回侄．比状如，文甲在泄处时浙可以耳沿炒、米、看三个火方向滨移动良，概策率都尤是脾；到混达核点时年，可翠能沿缩、休两个惊方向习移动舞，概电率都广是棒，已拆知小搁蚂廊蚁每奋秒钟版移动值的距贞离杜为勇1豆个单辞位．伏(雀Ⅰ杠)瑞假设甲乏、乙越两只盟小蚂梅蚁都暂移港动惊1喘秒钟浸，那么男它们脚所走创的路客线是络异面训直线浸的概香率是鉴多少爬？它锣们之要间的激距离瑞为壶的概验率是边多少抱？慨(兵Ⅱ伏)地假设乙货蚂蚁巡不动收，甲纷蚂蚁匪移悬动华3公秒钟戒后，罗甲、粪乙两钩只小眨蚂蚁惧之间差的距倘离的舟期望距值是竭多少焦？解：肢(膀Ⅰ它)胸甲蚂售蚁移洒动反1己秒可球以有齿三种舰的走踢法：阴即沿愁、洽、巷三个获方向碌，当草沿沙方向燥时，非要使刻所绒走的角路线蔑成异会面直戴线，钟乙蚂枝蚁只洪能沿铲、抗C娃1服C分方向宣走，补概率娱为碌，同桑理当悦甲蚂止蚁沿拌方向艺走时浩，乙章蚂蚁奸走合、洞C清1徒C股，概薯率为杀，甲斯蚂蚁赞沿料时，锻乙蚂店蚁走育、偏，概娘率为铜，因桑此他烟们所氧走路端线为只异面常直线壁的概拘率为选；暮聚甲蚂发蚁移海动妻1爆秒可弦以有优三种换走法欣：即摸沿叔、沫、旨三个欺方向联，当济甲沿佩方向躺时，临要使荡他们部之间尽的距高离为慢，那么尝乙应浪走衣，此失时的佛概率果为待，同狠理，仙甲蚂犁蚁沿锁方向房走时兔、甲冤蚂蚁推沿箩方向牵走时所，概御率都比为关，所从以泪距离他为娘的概惧率为秘．厕(照Ⅱ蝶)某假设乙仪蚂蚁伟不动悟，甲遇蚂蚁闲移杆动秃3取秒后侧，甲辞乙两冒个蚂跑蚁之方间距饮离糊的取同值有愧且只寄有两柄个：讨和尊，当录时，楼甲是宅按以风下路对线中叮的一凤个走型的：脱、序、姿、沙、地、家，所逮以其貌概率基为赞，当浙时，价甲是掠按以宣下路车线中唐的一摆个走灾的：偷、栋、么、商、舱、府、呆所以损其概惨率为截，所根以三贱秒后伸距离锦期望衬值为己．氧例牵1浪3趟、善〔省0迫8啦湖北牧理跳1趟7孔〕袋内中妈有冒2乱0敏个大无小相蹲同的跳球，脊其中绝记捉上善0泡号的获有因1命0茂个，跃记洪上帐n湖号的缘有量n必个尚〔剂n=凶1钟，可2念，硬3棋，骗4块〕迅.忆现从携袋中式任取行一球草．铸ξ庄表示疾所取沫球的都标号个．远井〔答Ⅰ秩〕障求哄ξ硬的分柏布列磁，期眉望和奔方差硬；轻何〔半Ⅱ挺〕洒假设缓η醉=写a旬ξ研－惯b绢，大E徐η或=流1努，搅D筒η顾=1饿1外，试理求元a香，尽b深的值报．尘解：被〔舞1里〕的隶分布启列为亏：母0成1旬2湖3祝4闭所以墨．肾〔禁2芦〕由战，得伙，即丝，又佛，所旷以当起时，醒由弓，得焰；当怠时，希由销，得衡．煤，或犹，即兰为所嫂求．该题型愿五：欠统计请知识阿例疼1焰4更、务〔坡0应8电广东肆〕某堂校共开有学林生痛20杏0休0模名，炮各年粉级男保、女弊生人言数如楼下表片．已晋知在笨全校如学生箩中随疏机抽签取鼻1迹名，劝抽到输二年艳级女占生的腥概率绕是未0.洞1阿9至．现愧用分收层抽黎样的跨方法漆在全岛校抽笔取尽6趣4袭名学番生，扇那么应阳在三穗年级舍抽取炮的学备生人尿数为逢〔脑〕唇一年际级瓶二年加级术三年漆级裤女生劣37遮3如男生见37占7络37啊0抛A络．茎2愿4评B护．平1基8斩C以．煮1陈6啊D招．刷12解：辈控依题栏意我群们知忙道二聋年级找的女帝生办有疫38迹0森人，脖那么奶三年宿级的冠学生智的人搬数应随该雨是廉50顾0填，即绕总体卷中各惜个年品级的包人数晒比例蚕为赔，故东在分筝层抽长样中济应在章三年谣级抽麻取的畜学生染人数毁为链．梳答案钥：艳C葡例胡1太5晒、劝在某塌校举取行的帽数学后竞赛饥中，便全体给参赛辜学生鼠的竞业赛成食绩近闷似服怠从正瓦态分纺布刷．已避知成尿绩蜘在确9葬0客分以嘉上〔般含略9搅0度分〕袄的学剪生蹄有仗1棋2秀名．伐澡〔刻Ⅰ嗽〕试冤问此造次参绍赛学程生总渐数近约为妄多少季人？饺份〔蓝Ⅱ扮〕假设殃该校厉方案盼奖励等竞超赛成再绩排方在级前屡5煎0守名的笼学生勒，试晋问设释奖的突分数陶线约井为多戴少分稿？可四共查丸阅的迎〔部颠分〕夹标准药正态别分布垂表匙．接0遇1摸2热3困4凡5画6芬7近8席9冒1.讲2归1.按3副1.栋4鹊1.资9允2.斩0亚2.响1对0.滑88贫49川0.坡90认32图0.减91页92恭0.钥97避13佛0.愁97舱72番0.锻98给21拉0.轧88巡69厘0.南90贵49趴0.斑92息07抢0.垒97垫19旦0.窃97掘78飞0.泽98绑26堆0.许88要8洞0.瓜90苹66霞0.麦92肝22捏0.荡97雷26遮0.目97终83喘0.沾98鼓3类0浩0.径89嫁07浊0.绞90驻82吊0.各92基36俭0.慧97补32吨0.盼97巧88暗0.邪9痒83主4弄