浙江省绍兴市丰惠镇中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

浙江省绍兴市丰惠镇中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设曲线C:x2=y上有两个动点A、B，直线AB与曲线C在A点处切线垂直，则点B到y轴距离的最小值是 （

）

A．

B．

C．

D．2参考答案：C2.下列说法正确的是（

）A．“为真”是“为真”的充分不必要条件；B．已知随机变量，且，则；C．若，则不等式成立的概率是；D．已知空间直线，若，，则．参考答案：B3.已知函数，若函数有3个零点，则实数a的取值范围是（）A.[0,4) B.[0,2) C.(－∞,4] D.(－∞,2]参考答案：B【分析】利用导数可求得时的单调性和最值，从而可得的图象；将问题转化为与有个交点，通过数形结合可求得结果.【详解】当时，当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减时，由此可得图象如下图所示：若函数有个零点，则与有个交点由图象可知：当时，与有个交点本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果.4.O为原点，F为y2=4x的焦点，A为抛物线上一点，若?=﹣4，则A点坐标为(

)A．（2，±2） B．（1，±2） C．（1，2） D．（2，2）参考答案：B【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出F的坐标，设出A的坐标，利用向量的数量积求解即可．【解答】解：y2=4x的焦点F（1，0），设A（，b），∵?=﹣4，∴（，b）?（1﹣，﹣b）=﹣4，解得b=±2．A点坐标为：（1，±2）．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力．5.若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则直线与曲线围成的封闭区域的面积为（

）．A． B． C． D．参考答案：C展开式中第项与第项的二项式系数相等，所以，解得，那么与围成的封闭圆形区域的面积为．故选．6.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（

） A.

B.

C.

D.参考答案：D7.已知三棱锥中，，，若三棱锥的最大体积为，则三棱锥外接球的表面积为A.π

B.8π

C.12π

D.π参考答案：C8.要得到函数的图象，只需将函数的图象A.向左平移个单位 B.向右平移单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位参考答案：B因为，所以只需将函数的图象向右平移单位，选B.9.已知函数f(z)＝x2＋2cosx，f’(x)是f(x)的导函数，则函数y＝f’(x)的图像大致为参考答案：C10.函数的反函数是A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a=dx，则二项式（x2﹣）9的展开式中常数项为．参考答案：5376【考点】二项式系数的性质．【分析】利用定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出常数项即可．【解答】解：a=dx=ln（x+1）=lne2﹣ln1=2，∴二项式（x2﹣）9展开式的通项公式为Tr+1=?（x2）9﹣r?=（﹣2）r??x18﹣3r，令18﹣3r=0，解得r=6；∴展开式中的常数项为（﹣2）6?=64×84=5376．故答案为：5376．12.已知函数，其中为自然对数的底数，若函数与的图像恰有一个公共点，则实数的取值范围是

．参考答案：或13.设F1，F2为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.参考答案：由已知可得，．．设点的坐标为，则，又，解得，，解得（舍去），的坐标为．

14.设向量，，则的坐标为

，

．参考答案：(4,3),515.已知向量的夹角为120°，且|的值为_______.

参考答案：-8略16.某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1—50号，并分组，第一组1—5号，第二组6—10号，……，第十组46—50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为___

的学生.参考答案：37因为，即第三组抽出的是第二个同学，所以每一组都相应抽出第二个同学。所以第8组中抽出的号码为号。17. 若双曲线的一条渐近线方程是,则此双曲线的离心率为

.参考答案：.而已知是一条渐近线方程，则有，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣2x（1）当a=0时，求证：f（x）＞0恒成立；（2）记y=f′（x）为函数y=f（x）的导函数，y=f″（x）为函数y=f′（x）的导函数，对于连续函数y=f（x），我们定义：若f″（x0）=0且在x0两侧f″（x）异号，则点（x0，f（x0））为曲线y=f（x）的拐点，是否存在正实数a，使得函数f（x）=ex﹣ax2﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为，若存在求出a的值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】导数的运算；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用导数和函数的最值的关系，即可证明，（2）根据定义求出二次导数，再根据导数的几何意义，求出切线的斜率，即可求出a的值．【解答】解：（1）∵a=0，f（x）=ex﹣2x，∴f′（x）=ex﹣2，令f′（x）=0，解得x=ln2，当f′（x）＞0，解得x＞ln2，函数单调递增，当f′（x）＜0，解得0＜x＜ln2，函数单调递减，当x=ln2时，函数有最小值，f（x）＞f（ln2）=eln2﹣2ln2=lne2﹣ln4=ln＞0，∴f（x）＞0恒成立；（2）∵f（x）=ex﹣ax2﹣2x，∴f′（x）=ex﹣ax﹣2，∴f″（x）=ex﹣a，令f″（x0）=ex0﹣a，解得x0=lna，a＞0，∵拐点处切线的倾斜角a为，∴k=tan=﹣，∴lna=﹣，解得a=＞0，∴存在正实数a═，使得函数f（x）=ex﹣ax2﹣2x在其拐点处切线的倾斜角a为．【点评】本题考查了导数和函数的最值的关系，以及导数的几何意义，属于中档题19.在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义。（1）若，，求；（2）若，证明：若位置向量的终点在直线上，则位置向量的终点也在一条直线上；参考答案：

20.已知函数的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的值域．参考答案：【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的定义域和值域；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再根据它的周期为π求得ω的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，根据及正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵=．…∵函数f（x）的最小正周期为π，ω＞0，∴，解得ω=1．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∵，∴．…当，即时，f（x）取最大值；…当，即时，f（x）取最小值．…∴函数f（x）的值域为．…（13分）【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的周期性的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．21.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅱ）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四个点在同一个平面内；（Ⅲ）当PA＝AB＝2，二面角C－AN－D的大小为时，求PN的长．参考答案：【知识点】利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题空间的角垂直【试题解析】（Ⅰ）证明：在正方形中，，

因为平面，平面，所以．

因为，且，平面，

所以平面

（Ⅱ）证明：因为平面，平面，

所以

在中，，，

所以．

在正方形中，，所以，

所以

可以确定一个平面，记为

所以四个点在同一个平面内

（Ⅲ）因为平面，平面，

所以，．

又，如图，以为原点，

所在直线为轴建立空间直角坐标系，

所以．

设平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为，

设，

，

因为，所以，

又，所以，即，

取，

得到，

因为，

所以，即，

取得，到，

因为二面大小为，所以，

所以

解得，所以

22.如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．（1）若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；（2）证明：平面BDE⊥平面BCD．（3）求三棱锥D﹣BCE的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】（1）连接MN，则MNCD，由侧视图可知AECD，故MNAE，于是四边形ANME为平行四边形，得出AN∥EM，于是AN∥平面BDE；（2）由AB=AC可得AN⊥BC，由侧面BCD⊥底面ABC可得AN⊥平面BCD，故而EM⊥平面BCD，于是平面BDE⊥平面BCD；（3）以平面BCD为棱锥的底面，则EM为棱锥的高，利用直棱柱的结构特征计算棱锥的底面积和高，得出体积．【解答】（1）证明：连接MN，则MN是△BCD的中位线，∴MN∥CD，MN=CD．由侧视图可知AE∥CD，AE=CD，∴MN=AE，MN∥AE．∴四边形ANME为平行四边形，∴AN∥EM．∵AN?平面CME，EM?平面CME，∴AN∥平面CME．（2）证明：由俯视图可知AC=AB，∵N是BC的中点，∴AN⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BC