初中数学方程与不等式模块2-5一元二次方程讲义（含答案解析）

一元二次方程题型练

题型一：一元二次方程相关定义

一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的多项式方程.

一元二次方程经过整理都可化成一般形式K2+法+°=0（a¥0）,其中打2叫作二次项，a

是二次项系数；叫作一次项，6是一次项系数；c叫作常数项.

是方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

①一元二次方程的定义

例1.1下列方程中，是一元二次方程的是（）

A.2x-3=05.x2-2y=0C.x2+—=-3D.x2=0

X

【详解】

解：/、是一元一次方程，故N不合题意：

B、是二元二次方程，故8不合题意；

C、是分式方程，故C不合题意；

。、是一元二次方程，故。符合题意.

故选：D.

变式1.1

1.要使方程（。-3）/+e+1）》+。=0是关于x的一元二次方程，则（）

A.aWOB.aW3

C.aW3且bW—1D.aW3且bW—1且cWO

【答案】8

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义即可得答案.

【详解】•••（。-3卜2+仅+1卜+。=0是关于x的一元二次方程，

/•a—3w0,

解得：a手3,

故选：B.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关

键.

②一元二次方程的一般式

例1.2一元二次方程(1-3x)(x+3)=2x2+l的一般形式是；它的二次项系数是,

一次项系数是,常数项是.

【详解】

解：一元二次方程(1-3x)(x+3)=2x2+l的一般形式是5N+8x-2=0；它的二次项系

数是5,一次项系数是8,常数项是-2

故答案为：5/+8x-2=0,5,8,-2

变式1.2

2.方程(m-l)x问+「4x+3=0是一元二次方程，则加满足的条件是：，此方

程的二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：

【答案】①.(2).-2③.-43

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义解答即可.

【详解】解：根据题意得,|训+1=2且〃?-1W0,

解得m=\或-1且

所以，m=-\,

m-1=-1-1=-2,

所以，此方程为一2X2—4X+3=0，

所以，此方程的二次项系数为-2,一次项系数为-4,常数项为3.

故答案为：m=-1；-2,-4,3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数

且存0)特别要注意#0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形

式中a/叫二次项，法叫一次项，c是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数，一

次项系数，常数项.

③一元二次方程的解

例L3关于X的一元二次方程（"1）x2+X+/-1=0的一个根是0,则a值为（）

418.-IC.1或-1D—

2

【详解】

解：把x=0代入一■元二次方程（a—1）x2+x—1+“2=0得-1+〃2=0,

解得。1=1，02——1,

而a—1^0,

所以a的值为一1

故选8.

变式1.3

3.已知m是方程x2—X-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于（）

A.2B.1C.0D.-1

【答案】8

【解析】

【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，把x=m代

入所得的式子仍然成立，m2-m-l=0,即可求出m2-tn.

【详解】•••m是方程x2-x-l=0的一个根，

••.把x=m代入方程X2-X-1=0可得

m2-m-l=0,

即m2-m=l,

故选择：B.

【点睛】本题考查一元二次方程的解的意义，和代数式求值问题，关键是掌握一元

二次方程的解的性质，运用整体代入的方法解题.

题型二：解一元二次方程

直接开方法：

①第一步，先化为a/=。的形式.

②第二步，方程两边直接开平方，分别把解写出来就完成了.

①直接开平方法

例2.1解方程：（2X-1）2=9（直接开平方法）

【详解】

（2x-l）2=9,

开方得：2x-l=3或2x-l=-3,

解得：X,=2,x2=-1

变式2.1

4.用直接开方法解方程：（X-1）2=（4-2X）2

【答案】X]=§,乂2=3

【解析】

【分析】两边直接开平方即可.

【详解】两边直接开平方得：X—l=4-2x或X—l=2x-4

解得：Xj=1,x2=3.

【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未

知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成/=a（a>0）的形式，

利用数的开方直接求解.

②配方法

配方法：

①第一步，先化为aN+bxnc的形式.

②第二步，两边同时加上一次项系数6一半的平方，

③变形整理，配成完全平方形式，

④然后直接开平方，分别把解写出来就完成了.

（若二次项系数不为1,需要先进行化简在计算）

例2.2一元二次方程4——4x—3=0配方后可化为（）

【详解】

解：V4x2-4x-3=o.

4x2-4x=3>

23

则nlx-x=-，

4

.2131_1、2,

•.~xH——I—,BP（zx—）"1,

4442

故选：B.

变式2.2

5用配方法解下列关于x的方程

（1）X2+12X+25=0（2）2x2+4x-1998=0

【答案】（1）玉=—6+而，X2=-6-VTT；（2）X,=-i+ioVio,x2=-i-ioVio

【解析】

【分析】（1）根据配方法，先把常数项移到等式右边，再两边同时加上36,等式左

边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果；

（2）根据配方法，先把二次项系数化为1,然后把常数项移到等式右边，再两边同

时加上1,等式左边凑成完全平方形式，再直接开平方得出结果.

【详解】（1）x2+12x+25=0

X2+12X+36=-25+36

（x+6）2=11

x+6=±Vn

%1——6+Jl1,X]=-6-A/11；

（2）2x2+4x-1998=0

x2+2x=999

X2+2X+1=999+1

（x+1）2=1000

x+l=±10V10

玉=-1+10而，x2=-i-ioVio.

【点睛】本题考查一元二次方程的解法一一配方法，解题的关键是熟练掌握配方法

的方法.

③根与判别式的关系

△=〃-4ac>0有两个不相等的实数根，

△=b2—4ac—0有两个相等的实数根，

A=b2-4ac<0无实根

例2.3下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是()

A.x2-x+—=08.x2+2x+4=0C.x2—x+2=0Dx2—2x=0

4

【详解】

A.此方程判别式△=(-l)2-4xlx』=0,方程有两个相等的实数根，不符合题意；

4

8.此方程判别式△=22-4xlx4=-12<0,方程没有实数根，不符合题意；

C.此方程判别式A=(-l)2-4xlx2=-7<0,方程没有实数根，不符合题意；

D.此方程判别式A=(-2)2-4xlx0=4>0,方程有两个不相等的实数根，符合题意;

故答案为：D.

变式2.3

6.关于x的一元二次方程(a-5)/-4x-1=0有实数根，则。满足()

A.B.且aW5C.且aW5D.aW5

【答案】C

【解析】

【分析】由方程有实数根可知根的判别式〃-4改之0,结合二次项的系数非零，可得

出关于。的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论.

【详解】解：由已知得：

中0

K-4x(a-5)x(-1)>0，

解得：生1且存5,

故选：C.

【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a的一元一次不等式组，

由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键.

④公式法

公式法：公式法比较简单，先将方程化为一般形式渥+以+c=0的形式，然后找出“，b,

C,再直接套用公式x="±一卫

2a

例2.4用公式法解方程：4x2-3=12r.

【详解】

方程整理得：4.F-⑵-3=0,

这里“=4,b—-12,b--3,

：△=144+48=192,

._12±873_3±273

•»x------------------------------------

82

3+2百3-273

-22

变式2.4

7.解方程：(x—l)(x-2)=4.

【发案】X_3+后_3-V17

【解析】

【分析】先去括号、整理，将方程变形为一般形式，再求出△=/-4ac,代入求根

公式即可解答.

【详解】解：整理得：/一3X一2=0，

A=62-4ac=(-3)2-4xlx(-2)=17,

3±Vn

x=

2

3+V173-V17

，X)=

2■2

【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本

题属于基础题型.

⑤因式分解法

因式分解法：

先将方程整理成一般式，让方程的右边等于零，将方程的左边进行因式分解，利用0乘以任

何数都得0的性质

例2.5用因式分解的方法解方程

X2—2x-24=0

解：(x+4)(x—6)=0,

x=-4,x=6

变式2.5

8.解方程：

(1)x(x-3)-5(3-x)=0

(2)(X+2)、2(x+2)-3=0

=-

【答案】(1)须=3,马=一5；(2)%1=1,%23.

【解析】

【分析】根据因式分解法解一元二次方程的方法求解即可.

【详解】解：(1)x(x—3)—5(3—x)=0

x(x-3)+5(x-3)=0

(x-3)(x+5)=0

解得：-3,X2--5.

(2)(X+2)2-2(X+2)-3=0

(x+2-3)(x+2+l)=0

(x-l)(x+3)=0

解得：%!=l,x2=-3.

【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握因

式分解法解一元二次方程的方法.

⑥换元法

例2.6

若（小+〃）2一3（/+〃）_4=0,则代数式/+/的值为

【详解】

解：设片。2+〃,

则原方程为/_3t-4=0，

=

解得乙=4,t2-1,

Va2+b2>0，

t=4，

a2+b2=4>

故答案为：4

变式2.6.

Q.用换元法解方程二--=1,设卜=二二L那么原方程可以化为关于y

X-1XX

的整式方程为.

【答案】y+y-2=0

【解析】

【分析】可根据方程特点设歹=二^，则原方程可化为2-y=l,化成整式方程即

xy

可.

”„2_1

【详解】解：方程告"—=

X-1X

V2—I

若设y=」，

X

r2_12

把设y=一代入方程得：--y=l,

xy

方程两边同乘y,整理得好+丁-2=0.

故答案为：产+丁-2=0.

【点睛】本题主要考查用换元法解分式方程，它能够把一些分式方程化繁为简，化

难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧.

题型三：韦达定理(根与系数关系)

bc

若XI，X2是1元二次方程ox2+bx+c=0(qWO)的两根，则Xl+X2=-----，XiX——.

a2a

例3.已知关于x的一元二次方程N-6x-k2=0(k为常数).

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设xi，刈为方程的两个实数根，且M+2X2=14,试求出方程的两个实数根和人的值.

【详解】

(1)证明：•••b2-4ac=(-6)2-4x1x(-k2)=36+4A:2>0

因此方程有两个不相等的实数根.

(2)解：Xj+x=—=-----=6,

2a1

又1.1Xj+2X2=14,

x+x,=6

解方程组〈:，，解得：X,=-2,£=8.

玉+2工2=14

将％=-2代入原方程得：(-2尸-6x(-2)-〃=o,

解得左=±4.

变式3

1O.已知关于x的方程X?-2(k-l)x+k2=0有两个实数根xi，X2.

(1)求k的取值范围；

(2)若|X1+X21=X1・X2-1,求k的值.

【答案】(1)kW。；(2)k的值是-3

【解析】

【分析】(1)根据题意可得方程的根判别式△》()，然后解不等式即可求出k的范围;

2

(2)利用根与系数的关系得到Xi+X2=2(k-1),xix2=k,由(1)中k的范围可判

断X|+X2<0,然后所给式子化简绝对值后整体代入即可得到关于k的方程，解方程

并检验即得结果.

【详解】解：(1)由方程有两个实数根，可得△=4(k-1)2-4k220,

解得：

2

（2）依据题意可得,XI+X2=2（k-1）,xiX2=k,

.•..kW~,

2

：.2（k-1）<0,即X1+X2VO,

*?|Xi+X2|=X|*X2-1,

/--XI-X2=X]・X2-1,

A-2（k-1）=k2-1,

解得：ki=Lk2=-3,

・・y_L

•K，

2

•••k的值是-3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解法以及根与系

数的关系等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键.

题型四：一元二次方程的实际应用

1、一元二次方程应用题有：传播问题；增长率问题；行程问题；销售问题；图形问题：工

程问题等.

2、列方程解应用题的基本步骤：

审（审题）；找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉

及的基本数量关系、相等关系）：

设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）：

表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；

列（列方程）；

解（解方程）;

检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.

①传播问题

例4.1某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑

被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到

有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

【详解】

设每轮感染中平均1台电脑会感染X台电脑.

根据题意可列：l+x+x（l+x）=81,

解得：玉=8,x2=-10（舍去）.

；.3轮感染后，被感染得电脑为：81+81x8=729>700.

答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台.

变式4.1

工，2020年1月份以来，新型冠状病毒肺炎在我国蔓延，假如有一人感染新型冠状

病毒肺炎，经过两轮传染后共有64人患病.

（1）求每轮传染中平均每个人传染了几个健康的人；

（2）如果不及时控制，第三轮传染将又有多少个健康的人患病？

【答案】（1）每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人；（2）第三轮传染将又有

448个健康的人患病.

【解析】

【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个人，根据一人患病后经过两轮传

染后共有64人患病，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；

（2）利用经过两轮传染后的人数乘以每轮平均传染人数，即可求出结论.

【详解】（1）设每轮传染中平均每个人传染了x个健康的人.

依题意，得l+x+（l+x）x=64,

解得玉=7,x2=-9（不合题意，舍去）.

答：每轮传染中平均每个人传染了7个健康的人.

（2）64x7=448（个）.

答：第三轮传染将又有448个健康的人患病.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程

是解题的关键.

②平均增长率

2

例4.2某种农产品今年第一季度价格大幅度下降，下降后每千克的价格是原价格的下

降后，用60元买这种农产品比原来多买了2千克.

（1）求该种农产品下降后的价格；

(2)从第二季度开始，该种农产品的价格开始回升，经过两个季度，该种农产品的价格上

升到每千克14.4元.求第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率.

【详解】

2

解：(1)设该种农产品的原价格是x元/千克，则下降后的价格是一x元/千克，

3

6060.

根据题意，得2x，解得x=15,

-X

3

经检验：x=15是原方程的解，

故2x=10,

3

答：该种农产品下降后的价格是每千克10元.

(2)设第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率是。，

根据题意，得10(1+。)2=14.4,

解得。=0.2或。=一2.2(不合题意，舍去)

答：第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率是20%.

变式4.2

22.电动自行车已成为市民日常出行的首选工具.据某市品牌电动自行车经销商1

至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆.

(1)求该品牌电动车销售量的月平均增长率；

(2)若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3

月共盈利多少元.

【答案】(1)20%；(2)273000.

【解析】

【分析】(1)设该品牌电动车销售量的月平均增长率为X,2月份该品牌电动车销售

量为150(l+x),则3月份该品牌电动车销售量为150(l+x)(l+x)=150(1+x)2.据

此列出方程求解.

(2)根据(1)求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案.

【详解】解：(1)设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x,根据题意得

150(1+x)2=216,

解得xi=0.2,X2=-2.2（舍去）

答：该品牌电动车销售量的月平均增长率为20%.

（2）由（1）得该品牌电动车销售量的月平均增长率为20%,

工2月份的销售量为150x（1+20%）=180

.,.则1-3月份的销售总量为150+180+216=546（辆）

（2800-2300）x546=273000（元）

答：该经销商1月至3月共盈利273000元.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用（增长率问题）.

③图形相关问题

例4.3如图是宽为20m,长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（互相垂直），把

耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570m2,问：道路宽为多少米？

【详解】

解：设道路宽为x米，依题意得：

（32—2x）（20—x）=570

解得为=1,工2=35（不合题意，舍去）

答：道路宽为1米.

变式4.3

13.如图所示，某农户准备利用现有的34米长的篱笆靠墙（墙长18米）围成

一个面积是120平方米的长方形养鸡场，要在与墙垂直的一边和与墙平行的一边各

开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余这个养鸡场的两条邻边长各是多少米？

.1及

―।।—

晓华的解题过程如下:

【解】设垂直于墙的一边长为X米，则平行于墙的一边长为(38-2X)米.

依题意得x(38—2x)=120,

整理得19X+60=0，

解得再=15,%=4.

当x=15时，38—2x=8；当x=4时，38—2x=30.

答：这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米或4米、30米.

请问晓华的解题过程正确吗？如果不正确，给出正确的解题过程.

【答案】不正确，这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米，见解析

【解析】

【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(38-2x)米，根据题

意，列出方程，即可求出x的值，然后根据实际意义取舍即可.

【详解】解：晓华的解题过程不正确，正确解题过程如下：

设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(38-2x)米.

依题意得x(38-2x)=120,

整理得f—19X+60=0，

解得X]=15,X2=4.

当x=15时，38-2x=8；

当x=4时，38-2x=30>18,不合题意，舍去.

答：这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米.

【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是解方程的实际应用题时，

要注意根是否符合实际意义，如本题中，需分析两个取值是否符合实际情况.

④销售问题(每每型)

例4.4江都大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克.经

市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况，

若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题：

(1)填空：每千克水产品获利元，月销售量减少千克；

(2)要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元?

【详解】

解：(1)(10+x),10x；

(2)由题意，得：(10+x)(500-10x)=8000；

化简为：x2-40x+300=0；解得：xi=10,x2=30.

•••“薄利多销”，，x=30不符合题意，舍去.

答：销售单价应涨价10元.

变式4.4

14.某环保公司研发了甲、乙两种智能设备，可将垃圾处理变为新型清洁燃料.某

垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干，已知购买甲型智能设备花费

360万元，购买乙型智能设备花费480万元，购买的两种设备数量相同，且两种智

能设备的单价和为140万元.

(1)求甲、乙两种智能设备单价；

(2)垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒，并将产品出售.已知每吨燃料棒的成本

为100元.调查发现，若燃料棒售价为每吨200元，平均每天可售出350吨，而当

销售价每降低1元，平均每天可多售出5吨.垃圾处理厂想使这种燃料棒的销售利

润平均每天达到36080元，且保证售价在每吨200元基础上降价幅度不超过8%,求

每吨燃料棒售价应为多少元？

【答案】(1)甲设备60万元/台，乙设备80万元/台；(2)188元

【解析】

【分析】(1)设甲智能设备单价x万元，则乙单价为(14-x)万元，利用购买的两

种设备数量相同，列出分式方程求解即可；

(2)设每吨燃料棒在200元基础上降价y元，根据题意列出方程，求解后根据降价

幅度不超过8%,即可得出售价.

【详解】解：(1)设甲智能设备单价x万元，则乙单价为(14-x)万元，

解得：x=60,

经检验x=60是方程的解，

/.x=60,140-x=80,

答：甲设备60万元/台，乙设备80万元/台;

(2)设每吨燃料棒在200元基础上降价y元,

由题意得：(200-y-100)(350+5y)=36080,

解得：乂=12,8=18,

•.•”200x8%,即”16,

'•y—12>200-y~188>

答：每吨燃料棒售价应为188元.

【点睛】本题考查了分式方程、一元二次方程的实际应用；根据题意列出方程是本

题的关键.

⑤行程问题

例4.5“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设.渝利铁路通车后，

从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高

了120千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时.

(1)渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？

(2)专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少〃?％,以便于有充分

时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加」-〃？小时，求机的值.

10

【详解】

8（120+x）=y

(1)设原时速为xkm/h,通车后里程为ykm,则有:

（8+16）x=320+y

x=80

解得：<

y=1600

答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米;

(2)由题意可得出：(80+120)(1—加％)8+而加=1600,

解得：加尸20,加2=°(不合题意舍去),

答：m的值为20

变式4.5

小明锻炼健身，从A地匀速步行到B地用时25分钟.若返回时，发现走一小

路可使A、B两地间路程缩短200米，便抄小路以原速返回，结果比去时少用2.5

分钟.

(1)求返回时A、B两地间的路程；

(2)若小明从A地步行到B地后，以跑步形式继续前进到C地(整个锻炼过程不

休息).据测试，在他整个锻炼过程的前30分钟(含第30分钟)，步行平均每分钟

消耗热量6卡路里，跑步平均每分钟消耗热量10卡路里；锻炼超过30分钟后，每

多跑步1分钟，多跑的总时间内平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里.测试结果,

在整个锻炼过程中小明共消耗904卡路里热量.问：小明从A地到C地共锻炼多少

分钟.

【答案】(1)1800米；(2)52分钟.

【解析】

【分析】(1)可设AB两地之间的距离为x米，根据两种步行方案的速度相等，列

出方程即可求解；

(2)可设从A地到C地一共锻炼时间为y分钟，根据在整个锻炼过程中小明共消

耗900卡路里热量，列出方程即可求解.

【详解】解：(1)设返回时A,B两地间的路程为x米，由题意得：

x+200_x

25-25-2.5)

解得x=1800.

答:A、B两地间的路程为1800米；

(2)设小明从A地到B地共锻炼了y分钟，由题意得：

25x6+5x10+[10+(y-30)乂1](y-30)=904,

整理得y2-50y-104=0,

解得y尸52,y2=-2(舍去).

答：小明从A地到C地共锻炼52分钟.

【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程.

⑥动态几何问题

例4.6如图，在△N8C中，/B=90°,AB=5cm,8c=7cm,点0从点/开始沿边向

点8以lcm/s的速度移动，点P从点B开始沿8c边向点C以2cm/s的速度移动.

(1)如果P、。两点同时出发，那么几秒后，△尸8。的面积等于4cm2?

（2）△P8。的面积能否等于7cm2?试说明理由.

【详解】

解：（1）设，秒后，△尸80的面积等于4cm2.则

；（5—/）x2/=4,

整理，得片-5f+4=0,

解得4=1,J—4

答：如果P、。两点同时出发，那么1秒或4秒后，△尸8。的面积等于4cm2;

（2）△P80的面积能不能等于7cm2理由如下：

设x秒后，△尸8。的面积等于4cm2则;（5-/）x2/=7,

整理，得

t2-5/+7=0,

则4=25-28=-3<0,

所以该方程无解.

/./XPBQ的面积不能等于7cm2.

变式4.6

16.已知I：如图A,B,C,D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P,

Q分别从A,C同时出发，点P以3cm/S的速度向点B移动，一直到达点B为止,

点Q以2cm/S的速度向点D移动

（1）P,Q两点从出发点出发几秒时，四边形PBCQ面积为33cm2

（2）P,Q两点从出发点出发几秒时，P,Q间的距离是为10cm.

824

【答案】(1)5秒；(2)P,Q两点出发《秒或m秒时，点P和点Q的距离是10cm.

【解析】

【分析】当运动时间为t秒时,PB=(16-3t)cm,CQ=2tcm.

(1)利用梯形的面积公式结合四边形PBCQ的面积为33cm2,即可得出关于t的一

元一次方程，解之即可得出结论；

(2)过点Q作QM_LAB于点M,则PM=[16-5t|cm,QM=6cm,利用勾股定理结合

PQ=10cm,即可得出关于t的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

【详解】解:当运动时间为t秒时，PB=(16-3t)cm,CQ=2tcm.

(1)依题意，得：yx(16-3t+2t)*6=33,

解得：t=5.

答：P,Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2.

(2)过点Q作QM_LAB于点M,如图所示.

PM=PB-CQ=|16-5t|cm,QM=6cm,

.*.PQ2=PM2+QM2,即102=(16-5t)2+62,

解得：tl=->t2=~.

答：P,Q两点出发18秒或g24秒时，点P和点Q的距离是10cm.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是:

(1)根据梯形的面积公式，找出关于t的一元一次方程；(2)利用勾股定理，找出

关于t的一元二次方程.

■视频n

⑦图表信息问题

例4.7

某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akw-h,那么这个月此户

只交10元钱的电费，如果超过akw・h,则这个月除了交10元用电费，超出部分还要按每

度/1元交费.

100

（1）该厂某户居民8月份用电90kw-h,超过了规定“kw-h,则超过部分应交电费多少元？

（2）下表是9、10月份的用电和交费情况:

月份用电量(kw•h)交电量总额（元）

98025

104510

根据上表信息，求电厂规定“kw•h为多少？

（3）求8月份该户居民应交电费多少元？

【详解】

解：（1）超过部分应交（90-。卜喘（元）；

（2）由9月份交电费25元，该户9月份用电量已超过规定的akw・h,所以9月份超过部

分应交电费（80-”＞总=25-10,即/—80a+1500=0,解得q=30,a2=50,由

10月份的交电费10元看，该户10月份的用电量45kw・h没有超过。kw・h，所以。〉45.所

以。=50kw*h.

（3）当a=50kw・h时，超过部分应交（90—50卜，g=20元，所以8月份该户居民交电

费30元.

变式4.7

17.近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题.某城市

环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水

量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超

过部分，另按每吨5a元收取水费(水费+污水处理费).

(1)某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用。的代数式表示

该用户应交水费多少元；

(2)下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；

月份用水量(吨)交水费总金额(元)

4770

5540

根据上表数据，求规定用水量a的值.

【答案】(1)用户应交水费10+40。-5京元；(2)a的值为3.

【解析】

【分析】(1)根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；

(2)根据题意分别列出5a(7-a)+10=70,5a(5-a)+10=40,取满足两个方

程的。的值即为本题答案.

【详解】解：(1)3月份应交水费10+5。(8-a)=(10+40a-5a2)元；

(2)由题意得：5a(7-a)+10=70,

解得：a=3或(7=4

5a(5-a)+10=40

解得：a=3或a=2,

综上，规定用水量为3吨.

则规定用水量。的值为3.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准.

实战练

18.二次方程4x(x+2)=25化成一般形式得()

A.4x2+8x-25=0B.4x2-23=0C.4x2+8x=25D.4x2+2=25

【答案】A

【解析】

【分析】方程的一般形式为ax2+bx+c=0,将方程整理为一般形式，即可得到结果.

【详解】方程整理得：4x2+8x-25=0,故选A.

【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一

般形式.

下列方程，是一元二次方程的是()

①3X2+X=20,②2/一3个+4=0,@x2--=4,@x2=0-@x2-3x-4=0.

X

A.①②B.①②④⑤C.①③④D.①④⑤

【答案】P

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可.

【详解】解：①3f+x=20符合一元二次方程的定义；

②2x2-3孙+4=0属于二元二次方程；

③f—1=4属于分式方程；

X

④f=0符合一元二次方程的定义；

⑤¥—3%-4=0符合一元二次方程的定义；

故选：D.

【点睛】本题利用了一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2

的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是办2+bx+c=0(且在0).

26用配方法解一元二次方程V-8x+7=0,方程可变形为()

A.(%+4)2=9B.(x-4)2=9C.(x-8)2=16D.(x+8)2=57

【答案】8

【解析】

【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方

程左边配成一个完全平方式即可.

【详解】解:X2-8X+7=0,

x2-8x=-7,

x2-8x+16=-7+16,

(x-4)2=9.

故选：B.

【点睛】本题考查了运用配方法解一元二次方程，解答时熟练掌握配方法的步骤是

关键.

21.已知一元二次方程X?-4x+3=0的两根xi、X2,则-4XI+XIX2=()

A.0B.1C.2D.-1

【答案】A

【解析】

【分析】由一元二次方程X?-4x+3=0的两根xi、X2可得xj-4xi=-3,XIX2=3,代

入可得结果.

【详解】解：•方程x2-4x+3=0的两根Xl、X2,

.'•XIX2=3>xi2-4xi+3=0即xi2-4xi=-3,

则原式=-3+3=0,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，关键是熟练掌握X”X2是

bc

一元二次方程ax2+bx+c=0(a#))的两根时，x1+x2=---，乂的=—.

aa

22.已知(加-2)x帆-3x+l=0是关于x的一元二次方程，则加=.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最

高次数是2；二次项系数不为0.由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可.

【详解】解：由题意,得吊|=2,且〃*28，解得〃尸-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查一元二次方程的概念.只有一个未知数且未知数最高次数为2的

整式方程叫做一元二次方程，一般形式是改2+乐+片0(存0).特别要注意在0的条

件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.

23.若王、々是一元二次方程/-3x+l=0的两个根，则,+'=.

【答案】3

【解析】

11x.+x,

【分析】根据韦达定理可得玉+%=3,%々=1,将一+一整理得到」~~代入

X]工2

即可.

【详解】解：•••七、》2是一元二次方程/-3*+1=0的两个根，

玉+々=3,x1x2=1,

—=^±^=3,

再x2x{x2

故答案为：3.

bc

【点睛】本题考查韦达定理，掌握芯+、2=-一，—是解题的关键.

aa

24.若XI、X2是一元二次方程/-2x-g=0的两根，则xj+xz?的值是一.

【答案】9

【解析】

【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出X|+X2=2,X|X2=-I，再根据完

2

全平方公式的变形求Xl2+X22的值即可.

【详解】解：•.』、X2是一元二次方程x2-2x--=0的两根，

2

.5

♦.XI+X2=2,XIX2="-,

2

则X|2+X22=(X1+X2)2-2riX2

5、

=4-2X(z--)

2

=4+5

=9.

故答案为：9.

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形.熟练掌握

一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式是解题的关键.

25.某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s(〃?)和时间/(s)之间的关系为：

s=10/+3/，那么行驶200加需要s.

20

【答案】y

【解析】

【分析】汽车行驶的路程s(m)与时间t(s)之间的函数关系是：s=10t+3t2,可以

根据这个关系式，把已定要行驶s=200m路程代入关系式求得时间t.

【详解】依题意：10什3户=200,

整理得3r2+10/-200=0,

解得力=-10(不合题意舍去)J2=20].

20

即行驶200〃？需要可5.

故答案为三

【点睛】考查一元二次方程的应用，读懂题目，根据题目列出方程是解题的关键.

26.如果(x2+y2)2+3(x2+y2)-4=0,那么x?+y2的值为.

【答案】1

【解析】

【分析】先设/+V=加，则原方程可变形为：加2+3加一4=0,解方程即可求得

m的值，从而求得幺+/的值.

【详解】设》2+^=根，则原方程可变形为：加2+3加一4=0，

分解因式得，(加-1)(%+4)=0

.•.m=-4,m=l,

•/^+y>o

f+/=i

故答案为：L

【点睛】此题主要考查了用换元法解一元二次方程，换元法是借助引进辅助元素，

将问题进行转化的一种解题方法，这种解题方法在解题过程中，把某个式子看作一

个整体，用一个字母去代表它，被告等量代换，这样做，常能使问题化繁为简，化

难为易，形象直观.

27.按要求解方程.

（1）（3x+2>=24（直接开方法）

（2）3X2-1=4JC（公式法）

（3）（2x+iy=3（2x+l）（因式分解）

（4）X2-2X-399=0（配方法）

r较去1—2+2>/6—2—2^6“、2+币2—y/l,凌、

3333

-y,X2=l；（4）xi=21,X2=-19

【解析】

【详解】解：（1）（3x+2）2=24,

3x+2=±2>/6,

3x=-2±2瓜,

-2±2几

-2+26-2-2庭

（2）3X2-1=4X,

3X2-4X-1=0,

2

A=（-4）-4X3X（-1）=16+12=28,

X_=4±V28=_4±277=_2±V7,

663

2+V72-V7

X.=----------=---------------.

（3）（2x+l『=3（2x+l）,

（2x+l）（2x+l-3）=0,

（2x+l）（2x-2）=0,

2x+l=0或2x—2=0,

（4）x2-2x-399=0,

X2-2X+1=400,

（1『=400,

x-l=±20,

x=1±20,

X）=21,x2=—19.

28.用指定的方法解下列方程:

（1）（2x+l）2=9；（直接开平方法）

（2）3X2-5X-2=0;（配方法）

（3）2/-4x—5=0;（公式法）

（4）（x—3）2—4x（3—x）=0.（因式分解法）

【答案】⑴须心—⑵…卜一；（3）寸当%;手

（4）%=3,X2=1.

【解析】

【分析】（1）直接开平方转化为一元一次方程求解即可;

（2）利用配方法求解即可;

（3）利用求根公式进行求解即可;

（4）先变号，再提公因式进行计算即可.

【详解】解:⑴（2x+l>=9,

开平方，得2x+l=±3,

解得X|=1,%2=-2；

(2)3/-5x-2=0,

移项，得3X2-5X=2,

49

36

解得玉=一；/2=2;

(3)6/=2,6=—4,c=—5,

；.△=(—4)2—4x2x(—5)=56>0,

4±2V142±V14叩「2+旧,2-V14

/.x=----------=---------

42

(4)(X-3)2-4X(3-X)=0,

(X-3)2+4X(X-3)=0,

分解因式，得(x-3)(x-3+4x)=0,

x—3—0x—3+4x——0,

3

解得X]=3,々=《.

【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握每种方法的解题步骤是解题的关

键.

27已知关于x的一元二次方程x2-4x-2k+8=0有两个实数根X”x2.

(1)求k的取值范围；

(2)若X[3X2+X|X23=24,求k的值.

【答案】(1)k22；(2)k=3.

【解析】

【分析】(1)令根的判别式大于或等于0求解即可；

(2)变形后利用根与系数的关系求解即可.

【详解】解：(1)由题意可知，△=(-4)2-4x1x(-2k+8)K),

整理得：16+8k-32X),

解得：k>2,

；.k的取值范围是：k>2.

332

(2)由题意得：X,X2+XIX2=+X2)-2X]X2=24,

由韦达定理可知：XI+X2=4,X[X2=-2k+8,

故有:(-2k+8)[42-2(-2k+8)]=24,

整理得:k2-4k+3=0,

解得：ki=3,k2=l,

又由(1)中可知kN2,

；.k的值为3.

【点睛】本题考查了