广西玉林高中、南宁二中届高三月联考（数学理）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精玉林高中、南宁二中2010年高三9月联考数学试题（理科）参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P（A+B）=P（A)+P（B)如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P（A·B）=P(A)·P(B）球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k其中R表示球的半径次的概率一、选择题（本大题共12题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。）1．已知全集U=R，集合则 （） A．（1，2）∪（3，6) B． C．（2，3） D．(6，7）2．二次函数的图象是抛物线，其焦点的坐标是 （） A．（1，0） B． C．（0，1） D．3．若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为 （) A． B． C． D．4．在的展开式中，含项的系数为 （） A．8 B．9 C7 D．15．已知地球半径为R,在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两城市,甲在东经70°的经度圈耻，乙在东经160°的经度圈上。则甲、乙两城市的球面距离为 （） A． B． C． D．6．每天上午有4节课，下节有2节课,安排5门不同的课程，其中安排一门课连在一起上,则一天不同课表的种数为 （） A．96 B．120 C．480 D．6007．若，则的大小关系是 （） A． B． C． D．8．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为正偶数时，的值是 （） A．1 B．5 C．2或10 D．3或119．已知偶函数在（0，+∞）上单调递减，则与的大小关系是 () A． B． C． D．10．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,，E为AA1中点,则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为 () A． B． C． D．11．双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为，抛物线C2的准线为,焦点为F2，C1与C2的一个交点为P，线段PF2的中点为M，O是坐标原点，则 （） A．-1 B．1 C． D．12．已知都是定义在R上的函数，，在有穷数列中，任意取前项相加,则前项和大于的概率是（） A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上。13．在中，角A、B、C的对边分别为，且，则角B的大小是.14．在平面直角坐标系中,若不等式组为常数）所表示的平面区域的面积等于2,则.15．过椭圆的左焦点F1作轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若，则椭圆的离心率为。16．关于函数的如下结论:①是偶函数；②函数的值域为（-2，2）；③若,则一定有④函数的图象关于直线对称；其中正确结论的序号有。（请将你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分） 已知的周长为（1）求边AB的长；（2）若的面积为，求角C的度数。18．（本小题满分12分） 为了控制甲型H1N1流感病毒传播,我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射,为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种.（1）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；（2）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为，求的数学期望。19．（本小题满分12分） 已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面ABCD,E、F、G分别是PA、PB、BC的中点。（1）求证：平面PAD；（2）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（3）若M为线段AB上靠近A的一个动点,问当AM长度等于多少时，直线MF与平面EFG所成角的正弦值等于？20．(本小题满分12分） 已知函数(1）我们称使成立的为函数的零点,证明:当时，函数只有一个零点；（2)若函数在区间（1，+∞）上是减函数，求实数的取值范围。21．（本小题满分12分） 设向量,过定点，以为方向向量的直线与经过点B(0,2），以向量为方向向量的直线相交于点P，其中（1）求点P的轨迹C的方程；(2)设过E（1,0）的直线与C交于两个不同点M、N，求的取值范围.22．(本小题满分12分) 设数列满足：（1）证明:对恒成立;（2）令，判断与的大小，并说明理由。参考答案一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1—5BCABD6-10CADAC11—12CB二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分）13．14．15．16．②③三、解答题：（本大题共6小题)17．（本小题满分12分） 解：(1）由题意及正弦定得，得 ， 两式相减，得AB=1(2）由的面积 得 由余弦定得,得 所以C=60°18．(本小题满分12分） 解：（1）三个区选择疫苗的批号的种数是…………2分 恰好有两个区选择的疫苗批号相同种数是…………3分 三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率是……6分(2）选择疫苗批号相同的区的个数可能的取值为0，2,3…………8分 …………10分（或者） 分布列是023P …………12分19．（本小题满分12分） 方法1:（1)证明：平面平面ABCD，ABAD， 平面PAD，…………2分 E、F为PA、PB的中点 平面PAD；…………4分（2）解：过P作AD的垂线,垂足为O， 平面PAD平面ABCD，则PO平面ABCD， 连OG,以OG，OD，OP为轴建立空间坐标系，…………6分 得A（0，—2，0），B（4,-2，0），C（4,2，0)，D（0,2，0），P（0,0，） 故 设平面EFG的一个法向量为 则 取…………7分 平面ABCD的一个法向量为 平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是: ，锐二面角的大小是60°…………8分(3）解：设 设MF与平面EFG所成角为 则 靠近A,…………10分 1当AM=1时，MF与平面EFG所成角正弦值等于……12分 方法2：（1）证明:过P作于O, 平面PAD平面ABCD 则PO平面ABCD,选OG,以OG,OD,OP为轴建立空间坐标系，……2分 得， 故 平面PAD…………4分(2）解：设平面EFG的一个法向量为则取…………7分平面ABCD的一个法向量为……［以下同方法1］方法3：（1）证明：平面PAD平面ABCD,ABAD平面PAD…………2分E、F为PA、PB的中点，平面PAD；…………4分（2）解：是所二面角的棱……6分 平面PAD， 是二面角的平面角，等于60°;…………8分(3）解：过M作MK平面EFG于K，连结KF， 则即为MF与平面EFG所成角…………10分 因为AB//EF，故AB/平面EFG,故AB/的点M到平面EFG的距离等于A到平面EFG的距离 平面PAD，平面EFGH平面PBD于EH， A到平面EFG的距离即三角形EHA的高，等于, 即MK= 在直角梯形EFMA中，AE=EF=2 ，靠近A， …………11分 当AM=1时，MF与平面EFG所成角正弦值等于…………12分20．(本小题满分12分) 解：（1）当时，，其定义域为（0，+∞） ,令 解得 又时， 当时，，函数在区间（0，1)上单调递增，在区间（1，+∞)上单调递减， 当时，函数取得最大值,即， 所以函数只有一个零点…………5分(2）因为，其定义域为（0,+∞） 所以（1）当时， 所以在区间（0，+∞)上为增函数，不合题意…………7分(2)当时, 即，此时，的单调减区间为，依题意 得…………9分（3）当时， 即，此时的单调减区间为,依题意 得 综上所述,实数的取值范围是……12分21．（本小题满分12分） 解:（1）设 ……2分 过定点A（0，-2)，以方向向量的直线方程为： 过定点B（0，2），以方向向量的直线方程为： 联立消去得:求点P的轨迹C的方程为……5分(2）当过E（1，0）的直线与轴垂直时，与曲线C无交点，不合题意 设直线的方程为：与曲线C交于 由……7分 的取值范围是…………12分22．(本小题满分12分) 解：(1）证法一：当时，,不等式成立， 假设时，成立…………2分 当时，时成立 综上由数学归纳法可知，对一切正整数成立…………6分 证法二：当时，，结主化成立； 假设时结论成立，即（2分) 当时， 由函数的单增性和归纳假设有 ……4分 因此只需证: