福建省福州市南靖县第二中学2021-2022学年高二数学文联考试卷含解析

福建省福州市南靖县第二中学2021-2022学年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是(

)A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BCD．若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC参考答案：C【考点】空间点、线、面的位置．【专题】压轴题；阅读型．【分析】逐一检验答案，A、B的正确性一致，C、D结合图形进行判断．【解答】解：A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾C不正确，如图所示：D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明．故选C．【点评】结合图形，通过仔细分析及举出反例，判断各答案是否正确2.下列双曲线中，焦点在x轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1参考答案：B【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据双曲线的渐近线的方程结合双曲线的标准方程的性质进行求解判断．【解答】解：A．双曲线的焦点在x轴，a=1，b=4，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±4x，B．双曲线的焦点在x轴，a=4，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，满足条件．C．双曲线的焦点在y轴，不满足条件．D．双曲线的焦点在y轴，不满足条件．故选：B【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解和应用，比较基础．3.已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．参考答案：C4.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有(

)A40种

B

60种

C100种

D120种

参考答案：B略5.不等式ax２＋bx+2＞0的解集是，则a－b等于A.－4

B.14

C.－10

D.10参考答案：C6.函数的定义域为（

）A．(－5，＋∞) B．［－5，＋∞ C．(－5，0)D．(－2，0)

参考答案：A略7.已知直线l经过点M(－1,2)，且倾斜角为，则直线l的一个参数方程为(其中t为参数)()参考答案：B8.已知是三边之长,若满足等式,则等于（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.已知点是椭圆上的动点，为椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是平分线上一点，且，则的取值范围是A．，

B．，

C．，

D．，参考答案：B10.抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设椭圆(a＞b＞0)恒过定点A(1，2)，则椭圆的中心到准线距离的最小值是

．参考答案：略12.F1，F2分别是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若，则C的离心率是

．参考答案：直线的方程为，由得：；由得：，的中点为.据题意得，所以.

13.已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,若,则=__________．参考答案：814.数列1，，，……，的前n项和为

。参考答案：

15.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成角为．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】连接AC1，利用三角函数计算结合题中数据证出∠AC1A1=∠A1MC1，从而矩形AA1C1C中A1M⊥AC1．再利用线面垂直的判定与性质，证出A1M⊥平面AB1C1，从而可得AB1⊥A1M，由此即可得到异面直线AB1与A1M所成的角．【解答】解：连接AC1∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA1=，∴A1C1=BC=，Rt△A1C1M中，tan∠A1MC1=；Rt△AA1C1中，tan∠AC1A1=∴tan∠MA1C1=tan∠AC1A1即∠AC1A1=∠A1MC1可得矩形AA1C1C中，A1M⊥AC1∵B1C1⊥A1C1，B1C1⊥CC1且AC1∩CC1=C1∴B1C1⊥平面AA1C1，∵A1M?面AA1C1，∴B1C1⊥A1M，又AC1∩B1C1=C1，∴A1M⊥平面AB1C1结合AB1?平面AB1C1，得到AB1⊥A1M，即异面直线AB1与A1M所成的角是．故答案为：．16.已知，，，则的最小值是

．参考答案：4因为，根据基本不等式：，则，令，不等式转化为：，解得：，即的最小值为4．

17.函数的导函数为，若对于定义域内任意，，有恒成立，则称为恒均变函数．给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中为恒均变函数的序号是

．（写出所有满足条件的函数的序号）参考答案：①②三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分7分)证明函数只有一个零点．参考答案：证明：，其定义域是，

令，即，解得或．∵x>0，舍去．

当时，；当时，．Ks5u∴函数在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减∴当x=1时，函数取得最大值，其值为．当时，，即．

∴函数只有一个零点．19.动圆M与圆C1：（x+1）2+y2=外切，同时与圆C2：x2﹣2x+y2﹣=0内切，不垂直于x轴的直线l交动圆圆心M的轨迹C于A，B两点（1）求点M的轨迹C的方程（2）若C与x轴正半轴交于A2，以AB为直径的圆过点A2，试问直线l是否过定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设动圆M的半径为r，推导出点M的轨迹是以C1（﹣1，0），C2（1，0）为焦点的椭圆，由此能求出点M的轨迹方程．（2）设直线l方程为y=kx+m，与椭圆联立，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的直径、向量垂直，结合题意能求出直线l过定点（，0）．【解答】解：（1）设动圆M的半径为r，圆C2：．（1分）由题意得|MC1|=+r，|MC2|=﹣r，（2分）∴．∴点M的轨迹是以C1（﹣1，0），C2（1，0）为焦点的椭圆，且长半轴长a=，焦半距2c=2，从而短半轴长b==1，于是点M的轨迹方程为．（4分）（2）设直线l方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0，∴△=（4km）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，，．（6分）∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴==，（7分）∵点A2（，0）在以AB为直径的圆周上，∴AA2⊥BA2，即．（8分）又=（，﹣y1），=（，﹣y2），∴（，﹣y1）?（，﹣y2）=0，即，代入得，化简得，即，∴或．（9分）当时，过定点（，0），此为椭圆右顶点，不满足；当时，，过定点（，0）．∴直线l过定点（，0）．…（10分）【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线是否过定点的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、圆的直径、向量垂直的性质的合理运用．20.已知函数，其中为常数.(Ⅰ)讨论函数的单调区间;(Ⅱ)设函数(),求使得成立的的最小值;(Ⅲ)已知方程的两个根为,并且满足.求证:.参考答案：(Ⅰ)因为,所以,当时,函数在上为单调递增函数;当时,函数在上为单调递增,在上为单调递减函数.(Ⅱ)由已知,函数的定义域为,且,因为<0,所以在定义域内为递减函数,又因为=0,当时,,所以求的最小值为.(Ⅲ)由(Ⅰ)知当时,函数在上为单调递增函数,方程至多有一根,所以,,又因为,所以,可得.即,所以.21.如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点.（1）求证：∥平面；（2）求证：；（3）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.参考答案：（1)连结交于，连结,因为四边形为正方形，所以为的中点，又点为的中点，在中，有中位线定理有//，而平面，平面，所以，//平面.（2）因为正方形与矩形所在平面互相垂直，所以，，而，所以平面，又平面，所以.（3）存在满足条件的.依题意，以为坐标原点，、、