2021年山西省晋城市高平第五中学高三数学文月考试题含解析

2021年山西省晋城市高平第五中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.我们把1，4，9，16，25，…这些数称为正方形数，这是因为这些数目的点可以排成正方形，则第n个正方形数是A.n(n－1)

B.n(n+1)

C.n2

D.(n+1)2参考答案：C由图可得第一个到第n个图形对应的正方形数是1，22，32，…，n2，故选择C.2.为研究需要，统计了两个变量x，y的数据·情况如下表:

其中数据x1、x2、x3…xn，和数据y1、y2、y3，…yn的平均数分别为和，并且计算相关系数r＝-0.8，回归方程为，有如下几个结论：①点(，)必在回归直线上，即＝b+；②变量x，y的相关性强；③当x＝x1，则必有；④b＜0．其中正确的结论个数为A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】根据回归方程的性质和相关系数的性质求解.【详解】回归直线经过样本中心点，故①正确；变量的相关系数的绝对值越接近与1，则两个变量的相关性越强，故②正确；根据回归方程的性质，当时，不一定有，故③错误；由相关系数知负相关，所以，故④正确；故选C.【点睛】本题考查回归直线和相关系数，注意根据回归方程得出的是估计值不是准确值.3.下列各组函数中，表示同一函数的是 A、

B、C、 D、参考答案：A4.

如图，在△ABC中，AD=2DB，AE=3EC，CD与BE交于F，设为

（）

A．

B．

C．

D．

参考答案：A，同理向量还可以表示为，对应相等可得，所以，故选A。5.

设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，则a的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A6.某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下：x-2-1012y5※221通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程为，但现在丢失了一个数据※，该数据应为（

）A．2

B．3

C．4

D．5参考答案：C7.已知函数,若有,则的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B8.对于函数，若存在,使成立，则称为的不动点.

已知函数，若对任意实数b，函数恒有两个相异的不动点，则实数的取值范围是

（

）A.(0,1)

B.（1，+∞）

C.［0，1)

D.以上都不对参考答案：A略9.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数（a>0,a≠1）的图象过区域M的的取值范围是

A．[1,3]

B．[，9]

C．[2,9]

D．[2,5]参考答案：D由图象可知不等式组对应的平面区域为三角形，若，显然指数函数不过区域M.,所以必有，当指数函数经过点C时，最小，当指数函数经过点D时，最大。当时，，即点。当时，，即点。把，代入可得，把代入得，所以的取值范围是，即，选D.10.我们把形如“1324”和“3241”形式的数称为“锯齿数”（即大小间隔的数），由1，2，3，4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为A、B、C、D、参考答案：B通过画树形图可知由1、2、3、4四个数构成的没有重复数字的四位数共有24个，四位数为“锯齿数”的有：1324,1423,2143,2314,2413,3142,3241,3412,4132,4231共10个，所以四位数为“锯齿数”的概率为．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为________参考答案：12.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下面及母线均相切。记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是

参考答案：设球半径为r，则．故答案为．13.已知与()．直线过点与点，则坐标原点到直线MN的距离是

．参考答案：1由与()，可知，点和是直线上的两个点，所以直线的方程为，所以原点到直线MN的距离。14.若命题“”是真命题，则的取值范围是__________参考答案：15.已知圆O直径为10，AB是圆O的直径，C为圆O上一点，且BC=6，

过点B的圆O的切线交AC延长线于点D，则DA=______________；参考答案：12.516.设，向量，，若，则______________.参考答案：2

略17.（坐标系与参数方程选做题）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数=

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）某校从参加高三年级第一学期期末考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数，满分为100分），将数学成绩进行分组并根据各组人数制成如下频率分布表：分组频数频率[40,50)20.04[50,60)30.06[60,70)140.28[70,80)150.30[80,90)

[90,100]40.08合计

（Ⅰ）将上面的频率分布表补充完整，并估计本次考试全校85分以上学生的比例；（Ⅱ）为了帮助成绩差的同学提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩为中任选出两位同学，共同帮助成绩在中的某一个同学，试列出所有基本事件；若同学成绩为43分，同学成绩为95分，求、两同学恰好被安排在“二帮一”中同一小组的概率．参考答案：（Ⅰ）第五行以此填入

……………2分

第七行以此填入

……………4分估计本次全校85分以上学生比例为％

……………6分（Ⅱ）

……………12分19.几何证明选讲如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B、C，的平分线分别交AB、AC于点D、E，（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若AC=AP，求的值。参考答案：解：（1）PA是切线，AB是弦，

又

（5分）(2)由（1）知～,由三角形内角和定理可知，BC是圆O的直径，

（10分）略20.在平面直角坐标系中，直线x－y+m=0不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点A，B．（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由直线不过原点，知m≠0，将与联立，得：，由此利用根的判别式，能求出实数m的范围组成的集合M．（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，则kPA+kPB=0，令，得：，由此利用韦达定理能求出所有定点P的坐标．【解答】解：（1）因为直线不过原点，所以m≠0，将与联立，消去y得：，因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，所以△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得，所以实数m的范围组成的集合M是；（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，即kPA+kPB=0，令，所以，整理得：，由（1）知x1，x2是的两个根，所以，代入（*）化简得，由题意解得或所以定点P的坐标为或，经检验，满足题意，所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线PA，PB的倾斜角互补，坐标为或．21.已知函数．（1）若恒成立，求实数m的取值范围；（2）在（1）的条件下，设m的最大值为，a，b，c均为正实数，当时，求的最小值．参考答案：（1）不等式恒成立等价于：而，即实数的取值范围为（2）在（1）的条件下，的最大值为，即由柯西不等式得：，即，的最小值为.22.（本小题满分12分）如图(1)在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如图2)(1)求二面角G－EF－D的大小；(2)在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明过程.

参考答案：解：(1)建立如图所示空间直角坐标系，设平面GEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则

取n＝(1，0，1)

…………4分

又平面EFD的法向量为m＝(1，0，0)

∴cos<m，n>＝

…………6分

∴<m，n>＝45°

…………7