山西省朔州市沙城实验中学高三数学理月考试题含解析

山西省朔州市沙城实验中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，为坐标原点，若A、B、C三点共线，则的最小值是(

) （A）2 （B）4 （C）6

（D）8参考答案：D略2.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B3.设，，，则的大小关系是

参考答案：4.若，满足约束条件

，则的最小值是A.-3

B.0

C.

D.3参考答案：C略5.当时，幂函数为减函数，则实数

（

）

A．m=2

B．m=-1C．m=2或m=-1

D．参考答案：A略6.已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是(

)A． B．C． D．参考答案：B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题．【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得A和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．【解答】解：由题意m=2．A=±2，再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2．再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，故符合条件的函数解析式是y=﹣2sin（2x+）+2，故选B【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+?）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求解析式，属于中档题．7.如图，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的内切球表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D8.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为A0.35

B

0.45

C

0.55

D

0.65

2参考答案：B由频率分布表可知：样本数据落在区间内的頻数为2+3+4=9，样本总数为，故样本数据落在区间内频率为.故选B.【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.9.设，，，则A.

B.

C.

D.参考答案：B略10.下列命题中的假命题是

A.

B.

C.

D.参考答案：C,所以C为假命题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在三棱锥P-ABC中，顶点P在底面ABC的投影G是△ABC的外心，PB＝BC＝2，则面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为______参考答案：由题意，取的中点为，由平面可得，又是的外心，可得，所以平面，所以，所以，又可得是等边三角形，所以，又面与底面所成的二面角的大小为，所以角，过的中心（为三等分点）做一条垂线与交于点，则为外接球球心，所以，所以外接球表面积为.

12.（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线（为参数，）上的点到曲线的最短距离是

.

参考答案：13.已知函数，若方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_____．参考答案：【分析】先利用导数刻画时的图像，再画出当时的图像，考虑函数的图像（动直线）与图像有两个交点，从而得到实数的取值范围.【详解】当时，，当时，，当时，，又当时，，所以根据周期为1可得时的图像，故的图像如图所示：函数的图像恒过，因为与的图像有两个不同的交点，故，又，故，，所以，填.【点睛】方程的解的个数可以转化为两个函数图像的交点个数去讨论，两个函数最好一个不含参数，另一个为含参数的常见函数（最好是一次函数），刻画不含参数的函数图像需要用导数等工具刻画其单调性、极值等，还需要利用函数的奇偶性、周期性等把图像归结为局部图像的平移或翻折等.14.已知为坐标原点，动点满足，、，则的最小值为

．参考答案：详解：由题意设P点坐标为，则==，其中为锐角．易知的最小值为，，∴的最小值不．

15.若，则＝．参考答案：答案：

16.已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x的不等式的解集是

．参考答案：17.

▲

．参考答案：.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数．(1)若，求证：f(x)在区间是增函数；(2)设，若对任意的，恒有，求实数m的取值范围．参考答案：（1）见解析；（2）【分析】（1）当时，，求函数的导数并判断单调性，说明在区间是增函数；（2）首先判断函数的单调性，并且判断函数只有最小值，无最大值，若满足条件，即，转化为求的最小值，并且用表示.【详解】（1）当，．则.当，由函数单调性的性质可知，为上的增函数.所以，当时，.所以在区间是增函数.（2）由题，则令，则为上的增函数.当；当；所以必然存在，使得，即.当，，即，所以减函数.当，，即，所以为增函数.所以，无最大值.此外，因为，所以.令，则就有.又，当，，所以为上的增函数.因为，且，.所以必然有.此时，.又任意的，恒有，所以，即.【点睛】本题考查导数与函数的单调性，极值和最值的综合运用，意在考查转化与化归和分析问题解决问题的能力，属于难题，本题第二问的难点是求的最小值并且用表示，用到构造函数，，判断的单调性，从而得出，从而得到函数的最小值并且用表示.19.（本小题满分16分）设数列的各项均为正数，其前n项的和为Sn,,对于任意正整数m,n,恒成立（1）若求及数列的通项公式（2）若，求证：数列是等比数列参考答案：（1）由条件，得

①在①中，令，得

②令，得

③③/②得，记，则数列是公比为的等比数列。④时，，

⑤④-⑤，得，当n≥3时，{}是等比数列.在①中，令，得，从而，则，所以。又因为，所以。…………2分在①中，令，得，则⑥在①中，令，得，则⑦由⑥⑦解得：。………6分则，由得又，也适应上式，所以.……8分（2）在①中，令，得，则，所以；在①中，令，得，则，所以，则，；代入式，得………12分由条件得又因,所以故，因为，也适应上式，所以。所以数列是等比数列．………………14分20.（本小题满分12分）如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.（I）证明：；（II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.

参考答案：解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，平面．连结，∵侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（II）平面平面，故平面平面．作为垂足，则平面．又直线∥平面，因而为直线与平面的距离，．∵为的角平分线，故．作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角．由得为的中点，∴二面角的大小为．解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设知与轴平行，轴在平面内．（I）设，由题设有则由得，即（①）．于是．（II）设平面的法向量则即．故，且．令，则，点到平面的距离为．又依题设，点到平面的距离为．代入①解得（舍去）或．于是．设平面的法向量，则，即，故且．令，则．又为平面的法向量，故，∴二面角的大小为．21.（12分）已知数列{an}中，an2+2an﹣n2+2n=0（n∈N+）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（I）an2+2an﹣n2+2n=0（n∈N+），可得（an﹣n）（an﹣n+2）=0．即可解出．（II）利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）∵an2+2an﹣n2+2n=0（n∈N+），∴（an﹣n）（an﹣n+2）=0．∴an=n，或an=n﹣2．（II）an=n时，Sn=．an=n﹣2时，Sn==．【点评】本题考查了一元二次方程的解法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.（本小题满分12分）已知是三次函数的两个极值点，且,,求动点