几何算术平均收敛公式

关于几何算术平均收敛公式第1页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三两个重要的极限§1-4第2页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三预备知识1.有关三角函数的知识2.有关对数函数的知识以e为底的指数函数y=ex的反函数y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx.数e

是一个无理数，它的前八位数是：

e=2.7182818第3页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三3.有关指数运算的知识4.无穷小量定义在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母性质

无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.第4页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三5.极限的运算法则第5页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三X10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998X－1－0.5－0.1－0.01－0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998第一个重要极限第6页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三OxBACD证第7页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解这个结果可以作为公式使用例1

求第8页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三例

2

注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：第9页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三练习1.求下列极限:第10页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第11页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三

例

3

解例

4

解第12页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三思考题第13页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三练习3：下列等式正确的是（）

．

练习4：下列等式不正确的是（）第14页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三练习5.下列极限计算正确的是（）练习6.已知当（）时，为无穷小量.

第15页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三，当

时，为无穷小量．

练习7.已知练习8.练习9.第16页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三

X-10-100-1000-10000-100000…2.8682.7322.7202.71832.71828

X10100100010000100000…2.5942.7052.7172.7182.71827第二个重要极限第17页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第18页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第19页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解因为所以，有例

1第20页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三例

2

解

方法一令u=-x，因为x0时u0，所以第21页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三方法二掌握熟练后可不设新变量第22页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三例3解

第23页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三练习1.解第24页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三练习2.解第25页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三练习3.解第26页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三两个重要极限:小结第27页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三练习题第28页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第29页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三思考题解因为所以令u=x

-3

，当x

时u

，因此第30页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第一章作业2作业第31页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三附录两个重要极限的证明第32页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三OxRABC证

AOB

面积<扇形AOB

面积<AOC

面积,即例两个重要极限的证明第33页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三因为所以再次运用定理6即可得≤≤第34页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三重要极限1

其中的两个等号只在x=0时成立.证设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作则sinx=BD，tanx=AC，第35页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第36页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三这就证明了不等式(7).从而有第37页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第38页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三重要极限2证第39页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第40页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三这是重要极限2常用的另一种形式.第41页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。极限综合练习题(一)

第42页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第43页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三例3求下列极限：第44页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解：当x从0的左侧趋于0时，当x从0的右侧趋于0时,第45页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三例5求下列极限分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为：①若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；②若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。第46页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。第47页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三求解。又当x→0时，ax→0，bx→0，于是有第48页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三分析：当x→0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以，然后看是否可利用第1个重要极限。第49页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第50页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解法2：第51页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三分析：当x→0时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极限的运算法则，但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。第52页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解：因当x→∞时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到第53页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三第54页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解1.求极限:极限综合练习题(二)

第55页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即2.求下列极限：第56页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即3.求下列极限：第57页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。解：分子分母同除以x15，有第58页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三=22+1=5解5.求第59页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解6.

求极限第60页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三解：容易算出分式分子的最高次项是，分式分母的最高次项是，所以7.

求极限第61页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三8.求极限第62页，讲稿共66页，2023年5月2日，星期三9.设函数问：（1）当a为何值时，f(x)在x=0右连续；（2）a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在；（3）当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。处右连续。在时，。故当，从而，，又右连续，须有在要使解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)()1(====®==®=++xxfaa