测试系统的基本特性

1020页其次章测试系统的根本特性第一节 概述尽可能准确真实地反映被测物理量，且为测试系统性能的评价提出一个标准。装置，如传感器，又可以是一个由多个功能环节组成的系统，如应变测量中的“传感器－应变仪－记录仪”。对测试系统的根本要求工程测试的根本传输关系如图示，所要寻求的是输入x(t)，输出y(t),系统传输性三者的关系，即由的系统的输入和输出量，求系统的传递特性。由的输入量和系统的传递特性，推求系统的输出量。由系统的传递特性和输出量，来推知系统的输入量。为使上述三种问题能由便利确实定未知，为此提出，对于一个测试来说，应具有的根本特性是：单值的、确定的输入-输出关系，即对应于每一个输入量都应只有单一的输出量与之对应，能满足上述要求的系统一般是线性系统。测试系统的特性的描述对测试系统特性的描述通常有静态特性、动态特性、负载特性、抗干扰特性。线性系统简介二、线性系统及其主要性质当系统的输入x(t)和输出y(t)之间的关系可用常系数线性微分方程(2-1)来描述时，则称该系统为定常线性系统。线性系统有如下性质〔以x(t) y(t)表示系统的输入、输出关系〕：1)叠加性效果叠加起来以表示总的效果。比例特性假设 x(t)y(t)则 微分性质 系统对输入导数的响应等于对原输入响应的导数，即积分性质 系统对输入积分的响应等于对原输入响应的积分，即频率保持性 假设输入为某一频率的间谐信号，则系统的稳态输出必是、也只是同频率的间谐信号。由于按线性系统的比例特性，对于某一频率有又依据线性系统的微分特性，有应用叠加原理，有xt)X

ejt，那么其二阶导数应为0由此，得相应的输出也应为于是输出y(ｔ)的唯一的可能解只能是以依据这一特性，承受相应的滤波技术，在很强的噪声干扰下，把有用的信息提取出来。其次节测量装置的静态特性测量装置的静态特性是在静态测量状况下描述实际测量装置与抱负定常线性系统的接近程度。〔2-6〕的系统。by 0a0

x 〔2-6〕〔2-1〕＝b0/a0称为比例系数，为常数。一、线性度y=Sx+Sx2+Sx+，实际系统与抱负系统有差异，表示此差异的参数线性度。1 2 33静态测量时，常用试验的方法来确定上述关系，即确定被测量的实际值与系统输出值间的函数关系，称此过程为静态校准〔标定、定度〕，静态校准所得曲线并非直线，为应用便利，常以直线来拟合校准曲线，校准曲线与拟合直线的接近程度称为线性度。线性度在数值上常用最大偏差

表示，或以相对误差表示：max拟合直线y=kx+b常用多种方法确定，其一是端基直线法，该法所得拟合直线为最小与最大数据值的连线，即端点连线，参见图2-24a；其二是最小二乘法，它是以拟合直线与校准直线间的偏差平方和最小为原则而得的直线。参见图2-24ｂ二、灵敏度表示装置对输入量变化的反响力量，其值为输出变化量y与输入变化量x之比：度值，如图2-4b所示，三、回程误差〔正行程或由大到小〔反行程〕，两个静态特性不全都的程度〔见图2-5〕。其值为全量程范围内两曲线纵标的最大值，如图中的ｈ。装置存在死区时也可能消灭这种现象“四、区分力引起测量装置的输出值产生一个可觉察变化的最小输入量(被测最)变化值称为区分力。五、零点漂移和灵敏度漂移零点漂移是测量装置的输出零点偏离原始零点的距离，如图2-6所示，它可以是随时间缓慢变化的量。灵敏度漂移则是由于材料性质的变化所引起的输入与输出关系(斜率)的变化。因此，总误差是零点漂移与灵敏度漂移之和，如图2-6所示。在一般状况下，后者的数值很小，可以略去不计，于是只考虑零点漂移。第三节测量装置的动态特性动态特性反映的是系统测量动态信号时所表现的特性，静态测量时，信号不随时间变，系统有足够的时间去响应被测信号，因之不考虑输入与输出的同步问题，动态测量中，由于系统本身固有的特性〔固有频率〕及外界因素〔阻尼〕等的影响，使系统对输入量的响应从时间上、幅值上等均与静态测量有很大差异。有的系统尽管静态特性很好，但因不能很好追动态特性用数学模型来描述，其方法有三种：时域种的微分方程，复频域中的传递函数H(s)，频域中的频率特性H(j)，系统相应的输入与输出关系如下示。对定常线性测试装置，虽可用式〔2.1〕描述其输出与输入的关系，但使用不便，故常用传递函数和频响函数来描述，以下介绍这两种方式。一、动态特性的数学描述1.传递函数1〕数学根底设函数f(t)当t0时有定义，且积分0

f(t)estdt〔sj〕在ｓ的某一域内收敛，则由此积分确定的函数F(s)0F(s)=L[f(t)].

f(t)estdt为函数f(t)的拉氏变换，记为F(s)是f(t)是拉氏变换，则称F(s)为f(t)的拉氏逆变换，记为jf(t) F(s)estdsL1[FjjL[f(t)]=F(s)则L[fn(t)]=nF(s)-sn-f(0)-n-2f(0)-f(n-1)(0))f(0)=f’(0)=….=f(n-1)(0)=0时,L[f’(t)]=sF(s),…L[fn(t)]=snF(s),2)传递函数x(s)y(s)x(t)、输出y(t)的拉氏变换。对式(2-1)取拉氏变换得式中，G(s)是与输入和系统初始条件有关的关系式；H(s)与系统初始条件及输入无关，只反映系统本身的特性，被称为系统的传递函数.对零初始条件，G(s)=0，故3〕传递函数的特点:(1)H(s)关系式的右端与输入x(t)无关，亦即传递函数H(s)不因输入x(t)的转变而转变，它表达系统的传输特性。〔2〕H(s)只反映系统传输特性而不具体于系统的物理构造。同--形式的传递函数可以RC低通滤波器两者的物理性质完全不同但同是一阶系统，具有形式相像的传递函数。这样大大简化了争论对象的类型。对于实际的物理系统，输入x(t)和输出y(t)都具有各自的量纲。用传递函数描述系统传输、转换特性理应真实地反映量纲的这种变换关系。这关系正是通过系数a、b来反i i映的。不同的物理系统有不同的系数量纲。〔4〕H(s)中的分母取决于系统的构造。分母中s的幂次ｎ代表系统微分方程的阶数。分子则和系统同外界之间的关系，如输入(鼓励)点的位置、输人方式、被测量及测点布置状况有关。s的幕次总是高于分子中sn>m。2.频率响应函数传递函数比在时域中用微分方程来描述系统特性有很多优点。但很多工程系统的微分方程式及其传递函数极难建立，且传递函数的物理概念也很难理解。与传递函数相比较，频率响应函数物理概念明确、易通过试验来建立，利用它和传递函数的关系也可求得传递函数，因此，频率响应函数就成为试验争论系统的重耍工具。幅频特性、相频特性和频率响惋函数依据定常线性系统的频率保持性知，系统在简谐信号x(t)x sint的鼓励下，其稳态输出也是简谐信号y(t)y sin(t)。0 0此输入和输出虽为同频率的简谐信号，但两者的幅值并不-样，其幅值比A=y/x。、相位差0Y()X()〔〕都是的函数Y()X()该系统的幅频特性，稳态输出对输入的相位差〔〕称为该系统的相频特性，两者统称为系统的频率特性。因此系统的频率特性是指系统在简谐信号鼓励下，其稳态输出对输入的幅值比、相位差随鼓励频率变化的特性。由于任何--个复数z=a+jb，可以表示为zzej()，它表示可将某个比值〔模〕和相角两个量组合成一个复数。现用A()为模、〔〕为幅角来构成如下复数称此复数H()为系统的频率响应函数。2)频率响应函数的求法。(1)利用传递函数求 令式〔2-9〕中H(s)表达式中的ｓ＝ｊ即得：〔2〕用试验的方法求依次用不同频率

的简谐信号去鼓励被测系统，同时测出鼓励和i系统的稳态输出的幅值X

、Y和相位差。这样对于某个，便有一组Y/X=Ai和，全0i oi i i oi0i i部A和便可表达系统的频率响应函数。i i i i频率响应函数来描述系统的最大优点是它可以通过试验来求取〔3)x(t)和输出y(t)，由其傅里叶变换X()和Y()求得频率响应函数H()=Y()/X(). 〔2-12〕何简单信号输入下，系统频率特性也是适用的。这时，幅频、相频特性分别表征系统对输入信号中各个频率重量幅值的缩放力量和相位角前后移动的力量。*用传递函数和频率响应函数均可表达系统的传递特性，但两者的含义不同。在推导传递函数时，系统的初始条件设为零。而对于一个从t=0开头所施加的简谐信号鼓励来说，采用拉氏变换解得的系统输出将由两局部组成:由鼓励所引起的、反映系统固有特性的瞬态输a)经过肯定长的时间以后，系统的瞬态输出趋于定值，亦即进人稳态输出。图(b)示出的是频的瞬态响应已趋近于零，频率响应函数H()表达的仅仅是系统对简谐输入信号的稳态输出。因此用频率响应函数不能反映过渡过程，必需用传递函数才能反映全过程。但是，频率响应函数直观地反映了系统对不同频率输入信号的响应特性。在实际的工程技术问题中，为获得较好的测量效果，常常在系统处于稳态输出的阶段上进展测试。因此在动所引起的系统响应，争论一个过程从起始的瞬态变化过程到最终的稳态过程的全部特性，因此常常要用传递函数来描述。(3)幅、相频率特性及其图象描述①一般方法 以A()～、〔〕～的关系式作出；②伯德图 自变量取对数，幅值A()取分贝(dB)数，相角取实数标尺，由此所作的曲线分别称为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线，总称为伯德图(BOde图)。③实、虚频图 令H()=P()+jQ(),其中P、Q均为的实函数，以P()～、Q()～所作出的关系曲线，即所谓的实、虚频特性曲线。④柰魁斯特图 以H()的实部P()为横轴、虚部Q()为纵轴作出的P～Q曲线，由此曲线，可求出对应A()和〔〕的大小，方法是从原点作向量与曲线相交，原A()，向量与横轴的交角即为〔〕。脉冲响应函数以微分方程来描述系统的特性时，往往不便利，实际中常用两个较简洁的时域函数－单位脉冲及阶跃函数作为输入函数，对应的响应叫响应函数。假设输入为单位脉冲，即x(t)=δ(t)，则X(s)=L[δ(t)]=1,由H(s)=Y(s)/X(s)得系统的输出为Y(s)=H(s)X(s)＝H(s)，对此式取拉氏变换，的系统的时域响应y(t)=L-1[H(s)]=h(th(t域描述。0假设输入的是阶跃函数 x(t)1

t0t0

，而输出为g(t),则称g(t)为阶跃响应函数。至此，系统特性的时域、频域和复数域分别用脉冲响应函数h(t)、频率响应函数H()和传递函数H(s)h(t)和传递函数H(s)是一对拉氏变换对;同时和频响函数H()又是-对傅里叶变换对。环节串联、并联时H(s)和H()的计算串联：传递函数一个一个挨次相连的连接形式；并联：输入一样，输出相加减的连接形式。1〕H(s)的计算设两个环节，传递函数分别为H(s)、H(s)，则串联后组成的系统(见图2-7)的H(s)在零初始1 2条件下为类似地，对几个环节串联组成的系统，有假设两个环节并联(见图2-8)，则因类似的由m个环节并联组成的系统，有2〕H()的计算由传递函数和频率响应函数的关系，令s=j,代入式〔2-13〕得到n个环节串联系统频率响应函数为其幅频、相频特性分别为s=j,代入式〔2-15〕，得环节并联系统的频率响应函数为二.一阶、二阶系统的特性理论分析说明，任何分母中s高于三次(m>3)的高阶系统都可以看成假设干一阶环节和二阶环节的并联或串联而成的。因此分析并了解一、二阶环节的传输特性是分析并了解高阶、简单系统传输特性的根底。一阶系统定义、实例输出、输入关系满足下面一阶微分方程的系统称为一阶系统。a式中，＝1a

为时间常数；0bs 0a0

系统灵敏度。为争论简洁，令ｓ＝1，得图2-9为一阶系统的几个实例为简谐系统，其输出、输入关系为.cxkxF.0

sint为RC积分电路，其输出、输入关系为为液柱式温度计，其输出、输入关系为x(t)y(t)R

cdydt〔R-介质热阻，ｃ－液柱介质热容量〕传递函数频响函数其幅频图、相频图、伯德图、柰氏图如下： 特性总结当鼓励频率远小1/时(约</5)，其A()值接近于1〔误差不超过2%)，输出输入幅值几乎相等。当>(2～3)/时，即>>1H()1/j，与之相应的微分方程式为即输出和输人的积分成正比，系统相当于一个积分器。其中A()几乎与鼓励频率成反比，相位滞后近90°。故--阶测最装置适用于测量缓变或低频的被测量。〔2)时间常数在＝1/处，A()为0.707(-3dB)，相角滞后45°；〔3)<1/段为A()=1的水平线，在>1/段为-20dB/10倍频程〔或-6dB/倍频)斜率的直线。1/点称转折频率，在该点折线偏离实际曲线的误差最大(为-3dB)。脉冲响应2-I3阶跃响应对系统突加、突卸载即属于阶跃输入，此种输入既简易可行，又能提醒系统的动态特性，故常被承受。一阶系统的单位阶跃响应为,响应曲线见图2-20，响应特点为：1〕暂态响应是指数函数；2〕稳态响应是输入的阶跃值，稳态响应在T时完成，3〕初始上升斜率为1/；4〕不同时刻的响应为：y(t)=0.993,可见，越小越好，此时曲线越能快速到达稳态状态。二阶系统定义、实例输出、输入关系满足下面二阶微分方程的系统称为二阶系统。二阶系统的三种实例如图2-14。为振动系统，其输出、输入关系为my”

cykyx(t).为RLC电路，其输出、输入关系为.“ cyRCyyx(“ 为动圈式电表，其输出、输入关系为传递函数频响函数相应的幅频特性和相频特性分别为幅频、相频特性曲线见图2-15、图2-16、图2-I7为相应的伯德图和奈魁斯特图。响应特性〔2)A()1/2，()90°，并与阻尼n无关；在n

四周，幅频特性受阻尼影响极大；〔3〕段，()甚小且和频率近似成正比关系 ，()趋近于180°n n即输出与输入几乎反相，在靠近 区，()随频率变化而猛烈变化，且阻尼越小，这n种变化月猛烈；为使系统误差尽可能小，并较快的到达稳态响应，一般应选〔0.6～0.8〕 ，n＝〔0.65～0.7〕伯德图特点0.5 A()可用OdB水年线近似2 段以斜率为-40dB/10n n倍频或-12dB/倍频的直线来近似；(0.5~2) ，近似折线偏离实际曲线较大。n脉冲响应函数单位阶跃响应响应曲线见图2-21，响应特点为：2〕n

越高，响应曲线上升越越快；3〕阻尼比直接影响超调量和振荡次数：1＝0100％，10％的误差带，而定义响应曲线进入这个误差带内不再跃过的时间为建立时间，则当＝06时建立时间最短，约2.4/，假设误差带取5％，则＝07～08最好，建立时间约〔5～7〕/n n第四节测试装置对任意输人的响应已在傅里叶变化性质局部做过争论，结论是：输出y(t)等于输入x(t)和系统的脉冲响应函数h(t)的卷积。即第五节 实现不失真测量的条件所谓不失真测试指系统的响应y(t)波形与输入x(t)信号的全部特征信息。下面求不失真测试的条件。设系统输入信号为x(t)，输出信号为y(t)，从时域看，假设输入与输出满足以下关系〔其图形见图2-22〕就认为是不失真测试。此式的含义是：1.输出信号是输入信号的常数倍，即输出信号与输入信号图对应点上的倍数一样；2.输出处处滞后与输入同一时间t。0对上式两边作傅立叶变换，得H()Y()/X()得不失真测试条件下对系统响应函数的要求为：H()Aejt0，从而得系统的幅、相频特性为：H()A, ()t，其响应0 0 0曲线如下。由此知，不失真测试应满足两个条件：1.系统的幅频特性A()在x(t)的频率范围内为一常数，2.系统的相频特性()是经过原点的直线。A()不等于常数时引起的失真为幅值失真，()为非线性时引起的失真为相位失真。一般系统总是既有幅值失真，又有相位失真其例如下。为尽量满足不失真测试以减小测量误差，可以从如下两方面考虑：选用适宜的测量装置，使得在测试的范围内，其幅频、相频特性应接近不失真条件，如对一阶系统，时间常数愈小，系统响应愈快，，近于满足不失真测试的条件的通频带愈宽，故一阶系统的时间常数应尽量小；对二阶系统，一般在0.3ｎ

范围内，()较小，且()～特性曲线接近直线，而A()的变化不超过10％，在(2.5~3) 范ｎ()180°，且随变化甚小，假设对此反相，则其相频特性根本满足不失真测试条件，但此范围A()过小；当(0.3~2.5)ｎ

范围时，频率特性受的影响较＝0.6～0.8＝0.7A(5％，()也近于直线。对输入信号滤去非信号频带的噪声，可提高信噪比。第六节测量装置动态特性的测量测量装置特性的测量包含静态测量与动态测量两方面，静态特性的测量方法已如静态特性介绍的那样，此处不再介绍。参数是时间常数，二阶系统的主要动态特性参数是ｎ

和，因此可以认为求取一、二阶系统动态特性的过程，也就是通过对系统的测试来确定其、ｎ

和的过程。动态特性的测量方法一般有频率响应法和阶跃响应法等。一、频率响应法通过稳态正弦鼓励以求取系统的动态特性。方法是，对系统施以正强鼓励xt)x0sint,当响应到达稳态后，所得到的输出和输入的幅值比和相位差，便是鼓励频率为时系统的传递特性，假设逐点变换鼓励频率，便可求得幅、相频特性曲线，从而求得系统的动态特性参数。一阶系统特性参数的测取可以通过幅频和相频特性——式〔2-21〕和〔2-22〕直接确定。二阶系统ｎ

、确实定〔欠阻尼状况〕二阶系统的特性参数ｎ

、可以直接从相频恃性曲线估量。1〕ｎ

确实定 当较小时，由于ｎ

，故振幅