函数解析式的经典求法+讲义 高三数学一轮复习

函数解析式的经典求法一、函数解析式概念（1）函数解析式定义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．（2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．二、基本初等函数的解析式（1）一次函数：；（2）反比例函数：；（3）二次函数：；（4）指数函数：；（5）对数函数：；（7）幂函数：；（8）三角函数：三、求函数解析式的常用方法（1）代入法：已知，求,直接代入即可，但要注意定义域．这种方法比较直观. 例1：（1）求f[g(x)]和g[f求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式.（2）己知函数f(x)=2x－1， （2）已知求，.【解】： （2）待定系数法已知函数的类型(如一次函数、二次函数、多项式函数等)可用待定系数法；已知函数的具体解析式，但解析式中含有参数，可用待定系数法。例1已知是一次函数，且满足，求.【解】：设，得，∴例2已知是二次函数，且满足，求.【解】：设得，∴（3）配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。例1:已知，求的解析式【解】：. 例2：已知，求的解析式【解】(4)换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。例1:已知，求【解】：令，则，例2:已知，求的解析式.【解】：令：，整理为： 注意：当t=-1时，等式两边不等，所以t≠-1所以有所以所求函数为：(5)构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例1设求【解】:=1\*GB3①显然将换成，得：=2\*GB3②解=1\*GB3①=2\*GB3②联立的方程组，得：例2设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式【解】:为偶函数，为奇函数，又=1\*GB3①，用替换得：即=2\*GB3②解=1\*GB3①=2\*GB3②联立的方程组，得，(6)赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例1已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求【解】:对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有再令得函数解析式为：例2:已知函数对任意实数有，求函数的解析式【解】:如果令，那么就会变为，所以整理为所以函数解析式为(7)：奇偶分析法：一个函数是奇函数或偶函数，那么它就具有一些对称性，如果给出了一个区间上的函数解析式，我们就可以通过对称性求另一个区间上的解析式。例1：设是定义在R上的奇函数，当时，.求在R上的解析式【解】:根据奇函数的性质：：因此函数在R上的解析式为：例2：设偶函数f(x)满足，求在R上的解析式【解】:因为函数是偶函数，所以有：，所以函数在R上的解析式为：。(8)周期分析法若函数是周期函数或当我们通过题目的已知条件，能够判断函数是周期函数时，可利用周期分析法求函数的解析式。例1：设是定义在区间上，且以2为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，，求在上的解析式【解】:由已知，当k=0时，我们利用区间转移的方法，如果即则有：又因为该函数以2为周期，所以有所以函数在上的解析式为： 例2：设是定义在R上的奇函