小学数学-鸽巢问题教学设计学情分析教材分析课后反思

《鸽巢问题》教学设计教学内容：人教版小学数学六年级下册教材第68～69页例1、例2。教学目标：1.通过操作、观察、比较、推理等活动，初步了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法，运用鸽巢原理的知识解决简单的实际问题。2.在鸽巢原理的探究过程中，使学生逐步理解和掌握鸽巢原理，经历将具体问题数学化的过程，培养学生的模型思想。3.通过对鸽巢原理的灵活运用，感受数学的魅力，体会数学的价值，提高学生解决问题的能力和兴趣。教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。教学准备:多媒体课件、扑克牌、3个笔筒、5支铅笔。教学过程：一、游戏导入：1.师：同学们，看过变魔术的吗？老师今天也想给同学们变一个魔术。我手里有一副扑克牌，知道有多少张吗（54张），现在我将两张王取出，还剩多少张（52张）。请两位小助手帮忙，一位同学拿着牌，另一位同学随机抽出5张牌放在手中。老师猜在这5张牌中至少有2张牌是同一花色。重复抽取一次。适时引导：“至少2张”是什么意思？（也就是2张或2张以上。反过来，可能有2张，可能3张、4张、5张，也可以用一句话概括就是“至少有2张”）2.师：你们想知道为什么“至少有2张牌是同一花色”吗？通过今天的学习，我们就可以解释这个现象了。下面我们就来一起研究“鸽巢问题”，我们可以用铅笔来代替鸽子，用笔筒来代替鸽巢。我们可以从简单的情况开始研究。二、合作探究（一）初步感知1.出示题目：有3支铅笔，2个笔筒（把实物摆放在讲桌上），把3支铅笔放进2个笔筒，怎么放？有几种不同的放法？谁愿意上来试一试。2.学生上台实物演示。可能有两种情况：一个放3支，另一个不放；一个放2支，另一个放1支。教师根据学生回答在黑板上画图和数的分解两种方法表示两种结果（3，0）（2、1）3.提出问题：“不管怎么放，每一个笔筒里至少有2支铅笔”，这句话说得对吗？“不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，这句话说得对吗？学生尝试回答。师引导：“总有一个笔筒”是什么意思？（一定有，不确定是哪个笔筒/应该是最多的那个笔筒）。“至少有2支”是什么意思？（最少有2支，不少于2支，包括2支及2支以上）4.小结：从刚才的实验中，我们得到的结论是：3支铅笔放进2个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少放进2支笔。（二）枚举法（列举法）过渡：如果现在数量增加，变成4支铅笔放进3个笔筒，还会得出这样的结论吗？1.小组合作：（1）画一画：借助“画图”或“数的分解”的方法把各种情况在练习本上表示出来；（2）找一找：每种摆法中最多的一个笔筒放了几支，用笔标出；（3）我发现：总有一个笔筒至少放进了（）支铅笔。2.学生汇报，展台展示。一名同学操作汇报，一名同学板书（4，0，0）、（3，1，0）、（2，1，1）、（2，2，0）交流后明确：（1）共四种情况（2）每种摆法中最多的一个笔筒放进了：4支、3支、2支。（3）总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。3.小结：刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有可能的情况来得出结论，像这种方法我们把它叫做“枚举法”，也就是我们通常所说的“列举法“。思考：我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论，找到“至少数”呢？（三）假设法1.学生尝试回答，并操作演示。（把4支铅笔平均放在3个笔筒里，每个笔筒放1支，余下的1支，无论放在哪个笔筒，那个笔筒就有2支笔，所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。2.指名说，同桌互相说。3.引导发现：（1）这种分法的实质就是先怎么分的？（平均分）（2）为什么要一开始就平均分？（均匀地分，使每个笔筒的笔尽可能少一点，方便找到“至少数”）余下的1支，怎么放？（任意放进哪个笔筒都行）（3）怎样用算式表示这种方法？4÷3=1（支）……1（支）1+1＝2（支）算式中的两个“1”分别是什么意思？4.说明：刚才的这种方法里面蕴含了“平均分”，我们把这种方法叫做“假设法”。用有余数的除法算式可以把平均分的过程简明的表示出来，现在会用简便方法求“至少数”吗？5.课件出示（1）5支笔放进4个笔筒，总有一个笔筒至少放进（）支笔。（2）6支笔放进5个笔筒，总有一个笔筒至少放进（）支笔。（3）26支笔放进25个笔筒，总有一个笔筒至少放进（）支笔。学生列出算式，找一名同学在黑板上板书算式，依据算式说理。5÷4=1（支）……1（支）1+1＝2（支）6÷5=1（支）……1（支）1+1＝2（支）26÷25=1（支）……1（支）1+1＝2（支）6.学生观察四个算式有什么共同点？7.小结：当笔的数量比笔筒多1时，不管怎么放，总有一个笔筒至少放进2支笔。（四）建立模型1.课件出示：把5支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（）支铅笔。请用算式表示，找同学板书：（预设）5÷3=1（支）……2（支）1+2＝3（支）5÷3=1（支）……2（支）1+1＝2（支）针对两种结果，各自说说自己的想法。2.小组讨论，突破难点至少2只还是3只？3.学生说理，边摆边说：先平均分，每个笔筒放进1支笔，余下2只再平均分放进2个不同的笔筒里，所以至少2只。（指名说，互相说）4.质疑：为什么第二次要平均分？（保证“至少”）5.强化：如果把笔和笔筒的数量进一步增加呢？课件依次出示：（1）把10支铅笔放进7个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（）支铅笔。10÷7＝1（支）…3（支）1+1＝2（支）（2）把14支铅笔放进4个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有（）支铅笔。14÷4＝3（支）…2（支）3+1＝4（支）6.对比算式，发现规律思考：至少数和余数有没有关系？与余数无关。先平均分，不管余多少，都要再平均分，所以应该用所得的“商+1”7.引申拓展刚才我们研究了笔放入笔筒的问题，那如果换成鸽子飞进鸽笼你会解答吗？还有像“把苹果放入抽屉，把书放入书架”，类似的问题我们都可以用这种方法解答。三、解决问题课件出示：（1）6只鸽子放进了5个鸽巢，总有一个鸽巢里飞进了（）只鸽子（2）10个苹果放入3个抽屉里，总有一个抽屉里放入了（）苹果（3）18个小朋友，总有至少（）个小朋友是同一个月出生的（4）红、黄、黑、白球共有50个，总有至少（）个球颜色相同学生口算解答。四、鸽巢原理的由来师：同学们我们这节课一起研究了鸽巢问题，为什么叫做“鸽巢问题”呢？我们一起来了解一下。课件出示。鸽巢问题又叫抽屉原理，它最早由德国数学家狄里克雷提出，所以该原理又称“狄里克雷原理”。抽屉原理有两个经典案例，一个是把10个苹果放进9个抽屉里，总有一个抽屉里至少放入了2个苹果，所以这个原理又称“抽屉原理”；另一个是6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，所以又称为“鸽巢问题”。五、课堂总结通过这节课的学习，相信同学们已经有了一些收获，哪位同学愿意和大家分享一下。课堂一开始老师给同学们变了一个魔术，现在同学们知道其中的道理了吗?（指名学生说理）生活中还有很多问题都可以用数学的知识去解决，希望同学们能做一个有心人，去发现问题、解决问题。《鸽巢问题》学情分析“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，对于学生来说是很容易的。可能有一部分学生已经了解了鸽巢问题，他们在具体分的过程中，会运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。还有部分学生完全没有接触，所以他们可能会认为至少的情况就应该是“1”。“鸽巢问题”的应用是千变万化的，尤其是“鸽巢问题”的逆用，学生对进行逆向思维的思考可能会感到困难，也缺乏思考的方向，很难找到切入点。教学时，不必过于追求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题把大致意思说出来就可以了，更要允许学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。《鸽巢问题》效果分析有效的教学是从研究学生开始的。“解惑”需要先“知惑”，教学要从学生的视角望出去，瞄准学生的认知障碍。“抽屉原理”看似简单，但因为其实质是揭示了一种存在性，比较抽象，要让小学生建构起自己的实质性理解，还是很有挑战性的。首先，抽屉原理的精练表述，明显超出了一般人的抽象概括能力。对“总有一个抽屉里放入的物体数至少是多少”这样的表述，学生不易理解，教学中学生也很难用“总有”、“至少”这样的语言来陈述。第二，抽屉原理研究的是物体数最多的一个抽屉里最少会有几个物体，只研究它存在这样一个现象，不需要指出具体是哪一个抽屉，也就是说，对“抽屉”是不加区分的。而小学生容易受到思维定式的影响，理解起来有难度。在枚举时会把（2、1、1），（1、1、2），（1、2、1）理解成三种不同的情况。第三，人教版教材在例2的编排中是运用有余数除法的形式表达出假设法的核心思路，即5÷2=2……1。但由于该除法算式的余数正好是1，很容易让学生将“某个笔筒至少有笔的数量”是“商加1”错误地等同于“商加余数”。基于以上分析，教学时要注意分散难点，鼓励学生借助实物操作或画草图等直观的方式逐步理解。同时，在交流中引导学生对“枚举法”、“假设法”等方法进行比较，使学生逐步学会运用一般性的数学方法来思考问题，发展学生的类推能力和概括能力。魔术游戏入手，课始的导入引出了话题，也引发了数学思考，使学生初步感知“抽屉原理”，初步渗透了“不管怎样”、“总有一个”等思想。将数学学习与现实生活紧密联系，激起了学生探究新知的欲望。怎样帮助学生理解抽屉原理模型中的“不管怎么放”、“总有一个”、“至少”等词语表达的意思呢？在教学中，先让学生动手操作、画图，找出“把4枝铅笔放进3个笔筒里”的所有分放方法，目的是让学生真正体会并得到所有的分放方法。接着，通过教师的追问，引导学生体会、理解“不管怎么放”、“总有一个”、“至少”的含义，为自主探究解决问题扫清了障碍。在交流时，抓住两种方法的本质和关键加以引导，并进行归纳提炼，使学生初步感受和体验枚举法与假设法的不同。将假设法最核心的思路用“有余数除法”形式表示出来，将思维过程与数学符号联系起来，体现了数学的简洁美，并为后面发现规律埋下伏笔。《鸽巢问题》教材分析一、教学内容 教材编排的“抽屉原理”涉及三种基本的形式：第一种，只要物体的数量比抽屉多，那么一定有一个抽屉放进了至少两个物体。第二种，即是“把多于kn（k是正整数）个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）元素”。若k为1，就是第一种情况，可见第一种情形实际是第二种情形的特例。第三种情况是把无限多个物体（如红球、蓝球各4个）放进有限多个抽屉（两种颜色），那么一定有一个抽屉放进了无限多个物体（至少2个同色的球）。二、教材例题分析例1：本例描述“抽屉原理”的最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。教材呈现了两种思考方法：第一种方法是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放1支，这时剩下1支。剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。例2：本例描述“抽屉原理”更为一般的形式，即“把多于（是正整数）个物体任意分放进个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体”。教材首先探究把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书的情形。当数据变得越来越大时，如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，对于学生来说是有困难的。这时需要学生用到“反证法”这样一种思想，即如果所有的抽屉最多放2本，那么3个抽屉里最多放6本书，可是题目中是7本书，还剩1本书，怎么办？这就使学生明白只要放到任意一个抽屉里即可，总有一个抽屉里至少放进3本书。通过这样的方式，实际上学生是在经历“反证法”的这样一个过程。例3：跟之前教材的编排是一样的，是抽屉原理的一个逆向的应用。要解决这个问题，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一个抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化为“抽屉问题”。教材通过学生的对话，指出了可以通过先猜测再验证的方法来解决问题，也反映了学生在解决这个问题时可能会遇到的困难。很多学生误以为要摸5次才可以摸出球，这可以让学生通过实验来验证。三、在教学中要注意的问题：第一，要让学生经历数学证明的过程，在这里不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性，这就是一种数学证明的思想；第二，要有意识地培养学生的模型思想。因为“抽屉原理”在生活中的变式是多样的，比如让学生判断13个孩子中一定有两个人的生日在同一个月份，让学生去判断367个孩子中一定有两个人的生日是同一天……在解决这些问题的过程中，教师要引导学生明确什么是抽屉原理中的“物体”，什么是“抽屉”，让学生把这些具体问题模型化成一个“抽屉问题”。第三，重视实践活动，帮助学生在自主探究中理解原理，将具体的情况推广到一般。在例1中给出具体的问题（4支铅笔放到3个笔筒里），让学生在探究的过程中，逐渐找到一般的规律。第四，恰当保持教学要求，因为数学广角内容只是让学生经历这样的数学思想的感悟，在评价上不做特别高的要求。《鸽巢问题》评测练习一、填一填。1．把7支钢笔放到4个文具盒中，总有一个文具盒中至少有()支铅笔，如果把这些钢笔放进3个文具盒中，至少有()支钢笔。2．数学兴趣小组有25人，至少有()人属相相同。3．9只兔子装入4个笼子，总有一个笼子至少装()只兔子。4．王老师把36人分成5个组，总有一个组至少有()人。5．将9本书放到8个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了()本书；将25支钢笔放到8个文具盒里，总有一个文具盒至少放进了()支钢笔。6．把5个梨放在4个盘子里，总有()个盘子至少要放2个梨。二、选一选。1．34只小鸟飞向11棵大树，至少有()只小鸟飞向同一棵树。A．3B．4C．52．在任意的40个人中，至少有()人的属相相同。A．2B．3C．43．老师把36根跳绳分给5个班，至少有()根跳绳分给同一个班。A．7B．8C．9三、用一用。1．2006年3月份出生的任意32名同学中，至少有2人是同一天出生的，为什么？2．体育课上，同学们正在进行投篮练习，其中10名同学一共投进61个球。你能说出其中的道理吗？3．六年级有30名学生是2月份出生的，所以六年级至少有2名学生的生日是2月份同一天，为什么？《鸽巢问题》课后反思数学广角的教学是为了丰富学生解决问题的方法和策略，使学生感受到数学的魅力。本节课我让学生经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解了“鸽巢原理”，学会思考数学问题的方法，培养学生的数学思维。一、情境导入，初步感知兴趣是最好的老师。在导入新课时，我让同学们玩抽扑克牌的游戏，这个游戏虽简单却能真实的反映“鸽巢原理”的本质。通过小游戏，一下就抓住学生的注意力，有效地调动和激发学生的学习主动性和兴趣。二、活动中恰当引导，建立模型采用枚举法，让学生把4枝铅笔放入3个笔筒中的所有情况通过摆一摆、画一画或写一写等方式都列举出来，运用直观的方式，发现并描述,理解最简单的“鸽巢原理”即“铅笔数比笔筒数多1时，总有一个笔筒里至少有2枝笔”。在例2的教学时，让学生借助直观操作发现枚举法适用于数字较小时，有局限性，而假设法应用范围广，假设把笔尽量多的“平均分”到各个笔筒，看每个笔筒能分到多少支笔，剩下的笔不管放到哪个笔筒里，总有一个笔筒比平均分得的多1支，可以用有余数的除法这一数学规律来表示。大量例举之后，再引导学生总结归纳这一类“鸽巢原理”的一般规律。特别是通过学生归纳总结的规律：到底是“商+余数”还是“商+1”，引发学生的思维步步深入，并通过讨论和说理活动，使学生经历了一个初步的“数学证明”的过程，培养了学生的推理能力和初步的逻辑能力。三、通过练习，解释应用适当设计形式多样化的练习，可以引起并保持学生的练习兴趣。练习内容紧密联系生活，让学生体会数学来源于生活。练习由易到难，层层递进，符合学生的认知规律，在练习中，学生兴趣盎然，达到了预期的效果。不足之处是学生的语言表达能力还有待提高。课堂中，数学语言精简性直接影响着学生对新知识的理解与掌握。因此，在以后的课堂教学中，我要严谨准确地使用数学语言，发现并灵活掌握各种数学语言所描述的条件及其相互转化，以加深对数学概念的理解和应用，增强提问的指向性、目的性。《鸽巢问题》课标分析一、课标要求《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。二、课标解读（一）让学生初步经历“数学证明”的过程在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行