基础课教学与创新精神齐民友

1根底课教学与创新精神齐民友武汉大学数学与统计学院湖北武汉430072chiminyou@yahoo树肝桨疲类回科谱学活申动最宣本质静的特驱点就阔是饰创新亭或咱创造估.签韵叮垄巩旋教学战活动渣必须亏是搏最具资有创侄造性吉的活爸动.锻鼓帐因此建,应替该从承教学却活动失的内矿在特厉点来东理解忍如何器培养惨学生光的创呢造性跨.创室造性帐不是注“旗教箭〞寨出来针的，油而是耗在整迟个教鸟与学慰的全墓过程间中背自然窜形成咽，或皮者说扰，也熏陶批而成歇的立.甘创造浪性宁枪可说直是一缎种心弯理素酿质欺，一逆种为莲人处烈事的沉态度画或者岛习惯回;它阁是哨一种降最为步珍贵酬的素亿质男：锦创造奖始于坛不满饰足，活始于叙否认帖.瞧创造遗始于跳自信愚.馋创造兆始于节脚下醉的每萍一步于.银创造掠成于波从零心所抚欲不虏逾矩演.换以唯小平兆邦彦顽的书冠为例便：奋说紫砖小平唯邦彦妨是谁饶？1炕91滩5-垂19尿97仿，是银日本聪20袍世纪数最伟循大的街数学槽家之如一指.擦是少变有的天同时垄获得登Fi禽el湾ds耽奖〔钱19拜54砌〕和闹Wo谷lf巾奖〔狐19少84啦-1咐98料5〕齐的数柴学家史之一细.杆此书股是他沃写的腊教材浴.恐日文创本初特版于洽19别91黑年其(岩深波书遗店出饱版)约，当踩时他磨已经犁76徒岁高寸龄馅，于追19效75强年在苏东京辞大学成退休亭后，拍在学争习院晨大学老任教伙.此辰书应姻是他丑的晚盒年著成作.筹他在恨晚年检还主磨编了那么一套处日本手高中院教材岭，被拐美国渠数学累会译榨为英讨文，异获得撞广泛背好评嫩.伏这伞一位蔑如此菊高龄男以及烧地位柱如此论崇高拥的大虽数学问家花所写肥的书兽充满卷了创石新精棵神!努对于颜我们障如何惠创造蜡性地源做好敞根底宜课教挂学是份很好填的范趁例.恩下面奋从这列本书弦里坦举几扶个例衡子捕，丽来说驴明我费们关抛于教俘学中发的创虏新的夫观点挽.颜诚尽早鹅地比肚较系摄统地啄引入像复数遭熟复数甲与实滥数的崇“赢微积促分押〞姨真正浪地表蹦现出式本质樱的区暗别，阶应该嗽从哥勤西贩—哄黎曼婆方程活以及写哥西众定理淡开始旨.本坝书从拐变量蚊与函奥数的侵概念冷开始知就打敞破了劫二者绍的界户限,竿这样河做有乱许多歌优点沃:甘更深还刻地毅表现绣了数曲学的颤统一涌性.绑更符鹊合历捐史发诵展的腰实际拾情况恨.杠及早律介绍仓欧拉令公式俯十分仁方便拳教学兴,特红别是袜后续删课程待和其茂他学汁科的俭课程撤的教徐学.凭举一陪个例迎子旗对于办微积辆分的拣重要刺问题拿给出甘了比俘一般晶教材脾更加俭精细届更加风充分绿的处丸理睬现在矩以一招致收榆敛的遭函数献项级粉数的界逐项瓦积分秩为例忠.先训看盆一个些习题循(语出自墨原书吹I,责职24武7页颠第4踏2题抓)牵“腥举例牧说明样，存污在满挥足劣并且巾在区比间善上一乐致收伍敛于颗0的掉连续惠函数当序列串.逢〞停答案柿其实蛮不难彻，例锻如取忌即可务女〔咽或封均可魂〕艺.诚要点苹何在初？节某个涌区间击上的教连续肃函数知的一凡致收随敛序晕列容摄许在带积分何号下响求极玩限，转应该描限制秒于此忽区间坑为紧祥〔通塌常教槽材上锋总说觉“偶有界冤闭区严间〕唯.什紧性颜的作春用爪.现兵在通某用的吗教材涌的一非个通烘病歌在于踪没有族看到欲紧性通的极章端重程要性笔.偷.存当错非紧回时不星一定中是巴邮拿赫禁空间聋.害它的猪对偶挺空间顽更是坊一个踢麻烦津问题桑.迅这个饥问题牺与艳构造昌广义牺函数暴〔如牌函数浮〕的泳关系凤.谊自变甩量手变为打〔或撒〕与灾函数里值变饲为绿〔或浊〕在糖几何艺形象做上藏互为拥“宿逆变纱〞茫.驰还有武没有谷其他盆的联歇系秩？捞级职如果诱说以蹲上只灯是我探们对却于这躁个题新目的伶“埋教学微建议龄〞呢，下后面那么悄是原季书作斩者爷巷关于规积分佣号下恰取极趟限的肯问题冻进一吵步展殃开.乘原书忽I,充19扑7页叼给出帆了以葵下定恋理:跨“嚷定理躁5.利10独(情Ar心ze骗l放à国定白理)给坚设在称闭区俩间愿上，科函数异床诞连续背，并诱且一缩致有酸界，枪即存弦在不诉依赖沿于贺的常白量移使得冤在介上恒葬有植成立使.齿如果聚函数漏序列彻到喂袭收敛贱，并睁且其咽极限名在羽上连规续，肥那么矿妥傻刚存籍这个确结果筝(以徐及上渣面的魂习题跃)老都不班是特滋别偏趁僻的柱,例免如可胳以参放看菲妨赫金然哥尔技茨?项微积蔽分学及教程贡?〔亡第二开卷〕北.但兰是此叶书不展是把趟这些蜻进一叮步的摘展开诵作为些可有野可无萄的附典加,壶而是咬作为浑完整杀的论照述的练有机诞组成淋局部怀来看棚待.坟要点露何在风？火本定嗽理是竿勒贝绸格控睬制收给敛定密理胡的特估例叔.参您的父学生围学勒栗贝格缸积分术理论欢感到哈抽象翠吗陡？他绵们路敢不抓敢应声用驰这个茶理论邻的具芳体结躺果于腔自己昌的工旷作中曲？进仗而，目对于卡数学灾中更勾深刻惨的结狂果，犯他们财是否楼愿意抄学？河学了假以后找有没排有具毕体的拨好处汁？挨本书啦把这蝇个定便理用磁于含智参数辅的积腊分在补积分够号下赵求导莲数〔跃见原映书脉Ⅱ班，2上67筋页定饥理6谢.1怎9样〕抖.缓关于含交换其极限神次序矩的问瞧题嚷,就闭我所奖见,绪本书性是最摧清楚败明确疗而且霞不繁无琐的剪一本双.启本书浩非常匪注意捎前瞻忠性青.乞如上将所述稳,已裁经注尽可竟能早殖地引伙入复雀数,荡应用布线性充代数眼的概珍念(搬如向银量,辩矩阵麦等等凉)解扮决微绞积分杯的问删题聚,现唤在还杜与所麦谓僻“龟精密肾分析男〞炸连接炭起来色.觉雅不但宇瞻前厉,而处且顾徐后么.留我国副的情觉况是早:浩进了遇大学委就忘江了中土学搂;对大学户数学属系毕碎业以读后去笼教中秀学时桶,栽又努觉得慎大学清学的嚷东西扁完全驰没有芦用企(驳实际话上是坡不会效用古);鹊大学男数学招系随很少穗想到道担任释中学省教师名是很礼大一涛局部暑学生标的出际路竖,培贞养合缘格的运中学将教师圈是大杀学不哈应推作辞的靠义务药.总例如默可以畏问一坐个问扁题:喇“墙定义匆〞坚对不薄对？赶首韵答案追应该懒是：令不对赞.因纪为这镇个式啊子的新左方扫把幂锹的指扔数写徐成了竖分数捷,就腥是永隐含层地承丈认了予:换右方使根号漏的两材个指垃数的碑关系霉恰好喉是分炒子与树分母他的关犹系都.这场恰好滚就是碌需要纤证明叠的.辛本书熄的定梦义方章法(怎我作月了一贵些改珍动)员是:苏“愈定义渗〞裕这种跌有理珠数指遵数幂顷为逃方程皇的唯组一正汗实数纽根践.再贷证明殿和贝恰好读是分晓母和晌分子绑的关榆系.巡所以早这个番根可氧以合旬理地峰写为妥.演当评是一阁般的图有理纤数时衫如何拌证明幕？稍钻脊需刊以上支可见砌本书规I,谅社72蚂-8层8页蜘.澡张由穴幸屯从蒸这几幅个例企子看语:笋小平执邦彦自的书纳有哪皱些优表点和庙创新凝？色抓住挤了数绘学内浇容的渔不断贤开展纠的殊实质记，而介不是猎把它戚看成殿固定播不变允的,樱不可松逾越讽的,滴也不骑停留翠在形昂式燥推导病的表经面上预；努臣力建往立数拥学各朵个部固分的户开展盐和立相互膀联系罪，而省不是其把作心为一筝个整妹体的天数学门过度动地划莲分为辣互不泳相关某的酿“幕分支肚〞拾.占提供粱了许裹多问散题的低新的猜处理书方法环，使拌我们睡不会导误认激为奥“疮数学蹦〔具概体地跪说：袜微积旦分〕流〞机只能蜜有我俗们熟麻悉的拣那恨一种洲理解冬，叼那舞一种馅讲法糕.屠表达榆了高衰度的母个性眨，正桃如小赖平邦虑彦可喘以室“况反常锅人之水道而揪行晒〞墓，我棕们也访可以爹“化反小恼平邦锡彦之趴道而茧行饺〞故.蔑没有硬多样防性，旬就没脂有创姿造性学.否鼓励礼教师亡和学巨生走稼自己问的路冠.知俱疏总之揉：一弓方面搅要德去粗肾取精藏，去怕伪存吗真，逗由此犯及彼挨，由算表及探里警.焦到达爹对数扔学的透规矩丙〔即酒内在彻的规计律〕俩的认险识，询做到革中规砌中矩察.咳另一课方面羡，可杨以根惊据自旱己〔皆教师原或学姐生〕供的具予体情汗况以维及学寒术上择的爱熔好、棉习惯扩、长积处与傅短处底等等糕来教假设好〔蜡或学晕好〕委一门生课程吴，从钻中得戏到对板于数怕学科肌学的壮真意赢的理榜解冈.罗综合丹这两尿个方鹅面，走就是铃前面盲说的恒“陶从无心所贤欲不君逾矩头〞谋.敬标句从这虹个意首义上枝说，旦教与馆学都浪是一猾种姥“哑再创握造喝〞—陈—挣从创皮造中司学创哲造角.城这当材然是晨一个伙艰苦虏而又药漫长顺的过宰程乎.视附序骂录帖小平权邦彦浅一书音的两睁点说互明抖关于阁幂运资算块幂运续算绿是指平数函驳数和哭幂函车数概渣念的泼根底展:假设漠视锹为变注量,旧就得伟到幂鞭函数墨;假设荡视吵为变扑量,歇那么得鼻到指华数函桐数.岸为什崭么要暑求穷，我尾已经坚在另融文中家作了障严格睛的论陆证,损这里现不再烫说明态.舒幂延运算翻有3励条基耳本定辩律(坚我称销为指最数定宅律)贼:塔1.经毅沃闹许你鸦善局骑激研却诚势票触2.醒柄匙3.郑惩夹当轧为正腿整数脾时,赏幂就行是连促乘积忍;这尘时,询上述谊3条地定律眯是自尺明的所,我撇们不懒再证骆明.基现在闹要讨肆论的桌是授为有抓理分今数的肤情况朋,即驴指数凝为旷，而疫均为恭正整修数的馅情况班(士为睬也可原以,凶但为榆简单贸计,泼我们很不仔止细说弄明)光.以魔下,码所谓项分数依均指衬有理胸分数捐,所扑以如篮像晨之类占的数斑暂不定讨论寒,留车待下夕面悠为一益般实荡数时跟再说妥.请首先暗是当王为有康理分纽数时盒〔特本别是亿时〕叼幂运导算抛的定胳义问胡题.鲜小平址邦彦纳书上鞭是用胀的反深函数更来定术义描的.太为此白，他立需要财先证饶明严鹅格单茫调连梦续函港数必贼有反柱函数铅存在拦，并护且在破讲坑时就筛已经弱明确兰地证包明了静它在版上严支格单胜调连倍续.稼这些缺都比哪我国多通用辽的多结数数嫁学分轮析教糟材讲犯得更积好.影我在芒另一底篇文旬章里记那么用攀了以栽下定呀义：河定义牧１．按即方遗程屯的算虽术根疗〔即霉正实挪数根粘〕．烈算术丈根的做存在押和唯在一性甲没有副用代坏数的访根本楼定理长来证姑明，涌因为办它只哥能保督证方部程盏有复倘根存格在，含而碎无法望保证须有唯简一正践实根欢存在辩.搞所以编我是灿用连志续函叨数的哈中间怪值定亩理来狱证明礼的．敞这与逼反函茂数定卫理是肉完全本等价制的．慢进一裂步盖的情括况有氧两个准方法肢来定善义：舌或者店定义千为忘的芦次幂限；或稳者定碰义为尤的芳次方欧根，竭即惑定义市２．贼扔即方誓程猾果勒资砍报杀淘梁灿英蒸为鞭洲厚〔１窑〕建的算羊术根悔．画这里讯只是凳一个乞暂时彩的记惠号．辱现在礼的中邻学教冈材时视常就崖说：崭分数隆幂违的定苦义就产是梁．微必须与明确灿指出伏，这曾个说泰法是过失误钻的，婚因为竹它隐芳含地忽规定夕了乘紧方的布次数钟与开拌方的怜次数决的关议系〔臣也就堵是方隶程〔注１〕生左右还双方青的两北个乘携方次嫌数的境关系飘〕是砌分数缝分子洒与分亦母的侄关系袖，而阀这一扫点正纠是需搞要着残力论广证的亭事情昌．正条因为痒如此厦，我蚕们在袜定义老２后冶面特阅意提浪醒：邮“因这里随只是斜一个左暂时塑的记遮号汉〞简．见中学购教材多还有设一点哭遗漏鞋：在需中是窑先开剪方后永乘方裁还是塞先乘斥方后叶开方码？颤看来旬似乎壁是先画对颂乘冤次方伏，再砌对特开次茶方．贿定义议２那么缘很明影白是滔这样盲作的傍．因衔此自倦然有将一个锤问题醒：可艳否先吉开方老后乘赞方，次即定帖义联为匪？实级际上缘不但鼻可以爸，而雅且有诚时还扫更好貌．原沾因下悼面再除说．伏在下沉面的从讨论焦中，总我们春暂时恒限制膨幂忽为正死，所棋以轮负指独数的纤问题纺因为踪比拟寄明确呆，不奥会有浇什么湾误解哀，所欲以这司里不授说了朴.觉我们托先来处证明奏先开何方后寸乘方优也是鲜可以观的．津定理景１．筋定义刚２中嫂的伯就是稀定义延１中浸的兵的克次方熊．占证明寨．记亲定义龟１中还的相为恒，它鞭的存典在和靠唯一俯性上怎面已苏经说袍了．捧它是多一个脚正实傍数，庸因此罪可以孩对它浅求任劈意正电整数扯次幂施．由秋定义旱１，家双方晕求逢次幂昂有珍．末但是碑是正晓整数晃，从蛮而孙就是喂一个耍连乘会积捏，所时以笔因此行，狂是方标程株的算穷术根涌〔注钳意鸭是正运实数前〕而君按照循定义似１，亦即冤助弱商撕温如愿陕包欣正〔格２〕戴埋这毛个证数明的安要害隙是：瑞把档的有四理分胸数幂类变成芳的正慌整数呈幂．韵反正凉作为亿方程倍的算塞术根裹是正摩实数摆，它绘的正照整数苗幂就路是简丰单的甩连乘创积，蓄所以狐可以醋应用依前面农讲的掘指数血定律嫌．以漆后许亿多证厉明都哲是这亭样来宋的．玻这就巴是为肿什么择前面匹说先绘开方嫩后乘闷方有水时更常好．索另一搂个更续重要陕的问吃题是具：有挣理分肝数役可以魄写成股不同合形状旁的分昼数，珍如跨等等闯，于忆是就草有不个同的牵和煮．所届以至瓶关重惧要的穷是要匀证明疼定理蔑２．输如果繁为正愤整数奏，控那么对旨于里有继形切涛窑码负肢村始雾核赠〔３丢〕昏有了诸这个买定理废以后央，我碑们才嚼看见姥了健中底确实弄是一掏个有精理分仪数．普〔但秋是我均们下苹面还培会给末出一鸦个符稠合现科代数内学要姨求的老形式山化的田证明餐，虽遵然这找对于窜大多府数雨中学治老师之——大更不浆说是素全部鼠中学欧生俱——斑是完游全不抖必要关的〕烟．证辞明的势方法吐和定梳理１恢的证忌明方裁法是糊一样喉的．刺证明汗．胸对前乘以跳次方旱．由肌于象即拉所以威由〔依２〕舱式有扇第一笼步的卷方括剪号处忆我们井应用订了〔沿２〕抄式；栗第二拥步最怎外层小的方声括号掘处遍，我科们利普用了港为正伟整数毛，从此而可叫以利诞用前垄面关傅于幂饿运算崭的指河数定拍律的关第２狮条；宝最后求一步她那么是辛定理肉的假罪设．品同样萍，我懒们也编有命这样胖，就和扇是同孝一个甘方程罢的算骑术根租〔润和嚷是正讨实数顿从定忙义２锹中已芳经明赞确〕烈．由纲算术肺根的狱唯一贤性即哄知二卸者相庸等．乔证毕惨．穿课真以上酸只考蚂察了驻幂为盐正的讯情况顺.如底果幂无为负息，也孤不会软有大划的难负处，兴所以昨不再秆讨论女.票在小耽平邦关彦的麻书中盼，以恰上全短部内炼容只总写了肚不到旗１页尘的篇析幅．盘他说傻：＂助在本遥节，记我们除将对泄在高庙中数所学中故学过忘的指倘数函坟数和益对数愤函数苗进行惧严格妄的论门证单＂由砖此可砍见日浆本对孕高中盏学生逼和教足师是锻什么吵样的孝要求慧！我布比拟帅详细途地写份了这债么多筋，无馅非是莲感到赶此书培言简靠意骇华,而批自己层教了尾这么但多年惠的书痕，其惹实没深有把抄最基个本的抗东西篇讲清筹楚，很实在丑汗颜倍,所基以多老写了他几句国.耳下面断再来淡证明睡对于桑有理绢分数梦幂，庭幂运摸算的惰３条矩定律辈也成柿立．泄因为饼证法葱完全咬一样糖，下郊面只贺证明闷第一贷条：必如果历为正帽整数抖，摧而旧，那么伸有鲜进议婶静崇爆老满排暗外签〔４梁〕惕证明堵．隐将上贴式左蚁方乘专次方委．因踏为港是正纹整数计，所最以可谦以应忧用幂能运算黄的第葱３条早定律掉而有热这里异我们测用了症上面奴的超证明膛，以戚及对府于正霉整数迁幂的笔指数萍定律损的第悄一条沾．欲由此仍可见惠〔４羡〕式醋左方身是方望程芒的算洒术根压．因遮此亭定理冬证毕首．卷为了检更好灾地理疾解以并及教魄好一慰个数钓学问想题,勒一个傲有效脖的方杏法是魄注意嘴瞻前蕉顾后担:我恋们不胡妨回组忆一肺下小礼学生寨学分绣数运段算的辈情况浙.如撇果有亲几个名分数维要处养理,愧最好灰是先练求出旋公分临母,倍最方丢便的弦方法俊是把学几个端分母疮乘起冰来,报如同炸上面慰的慌那样草,而雕不必吼求最树小公北分母拌.作渣了通驼分以绵后,但就完构全成肾了分哄子的葵正整景数运戒算镰——醋分数维问题满化成稀了正闹整数词.我签们这蔽里也胜是一圈样:寨先乘侦上城次方谜,就权把分下数幂乳的运忌算化薄成了薯正整亭数幂雅的运满算.取可见既从原督理到酿方法长都是枕相通及的.芒以上照都是酱“值顾后糕〞悔.再餐说坑“窑瞻前槽〞壳.我篮们讲碗的幂把运算仰与小避学讲皱分数刘不同质之处菜仅在炭于乘叠法变陶成了立乘方牺,除腐法变建成了睬开方瓦——舌这正吵是对议数的腾思想佩.如熄果再半进一易步，龙想一瘦下如盆果对梅于幂雷运算扶没有瓶如此石清楚芝的理盒解，抽指数羽函数桂该怎艺么教全？岂吸非大苏厦立胀在完刊全靠雕不住呜的基菌础上慕？对后于学谅生当代然不躺能这致样要社求，宁但是破作为语一个败教师素，养悟成这态样的送瞻前蜻顾后鉴的好薪习惯酒，无肾疑是张会得嫂到丰根厚的宪报偿执的.幼但是属前面沫所讲耀只不毅过是哗“皆体会蜘〞凑：应数学止里少倾不了盖某些妄只可词意会陕的参“埋体会障〞渠，但悬是终劣究应么该用院清晰芹明确具的语袄言把拼它表多达出刷来那.所奸以，泛形式羡化虫是不痰可避得免的洽，是自一大茧进步讯.下狂面我喝们试昂图把旦它形岁式化却.俊什么境是分惹数红？一扬个烧贩饼３么个人予均分旷，每开人得够个.完教小打学生静这就销够了驴.但乘是对姿成熟骡的中斑学老仍师，焦这是言不行稼的.鱼现代皮对分泊数的酱理解符，就俗是厦把分侨数考草虑成嗓为一湿个有托序的茎整数皮对睡，臣其中柴.所霜谓揉“秒有序定〞芬其实芒就是汽说前源项是敲分子搂，后析项是请分母蝴，次煤序不松得混冈淆；民就是拢分母嚼不得复为０缺.但乏是马是同蚀一个吐分数庭，所讽以在导这类眼有序园的整念数对摊的集钻合里衔需要赛引入竹一个纹等价右关系跃：假设民适合慎关系侵式：绿就说疫这两张个有疫序的额整数左对等友价，就并且耻记作促确实猪是一族种等坦价关管系，膀因为黑它具卸有以精下３否条性字质：沈自反盆性习：小对称抄性条：假设垦那么攻传递胡性慌：假设亡而且蜂那么追这些齿性质污都不港再证熊明了踏.向以后爬就称洁这个逝等价酸类为站一个摸分数肝，并涛且把艺记作渡假设扬那么说结以上习所述植全都剖可以妻在一约本较耽完备柴的现敢代代雪数教搅本里齐找到衣，是母每一沈个大铺学数卵学系荡的学勾生都巨应该蛙学过犯的〔枪或者薄可以流容易私学懂云的〕武.因帜为手关边没江有参繁考书仍，就错不再润指出我出处搭了，粉而是件回到策分数赚幂问表题上王来.辰回到按用于著定义约的方臣程〔寨１〕犯.粒我们碎现在华不再症用折这个志暂时听的记奖号役.但物无论添如何肝，这凭个方丹程的控解〔顿存在蔬和唯街一性贡问题甩已经丧解决押了〕乞总是牧的函塞数.痒因为戚在整遍个过肤程中疏一直宅没有度变动读，所饥以这殿个函叫数可窗以写血作鹅但是薪，定承理２开告诉文我们艇它其肝实是离所成拴的等掏价类目的函湖数，济所以享应该烤写成峰当然阴最自料然的醋记号大应该幅是太，因迅为当陪而恒就是担正整宅数亡时，璃我们储一直鹿用的越记号姐是贱可见走这不楼但不盛是暂津时的摩记号黎，而供且是晚只能续使用痰这个哀记号蝇.洞关于姻具有窜一般活实数诸指数示的幂甚运算因为任伯意实透数如另何用舌极限盯方法耻加以此定义驰，并返证明奖前面星说的套幂运零算的荷3条艇定律斯，一享般书欲上都携讲过盲.虽吨然不走一定糠好懂谜，却取不会捷引起麻误解筑，所滨以这盗里也患不说瞧了.花２．皆一磁个习温题狡这一羞局部耻是关议于一乳个数味学分袄析习使题，签与中背学教蔑学无居关．中小平乏邦彦返的这辣本书蒙?允微积辈分入鞋门处Ⅰ霉，一侨元微谈积分多?第城22竹4剧页有梳如下临的题寻目：末“省举例除说明黑，存振在满那么足杆并且猫在区铅间雾上一菊致收陵敛于忧的连裙续函沉数序山列.陵〞班题目盐本身研并不蠢难.泄书上途也有谨答案待,与薄下面窃所说劝相同母:建只需教找一纸个在令区间庭上有堡界的战连续肆函数景使得渐，然饲后再欣令锯即可早.裂喇翅在积还分吐中作炼变量喉变换早，就演有怠在区监间丢上一眨致收侧敛于毒０由违的有魄界性凉是自谅明的受.支例如仙，取加等等纳均可赚.考问题末在于情这个客题目章说明凳了什启么？由我们症在数束学分莲析中烂都学副过：扇“予假设区棕间暴上的通连续严函数浑序列短在此乌区间长上一铸致收污敛于鸟０，密那么必确可在扩积分戚号下往取极验限而内得游〞清为什朝么不米能仿距照上猫面的叔例子惜来构储造一密个反侮例来乌推翻昂数学专分析安的这驴个有追根本崇重要屯性的胸定理站呢？门至少楼可以谦这样遮来看吼:如轻果作启前面斤那样滨的变狗量变廊换脑,积像分偏积分搬区间侦短了没一大袍截,啄当蓝时,齐积分番区间蔑趋为辞一点旋,当挂然就素不再月可能港.胳小平晚邦彦瑞为什描么出穗这样波一个糊题目扬?我垂想是款因为吃我们败对那絮个一充致收覆敛序稍列可屯以在谣积分序号下征取极搁限的哪定理安“炮太熟络悉航〞匹，所枪以飘觉得脉阴沟填里翻包不了升船,反也就奋不太到细心辈了掩,以番为在号无穷石区间端上它欺也成直立.易我乍搂一看芦这个浓题目沾,心谱里一无惊,亩才想馒到过狸去对膊此并赠未真户懂.剖其实帖这样鹅的情秋况,片我们允在学劣或者处教数叙学分夹析课占程时偿,并放不少寄见.斗小平考邦彦扰的书勺里就雀有不柿少我足们自杂以为赚没有帮问题差而其征实应广该细消细想樱一想贼的材庄料.尘再分同析一近下我栋们的赶证法乘.既病然在陈函数吨前面烂加了伍因子再就把雹一条圾曲线置压低季到原椅来高梯度的刊但是角，这雀条曲运线下截面的嘴面积贵就只拥会趋秩向0配,而项为什蛮么表画示面翠积的谨积分俯始终固为割呢?坛问题势出在省自变厚量也沸在变坟化:乐由樱变成亦了悼所以毫轴上争的单限位长皇度厘相应袭于原弱来的晨轴上坏的长泉度霞也就畏是说葵,曲仆线在灭高度勿被压养低到雨原来骂的高板度的错的同哭时,灵其水妨平的睛长度吨却被底拉伸盗了篮倍,聚所以崭曲线满下方巷的面估积是凯不变职的,疾所以躺自变众量前艇多一疗个因棚子志和函悟数值虫前多田一个起因子碗从几如何上股看作页用恰锈好相编反.脆这一乞点与匆“楼协变打〔耐co逢va音ri飘an缸t贯〕伐〞厌和绑“些逆变缠(岛co毒nt悔ra岁va苹ri膝an躲t聋)仰〞供的相板互关嗓系有遭点类掘似.残协变软和逆龄变是巨现代个数学特中很角根本篇的概卡念，射其实押在此年已见呆端倪陪.我蜻在前循面讲度了诞瞻前革顾后惠的道傻理，鼓不要咳以为验现代错的东病西一倾定是和最最装抽象贞难懂生的东飘西.陪上面阵已经伙属于易瞻前辩了，递其实膨可以喂再往梦前面华走一宏步，尖看一童个中坏学教恩学中盆就已世经有糟点忽饶悠人弦的小道问题套：函筹数累的图乡像与寄的图工像的樱位置匠〔不荷妨只鹅看棍的情搅况〕惕关系束，恰靠好是窜在觉左方搅相距刻处，夹而迹的图毁像是升把红的图角像向泻右移络动一愤个双又见席协变咐和逆猎变的遗关系础！院不妨肝想得排更宽棒阔一价些：丘既然坦已经婆看见稠了滚的几辱何意膨义，励何妨杰再看估一看并的几龟何意奴义〔役但是粱我们涝现在拼限于掏.前僵一个肿因子抬表示夺在屿轴方谱向上案把高跳度提码升颈倍，季自变真量上自的因麦子赤显然播表示筝在蛾轴方味向上扁向原航点收撑缩到验原有地的耍所以变，如壮果这笋个函示数的庸图像猴是一吃个钟匠形，绍那么当愈时应籍该能讯够得谨到一阳个兰“参函数逆〞浓.因涨此我罗们应赔该可涉以证咐明:催当着冲是一干个紧象支集跑连续真函数刑时，填应有贫所有型这一片切都妻不难介证.斥当然炎可以错考虑宜原来痒的肺就有傅紧支盏集的头情况扩，或牌者钱的情丢况等亚等.渔这样蛙做，玉目的绞并不剑在于粒想得坑到某累个新背定理笋〔有时时也锡会得姿到很吹有意相思的闪结果杏〕，偏而在赔于加私深自盈己的删理解松，使偷自己稳在一纲门非饱常古晋老的柴课程阅〔包值括中劈学教堵材〕半里更和加如驳鱼得钞水.恳这里维说的岂“改水烟〞绢就是扮广义达函数悦.这检就令违人联吸想到辅朱熹堤的名绍诗?恐读书滑有感克?曰孕：永“昼半亩李方塘妥一鉴腾开，闻天光忠云影虫共徘渴徊.往问觉渠哪攻得清树如许圆，为帽有源工头活乔水来金.白〞厨通篇服没有挖一个肚“延书耻〞灿字，汇可是踢读书暂教书茧的道到理算抗是讲押透了普.其蔑实，快读书陶和教遭书与浊其说饲是方玻法问巧题，扇更是沾一个奥心态卵问题科，是岗怎样烫使自结己读简书教箩书很订愉快既，撕“五不那富么累嫌〞江，而弦且不榴断得晶到源技头活俭水，棕如醍咐醐灌矩顶，题天光勤云影树，既络在书仇中，驱又在吊心中松，相茎印相哄通，民岂不扒快哉款！醉闲话弱打住开，回躺到连狡续函添数的败一致冻收敛胖问题莲.我手们都骄知道届有限瓶闭区弃间歉上的泽连续挽函数吴构成乐一个蛾巴拿胆赫空究间，伪其中咬的收阳敛性挠就是格一致党收敛俯.可显是就叶没有歌注意硬到，搅开区管间不像行，产无界好区间适不行兴.现醉代数灭学很是明确桥地只戒讲诚“想紧集约合走〞晋，这帮使得誉不少霸学生等糊涂脖，还晓有不璃少人当觉得圈数学更家受院了布克尔巴株基之乌害.臭他们堤很少富去想胞，连钞续函岂数可翻以达广到最团大最印小值萝、连求续函腿数又龙是一爱致连