第二章X射线的衍射方向

第二章X射线衍射方向

§2.1前言

§2.2晶体几何学基础§2.3衍射的概念与布拉格方程

§2.4布拉格方程的讨论

§2.5衍射方法返回总目录本文档共47页；当前第1页；编辑于星期三\11点21分

前言一.衍射基本原理的回顾

⑴.光子在传播过程中，当与物质粒子（如空气分子、晶体原子、尘粒等）相遇时，则可能被散射。在偏离入射光线方向上的观察点所感受到的光是散射波在该点迭加结果。如果散射波是相干的，那么，观察点所观察到的光便称为衍射光。

本文档共47页；当前第2页；编辑于星期三\11点21分⑶.许多平行的狭缝可组合成透射光栅。如每条狭缝的宽为b，缝间距为a。当光栅常数（a+b）与一个点光源发出的光的波长为同一数量级就可产生衍射。

⑴.对于X射线，其波长在（1~10埃），能对X-ray产生衍射的光栅常数也要在1~10埃的数量级，晶体中原子在空间的排列间距是1~10埃，晶体就可以作为X-ray衍射的光栅。⑵.光在传播过程中遇到障碍（如孔、缝等），如果通过障碍的散射波在某些方向上相干的结果不能完全抵消，便出现衍射现象。二.X射线在晶体中的衍射本文档共47页；当前第3页；编辑于星期三\11点21分⑵.X-ray在晶体中的衍射当X-ray照射晶体，电子受迫振动产生相干散射，同一原子内各电子散射相互干涉形成原子散射波，由于晶体中各原子呈周期排列，因而各原子散射波之间也存在固定的位向关系而产生干涉作用，在某些方向上发生相长干涉，即形成了衍射波。由此可知，衍射的本质是各原子相干散射波叠加的结果。本文档共47页；当前第4页；编辑于星期三\11点21分

衍射波的两个基本特征：衍射线在空间分布的方位（衍射方向）和强度，与晶体内原子分布规律密切相关。

也就是说，X-ray以晶体为光栅的衍射花样反映了晶体结构的特征，我们的目的就是利用衍射花样来推断晶体中质点的排列规律，即晶体结构分析。当然，在晶体结构分析时，要做一些假设，如P17（X为单色、电子聚集原子中心、原子不做热运动）。本文档共47页；当前第5页；编辑于星期三\11点21分简单回顾晶体结构方面的知识一.晶体知识简单回顾§2.1晶体几何学知识1.晶体：原子或原子团在三维空间周期规则排列所构成的团体。2.空间点阵：将原子抽象成结点，结点在空间按一定规律连成的结构骨架与原子在三维空间的排列完全相同，这些结点构成的点阵为空间点阵。本文档共47页；当前第6页；编辑于星期三\11点21分

3.单胞：空间点阵可用最基本的单元重复排列而成，基本单元称为单胞。单胞的大小和形状可用点阵参数或晶格常数来表示。a、b、c—晶轴的长度α、β、γ—各晶轴之间的夹角

每个单胞中原子数的计算：

4.晶系：空间点阵的形状只有七种，这七种空间点阵称为七个晶系，共有十四种点阵。本文档共47页；当前第7页；编辑于星期三\11点21分Ni——单胞内Nf——单胞面上结总数NC——单胞角上常见金属晶体结构（约90%以上）属于体心立方、面心立方、密排六方三种结构。其中：本文档共47页；当前第8页；编辑于星期三\11点21分二.晶带、晶面间距和晶面夹角1.晶带

在晶体结构和空间点阵中平行于某一轴向的所有晶面均属于同一晶带，这些晶面称为晶带面。晶带面的交线互相平行，其中通过原点的那条平行直线称为晶带轴。同一晶带中所有晶面的法线都与晶带轴垂直，因此可导出共带面（hkl）与晶带轴[uvw]之间符合下式：hu+kv+lw=0

此公式称为晶带定律。本文档共47页；当前第9页；编辑于星期三\11点21分可用任两共带面的晶面指数（h1k1l1）（h2k2l2）来计算晶带轴的指数[uvw]：

u=k1l2-k2l1v=l1h2-l2h1w=h1k2-h2k1同样，如果某一晶面（hkl）同属于两个指数已知的晶带[u1v1w1]和[u2v2w2]，则可计算出hkl:

h=v1w2-v2w1k=u2w1-u1w2l=u1v2-u2v1本文档共47页；当前第10页；编辑于星期三\11点21分2.晶面间距的计算公式：

晶面间距：两个平行晶面间的垂直距离。面间距越大的晶面，其指数越低，结点的密度越大。比如，面心立方中的（111），体心立方中的（110）晶面均为密排面。立方晶系的面间距公式为：立方晶系晶面间夹角公式：本文档共47页；当前第11页；编辑于星期三\11点21分§2.2布拉格方程

一.两方向上、λ相同的两列波的合成

即当两束波的位相差是2的整数倍时，其合成波会加强，合成波的振幅是两个波源振幅的叠加。1.两列波的波程差是波长的整数倍的情况（nλ）：

2.两列波的波程差是波长的1/2λ整数倍时的情况：其结果是两列波刚好相抵消。

本文档共47页；当前第12页；编辑于星期三\11点21分

⑴.考虑到晶体结构的周期性，可将晶体视为许多相互平行且晶面间距（d）相等的原子面组成；⑵.X-ray具有穿透性，可照射到晶体的各个原子面；⑶入射X-ray为单色平行光（λ一定）。3.两列波的波程差介于1/2λ~λ之间时的情况：其结果，合成振幅不会为零，但振幅会减小。二.X-ray在晶体中的衍射及布拉格方程的导出1.前提条件本文档共47页；当前第13页；编辑于星期三\11点21分L1LAAM1MnmN1Nθθθ2.A.同一层晶面上的散射：入射X-rayL1、L遇到原子M1、M后，散射波向四面八方，选择与入射线成2θ角方向的散射波为N1、N，其波程差为：Mn-M1m=0同理，同一晶面上散射波位向相同，互相加强。本文档共47页；当前第14页；编辑于星期三\11点21分如图：入射波L、L1被原子M、M2散射，选择N、N2

（与入射线夹角为2θ）：则1、2之间的波程差为：M2P+M2Q当（n=0,1,2,…）时散射波的位向完全相同，互相加强。其中：d——晶面间距θ——布拉格角2θ——衍射角λ——入射X-ray波长本文档共47页；当前第15页；编辑于星期三\11点21分3.布拉格方程：

2dsinθ=nλ(n=0,1,2…)

布拉格方程是晶体对X-ray产生衍射的必要条件。几点说明：⑴．n为反射级数，n=1为一级反射，说明散射波波程差为1λ；同理类推；⑵.凡是满足布拉格方程的方向上的晶面上的所有原子散射波位向完全相同，振幅相互加强，在2θ角方向上会出现衍射线。相长干涉——把强度互相加强的波之间的作用称为相长干涉。相消干涉——强度互相抵消的波之间的作用称为相消干涉。

本文档共47页；当前第16页；编辑于星期三\11点21分dN2NL1LAABBMM2θθθθPQ

B.不同层晶面上原子的散射：本文档共47页；当前第17页；编辑于星期三\11点21分本文档共47页；当前第18页；编辑于星期三\11点21分三.X-ray在晶体中衍射的特点：（与镜面反射的区别）

1.被晶体衍射的X-ray是由入射线在晶体中所经过路程上所有原子散射波干涉的结果；而可见光镜面反射是在表层上产生的仅发生在两种介质的界面上；2.单色X-ray的衍射只是在满足布拉格定律的若干特殊角度上产生的（选择衍射），而可见光反射可在任意角度产生；本文档共47页；当前第19页；编辑于星期三\11点21分3.X-ray衍射线强度比入射线强度是微乎其微，而可见光反射在晶面上可达100%；4.X-ray入射线与反射线之间夹角永远是2θ；因此，本质上说，X-ray的衍射是大量原子参与的一种散射现象，也可说是原子散射波相长干涉的结果。本文档共47页；当前第20页；编辑于星期三\11点21分四.布拉格方程的讨论

产生衍射的条件入射X-ray波长和晶面间距d之间的关系：由此可见,只有当X-ray波长λ<2d时才能产生衍射,但是λ太小时θ角非常小,给测定带来困难,因此λ应与d值相当,约在0.2~0.3nm附近。本文档共47页；当前第21页；编辑于星期三\11点21分(a)假设（100）晶面对X-ray产生二级反射，则2dsinθ=2λ，波程差CB+BD=2λ；(b)假想存在（200）晶面，则（200）对X-ray的反射波程差为：

PE+PF=1/2（BC+BC）=λ即2d200sinθ=λ

因此可以看出（100）晶面对X-ray的二级反射可看成（200）面对X-ray的一级反射，反射方向不变（θ角不变）。

一).反射级数

本文档共47页；当前第22页；编辑于星期三\11点21分(200)APBEFCD13(b)(100)本文档共47页；当前第23页；编辑于星期三\11点21分由布拉格方程可知一组(hkl)晶面随n值的不同,可能产生n个不同方向的反射线,分别称为该晶面的一级、二级、…n级反射，为了使用方便，将布拉格方程写为：二）干涉面指数本文档共47页；当前第24页；编辑于星期三\11点21分这样，可将面间距为d的（hkl）面的n级反射，变成为面间距为的实际存在或不存在的假想晶面（nhnknl）的一级反射，令H=nh，K=nk，L=nl，称（HKL）为反射面或干涉面。将H、K、L称为干涉指数。因此布拉格方程可简写为2dsinθ=λ，此式的意义是：将面间距为dhkl晶面（hkl）的n级反射转化为面间距为dhkl=的一级反射，从而简化了布拉格方程。本文档共47页；当前第25页；编辑于星期三\11点21分干涉指数与晶面指数的区别：⑴干涉指数为假想的晶面，只有当互为质数时，才代表一组真实的晶面；⑵干涉指数中有公约数；而晶面指数是互质的整数;⑶干涉指数是广义的晶面指数，常将HKL和hkl混用来讨论问题。本文档共47页；当前第26页；编辑于星期三\11点21分三）掠射角说明：1，λ一定,d相同时，各晶粒中的反射线有确定的关系，即θ一定相同；2，λ一定,d减小，则θ要增大才能获得衍射，即对于间距小的晶面，掠射角必须较大才能获得衍射加强。本文档共47页；当前第27页；编辑于星期三\11点21分四）衍射极限条件因为：sinθ1所以：能产生衍射的n,d都要受到限制。1.θ=0~90°;1.同一种晶面，

λn,衍射花样复杂；2.从理论上说，干涉面无限多，但并不都能产生干涉，d/2,当λ，能产生衍射的干涉面增多。

本文档共47页；当前第28页；编辑于星期三\11点21分五）布拉格方程的应用

1.X射线结构分析

由2dsinθ=λ即通过波长λ已知的X-ray在晶体中发生衍射，测出θ角，便可求出一系列d,根据d值，可知晶体的结构，结构分析（Structureanalysis）是X-ray衍射的主要研究内容。已知：λ→测2θ→求d晶体结构

本文档共47页；当前第29页；编辑于星期三\11点21分2.X射线光学谱：（可用来测定样品原子序数）

SCDθ2θλX-ray光谱仪原理本文档共47页；当前第30页；编辑于星期三\11点21分如图所示：

S——未知试样（欲求原子序数z）C——为已知结构晶体

D——计数管，测2θ角

用X-ray激发出S样品的荧光X-ray（其波长λ未知），波长为λ的X-ray在晶体中产生衍射。

根据2dsinθ=λλ由莫塞莱定律Z（S样品）本文档共47页；当前第31页；编辑于星期三\11点21分五：衍射方向由2dsinθ=λd与hkl的公式θθ为入射线与（hkl）晶向夹角衍射线方向始终与入射线成2θ本文档共47页；当前第32页；编辑于星期三\11点21分由此可得到如下:立方晶系：正方：斜方：六方：本文档共47页；当前第33页；编辑于星期三\11点21分五．劳埃方程及其与布拉格方程的一致性：X-ray在晶体中的衍射规律最先是德国物理学家劳埃发现并提出了著名的劳埃方程，后来英国物理学家布拉格提出更简捷的布拉格方程。因此我们简单地介绍一下劳埃方程和布拉格方程的一致性。本文档共47页；当前第34页；编辑于星期三\11点21分一维劳埃方程的推导：如图为单一原子列，一束X-ray被两个相邻原子散射的波程差:为λ的整数倍时产生衍射。本文档共47页；当前第35页；编辑于星期三\11点21分本文档共47页；当前第36页；编辑于星期三\11点21分同理，可导出二维阵列及三维晶体的劳埃方程，如下：abc⑴α。、β。、γ。分别为入射线与三条棱边的夹角α、β、γ分别为反射线与三条棱边的夹角同时⑵称为约束条件由⑴、⑵式可推出布拉格方程本文档共47页；当前第37页；编辑于星期三\11点21分§2.3衍射方法

X-ray在晶体中的衍射只有在满足布拉格方程时才有可能发生。在2dsinθ=λ中，有三个变量d、θ、λ可改变，因此为了满足方程，派生出三种衍射方法。方法试样λθ劳埃法（Lauemethod）单晶体变化不变化周转转晶法(Rotating-crystalmethod)单晶体不变化变化粉末法(Powdermethod)粉末、多晶体不变化变化本文档共47页；当前第38页；编辑于星期三\11点21分1.劳埃法条件：将晶体固定，入射X-ray方位固定，采用单晶体。所谓单晶体，当晶体固定后，每个晶面（hkl）固定在一个方位(而多晶体是由无数单晶体组成，每个单晶体在空间随机分布，因此其相同指数的晶面（hkl）在空间也随机分布的)。所以，在劳埃法中，入射X-ray与晶面夹角θ角是固定的。

本文档共47页；当前第39页；编辑于星期三\11点21分方法：改变λ，总有合适的λ，满足2dsinθ=λ而产生衍射。由于衍射线与入射线始终成2θ角，因此可计算出θ角。多用于单晶体取向测定及晶体对称性研究。本文档共47页；当前第40页；编辑于星期三\11点21分

如图所示：O—透射束方向；P—衍射斑点

通过λ、θd薄片上的斑点为“劳埃斑”。本文档共47页；当前第41页；编辑于星期三\11点21分2.周转晶体法

周转晶体法（Rotating-crystalmethod）是用单色的X射线照射单晶体的一种方法。光学