新教材数学人教A版选择性课件4211等差数列的概念

第1课时等差数列的概念

1.等差数列的定义(1)条件:①从第__项起.②每一项与它的_______的差都等于_______常数.(2)结论:这个数列是等差数列.(3)相关概念:这个常数叫做等差数列的_____,常用__表示.必备知识·素养奠基2前一项同一个公差d【思考】(1)为什么强调“从第2项起”?提示:①第1项前面没有项,无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合;②定义中包括首项这一基本量,且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.(2)如何理解“每一项与前一项的差”?提示:它的含义也有两个:其一是强调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻.

2.等差中项(1)前提:三个数a,A,b成等差数列.(2)结论:__叫做a,b的等差中项.(3)满足的关系式:2A=____.Aa+b【思考】等式“2A=a+b”有哪些等价形式?提示:2A=a+b⇔A-a=b-A⇔A=.

3.等差数列的通项公式递推公式通项公式______=d(n∈N*)an=_________(n∈N*)an+1-ana1+(n-1)d【思考】等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?提示:an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,当d≠0时,an是一次函数f(x)=dx+(a1-d)(x∈R),当x=n时的函数an=f(n).等差数列{an}的图象是点(n,an)组成的集合,这些点均匀分布在直线f(x)=dx+(a1-d)上;反之一次函数f(x)=kx+b可以构成等差数列{nk+b},首项为k+b,公差为k.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该数列是等差数列. ()(2)常数列也是等差数列. ()(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意一项. ()(4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数列. ()提示:(1)×.如数列2,7,9,1.虽然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一项与前一项的差都是常数,但不是同一个常数,故不是等差数列.(2)√.因为从第2项起每一项与前一项的差是同一个常数0.(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项.(4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差数列.2.下列数列是等差数列的是 ()A. B.1,C.1,-1,1,-1 D.0,0,0,0【解析】选D.因为-≠-,故排除A;因为-1≠-,故排除B;因为-1-1≠1-(-1),故排除C.3.已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=3,则数列{an}的通项公式为()nn=2n+1nn=3n+2【解析】选n=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.4.+1与-1的等差中项是 (

)A.1 B.-1 C. D.±1【解析】选C.设等差中项为x,由等差中项的定义知x=关键能力·素养形成类型一等差数列的定义及应用【典例】1.已知数列{an}满足an+1-an=2,n∈N*,且a3=3,则a1=________.

2.已知数列{an}满足a1=2,an+1=(n∈N*),bn=(n∈N*).求证数列{bn}是等差数列,并求出首项和公差.【思维·引】1.由an和an+1的关系判断数列{an}是等差数列及其公差,由第三项求第一项;2.根据要证结论,方法一:将已知等式变为=某常数的形式,方法二:bn+1-bn是常数.【解析】1.因为an+1-an=2,n∈N*,所以数列{an}是等差数列,其公差为2,因为a3=a1+2×2=3,所以a1=-1.答案:-12.方法一:因为所以=+3,所以-=3,又因为bn=(n∈N*),所以bn+1-bn=3(n∈N*),且b1==.所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.方法二:因为bn=,且an+1=,所以bn+1===+3=bn+3,所以bn+1-bn=3(n∈N*),b1==.所以数列{bn}是等差数列,首项为,公差为3.【素养·探】在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻两项an+1与an(n∈N*)的关系,判定该数列是否为等差数列,培养学生推理、论证的能力.将本例2的条件“a1=2,an+1=”改为“a1=,anan-1=an-1-an(n≥2)”,其他条件不变,如何解答?【解析】因为anan-1=an-1-an(n≥2),所以=1(n≥2).又因为bn=,所以bn-bn-1=1(n≥2)且b1==2.所以数列{bn}是等差数列,其首项为2,公差为1.【类题·通】定义法判定数列{an}是等差数列的步骤(1)作差an+1-an;(2)对差式进行变形;(3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列{an}是等差数列;当an+1-an不是常数,是与n有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.【习练·破】若数列{an}的通项公式为an=10+lg2n(n∈N*),求证:数列{an}为等差数列.【证明】因为an=10+lg2n=10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=[10+(n+1)lg2]-(10+nlg2)=lg2(n∈N*).所以数列{an}为等差数列.【加练·固】1.以下选项中构不成等差数列的是 ()A.2,2,2,2B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aC.cos0,cos1,cos2,cos3D.a-1,a+1,a+3【解析】选C.选项A是公差为0的等差数列;选项B是公差为a的等差数列;选项D是公差为2的等差数列.2.判断下列数列是否为等差数列.(1)an=3n+2.(2)an=n2+n.【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常数),n为任意正整数,所以此数列为等差数列.(2)因为an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2(不是常数),所以此数列不是等差数列.类型二等差中项的应用【典例】1.已知a=,b=,则a,b的等差中项为 ()A. B. C. D.2.{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2与a3的等差中项为2,则公差d=()A.2 B. C.1 D.3.已知,,成等差数列,证明,,成等差数列.【思维·引】1.a,b的等差中项为(a+b).2.根据等差中项的定义列出两个等量关系,两式相减即可求出公差.3.由于所求证的是三个数成等差数列,所以可用等差中项来证明.【解析】1.选A.a,b的等差中项为==.2.选C.因为{an}是等差数列,a1与a2的等差中项为1,a2,a3的等差中项为2,所以a1+a2=2,a2+a3=4,两式相减得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.3.因为成等差数列,所以,化简得2ac=b(a+c),又======2·,所以,,成等差数列.【内化·悟】三数a,b,c成等差数列的条件是什么?可用来解决什么问题?提示:条件是b=(或2b=a+c),可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.【类题·通】1.等差中项的应用策略(1)涉及等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解.(2)在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项,即2an=an-1+an+1;实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,即2an=an-m+an+m(m,n∈N*,m<n).2.等差中项法判定等差数列若数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),则可判定数列{an}是等差数列.【习练·破】1.一个等差数列的前4项是a,x,b,2x,则等于 ()A. B. C. D.【解析】选C.所以a=,b=x.所以.2.已知成等差数列,试证:a2,b2,c2也成等差数列.【证明】由已知成等差数列,可得

,所以,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差数列.【加练·固】已知b是a,c的等差中项,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差数列,同时a+b+c=15,求a,b,c的值.【解析】因为2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.设等差数列a,b,c的公差为d,则a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).从而16=(6-d)(4+d),即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.所以a,b,c三个数分别为1,5,9或7,5,3.类型三等差数列的通项公式及应用【典例】1.有穷等差数列5,8,11,…,3n+11(n∈N*)的项数是 () B.3n+11C.n+4 D.n+32.已知数列{an}中,a1=2,a2=1,又数列为等差数列,则an=________.

3.等差数列{an}中,已知a3=10,a12=31.(1)求a1,d及通项公式an;(2)45和85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项?【思维·引】1.方法一:设此等差数列有x项,利用等差数列的通项公式推出x与n的关系.方法二:由3×1+11=14,3×2+11=17,…,3n+11判断该等差数列有多少项.2.先求,再求an.3.(1)由已知列关于首项与公差的方程组,求解可得首项与公差,则通项公式可求;(2)分别把45和85代入等差数列的通项公式,即可得到45是第18项,85不是数列中的项.【解析】1.选D.方法一:设此等差数列有x项,则3n+11=5+(x-1)×3,所以x=n+3.方法二:在3n+11中令n=1,结果为14,它是这个数列的第4项,前面还有5,8,11三项,故这个数列的项数为n+3.2.因为数列{an}中,a1=2,a2=1,所以,=,又数列为等差数列,所以其公差d=,所以=+(n-1)d=(n-1)=,所以an=.答案:

3.(1)在等差数列{an}中,由a3=10,a12=31,得解得所以an=+(n-1)=n+3.(2)由an=n+3=45,解得n=18,故45是第18项;由an=n+3=85,得n=∉N*,故85不是数列中的项.【内化·悟】构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?提示:基本量是a1和d,根据已知条件列出关于a1和d的方程组,求出a1和d,进而求出通项公式an=a1+(n-1)d.【类题·通】等差数列通项公式的四个主要应用(1)已知an,a1,n,d中的任意三个量,求出第四个量.(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项.(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.(4)若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数或常数函数,则可判断数列{an}是等差数列.【习练·破】1.(2020·连云港高二检测)若等差数列{an}的前三项依次为x,1-x,3x,则a2022的值为 ()【解析】选C.依题意,x,1-x,3x成等差数列,所以2(1-x)=x+3x,解得x=,所以数列{an}的公差d=(1-x)-x=,所以a2022=a1+(2022-1)×d==674.2.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是________.

【解析】由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)·(-2),所以n=46.答案:46【加练·固】1.2000是等差数列4,6,8,…的 ()A.第998项 B.第999项C.第1001项 D.第1000项2.在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,则首项a1=________,公差d=________.

3.已知等差数列1,-3,-7,-11,…,求它的通项公式及第20项.【解析】1.选B.因为此等差数列的公差d=2,所以an=4+(n-1)×2,即2000=2n+2,所以n=999.2.设首项为a1,公差为d,则有即解得a1=-2,d=3.答案:-233.由题意可知a1=1,a2=-3,所以公差d=a2-a1=-4.所以an=a1+(n-1)d=1-4(n-1)=5-4n.所以a20=5-4×20=-75.即该数列的通项公式为an=5-4n,第20项为-75.课堂检测·素养达标1.数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列 ()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列【解析】选A.因为an=2n+5,所以an-1=2n+3(n≥2),所以an-an-1=2n+5-2n-3=2(n≥2),所以数列{an}是公差为2的等差数列,a1=2×1+5=7.2.已知2,b的等差中项为5,则b为 ()【解析】