二重积分计算

关于二重积分计算第1页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三播放

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．第2页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积第3页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量第4页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三二、二重积分的概念第5页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素第6页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．第7页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为第8页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质第9页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有第10页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）第11页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］3.2二重积分的计算第12页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得第13页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三如果积分区域为：［Y－型］第14页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.第15页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三例1计算其中是由直线和所围成的闭区域.解如图,既是型,又是型.若视为型,则原式第16页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三例1计算其中是由直线和所围成的闭区域.解若视为型,则原积分若视为型,则分次序对重积分的计算非常重要.故合理选择积其中关于的积分计算比较麻烦,第17页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三解第18页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三例3计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.解如图,(见P141图3-12)既是型,也是型.但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选第19页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三例3计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域.解如图,(见P141图3-11)既是型,也是型.但易见选择前者计算较麻烦,需将积分区域划分为两部分来计算,择后者.故选第20页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三例4计算二重积分其中区域是由围成的矩形.如图,因为是矩形区域,且所以解第21页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三解第22页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三例6交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为:所以第23页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三例7交换二次积分的积分次序.解题设二次积分的积分限:可改写为所以原式第24页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三二、利用极坐标系计算二重积分第25页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三二重积分化为二次积分的公式（１）区域特征如图第26页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三二重积分化为二次积分的公式（２）区域特征如图第27页，讲稿共31页，2023年5月2日，星期三注：极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（３）区域特征如图第2