福建省福州市白云中学2021年高三数学理期末试题含解析

福建省福州市白云中学2021年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中，真命题是A． B．C． D．参考答案：B2.设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015ex+1的解集为（）A．（﹣∞，0）∪（0，+∞） B．（0，+∞） C．（2015，+∞） D．（﹣∞，0）∪（2015，+∞）参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】设g（x）=e﹣xf（x）﹣e﹣x，利用导数性质得y=g（x）在定义域上单调递增，从而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞2015?ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集．【解答】解：设g（x）=e﹣xf（x）﹣e﹣x，则g′（x）=﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）+e﹣x=﹣e﹣x[f（x）﹣f′（x）﹣1]，∵f（x）﹣f′（x）＜1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＜0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵f（x）＞2015?ex+1，∴g（x）＞2015，∵g（0）=e﹣0f（0）﹣e﹣0=f（0）﹣1=2016﹣1=2015，∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，∴f（x）＞2015?ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．故选：B．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．3.执行如图所示的程序图，则输出的S值为（）A．4 B．3 C．﹣2 D．﹣3参考答案：A【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：s=0，i=2，s=2，i=3，s=﹣1．i=4，s=3，i=5，s=﹣2，i=6，s=4，i=7＞6，结束循环，输出s=4，故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．4.已知变量满足的值范围是（

）

【知识点】线性规划

E5参考答案：Ａ画出约束条件所表示的平面区域可知，该区域是由点所围成的三角形区域（包括边界），，记点，得，，所以的取值范围是.故选择Ａ.【思路点拨】画出约束条件所表示的平面区域可知为三角形，目标函数可化为：，5.如图所示几何体中，∥∥，，，平面平面，点为侧面内的一个动点，若点到直线的距离与到平面的距离相等，则点在侧面内的轨迹是A．一条线段

B．圆的一部分C．抛物线的一部分

D．椭圆的一部分参考答案：C6.已知f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数，那么a的取值范围是(

).A.(0,)

B.(,1)

C.[,)

D.[,1)参考答案：C7.若存在正数使成立，则的取值范围是（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D因为，所以由得，在坐标系中，作出函数的图象，当时，，所以如果存在，使，则有，即，所以选D.8.复数在复平面上所对应的点位于

A．实轴上

B．虚轴上

C．第一象限

D．第二象限参考答案：B略9.的分数指数幂表示为(

)

A．

B．a3

C．

D．都不对参考答案：C10.在底面为正方形的四棱锥V—ABCD中,侧棱VA垂直于底面ABCD,且VA=AB,点M为VA中点.则直线VC与面MBC所成角的正弦值是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.．分别从写有数字1，2，3，4的四张卡片中随机取出两张，则取出的两张卡片上的数字之和为奇数的概率是

.

参考答案：略12.已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为___________.参考答案：

【知识点】由三视图求面积、体积G2由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其四个顶点是以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的四个顶点，故其外接球，即为以俯视图为底面，以2为高的三棱柱的外接球，由底面两直角边长分别为，，故相当于棱长分别为，，2的长方体的外接球，故满足，所以，几何体的外接球的体积为，故答案为：．【思路点拨】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入体积公式，可得答案．13.若数列的通项公式为，则

．参考答案：因为，所以，所以。14.如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，则

；参考答案：略15.若不存在实数x使|x﹣3|+|x+1|≤a成立，则实数a的取值范围是_________．参考答案：16.已知是奇函数,,,

则的值是

.参考答案：17.函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是_________.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．【解答】解：设{an}的公比为q，由题意得：，解得：或，当a1=3，q=2时：an=3×2n﹣1，Sn=3×（2n﹣1）；当a1=2，q=3时：an=2×3n﹣1，Sn=3n﹣1．19.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足：为数列的前项和，且

2，，成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，

求数列的前项和.参考答案：【知识点】利用递推公式求通项；错位相减法.【答案解析】（1）（2）解析：解：（1）∵,∴,,∴(n≥2)∴通项公式为

…6分（2）,,①②①②得………………12分【思路点拨】（1）借助于递推公式即可；（2）利用求出后，再利用错位相减法即可求.20.（12分）已知函数f(x)＝－x2＋8x，g(x)＝6lnx＋m，是否存在实数m，使得y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：[解]函数y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且只有三个不同的交点，即函数h(x)＝g(x)－f(x)有且只有三个零点．∵h(x)＝x2－8x＋6lnx＋m，定义域为(0，＋∞)，∴h′(x)＝2x＋－8，令h′(x)＝0，得x＝1或x＝3.

x，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)↗极大值↘极小值↗如图，要使h(x)有且只有三个零点，当且仅当∴7<m<15－6ln3.

因此存在实数m，使得函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像有且仅有三个不同的交点，m的取值范围是(7,15－6ln3)．略21.在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1～4号的四名射箭运动员参加射箭比赛。

（Ⅰ）通过抽签将他们安排到1～4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；

（Ⅱ）记1号、2号射箭运动员射箭的环数为（所有取值为0，1，2，3．．．，10）的概率分别为、。根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：012345678910[来源:Zxxk.Com]00000.060.040.00.0400000.040.050.050.2]0.320.320.02

①若1号，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中9环的概率；

②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由。参考答案：解：（1）从4名运动员中任取两名，其靶位号与参赛号相同，有种方法

1分另2名运动员靶位号与参赛号均不相同的方法有1种

………………2分所以恰有一名运动员所抽靶位号与参赛号相同的概率为：……5分（2）①由表可知，两人各射击一次，都未击中9环的概率为P=（1-0.3）（1-0.32）=0.4766分∴至少有一人命中9环的概率为p=1-0.476=0.524

………7分②9分

11分

所以2号射箭运动员的射箭水平高

……………7分略22.（12分）在2008年春运期间，一名大学生要从广州回到郑州老家有两种选择，即坐火车或汽车。已知该大学生先去买火车票的概率是先去买汽车票概率的3倍，汽车票随时都能买到。若先去买火车票，则买到火车票的概率为0.6，买不到火车票，再去买汽车票。

（I）求这名大学生先去买火车票的概率；

（II）若火车票的价格为120元，汽车票的价格为280元，设该大学生购买车票所花费钱数为的期望值。参考答案：解析：（I）设先去买火车票的概率为P（A），先去买汽车票的概率为P（B），则由条件可知即先去买火车票的概率为0.75.