湖南省长沙市第二十四中学2021年高三数学理模拟试题含解析

湖南省长沙市第二十四中学2021年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等差数列的值为

（

）

A．14

B．15

C．16

D．17参考答案：答案:C2.设，则下图阴影表示的集合为（

）

A．{1，2，3，4}

B．{4，5}

C．{1，2}

D．{3}参考答案：C3.已知是实数，则“且”是“”的

（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略4.某种动物繁殖量（只）与时间（年）的关系为,设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到

（

）

A．200只

B．300只

C．400只

D．500只参考答案：A略5.已知向量=（1，﹣2），=（1，1），，=+λ，如果，那么实数λ=（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】先利用平面向量坐标运算法则求出，，再由⊥，利用向量垂直的条件能求出实数λ．【解答】解：∵向量=（1，﹣2），=（1，1），，=+λ，∴=（0，﹣3），=（1+λ，﹣2+λ），∵，∴=0﹣3（﹣2+λ）=0，解得λ=2．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．6.设集合A={y|y=sinx，x∈R}，集合B={x|y=lgx}，则（?RA）∩B（）A．（﹣∞，﹣1）U（1，+∞） B．[﹣1，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出y=sinx的值域确定出A，找出R中不属于A的部分求出A的补集，求出y=lgx的定义域确定出B，找出A补集与B的公共部分即可求出所求的集合．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，x∈R，得到y∈[﹣1，1]，∴A=[﹣1，1]，∴?RA=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），由集合B中的函数y=lgx，得到x＞0，∴B=（0，+∞），则（?RA）∩B=（1，+∞）．故选C7.设是虚数单位，那么复数等于

A． B．

C． D．参考答案：B略8.一个几何体得三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．5参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥，三棱柱的体积V1为=2剪去的三棱锥体积V2为：=所以几何体的体积为：2﹣=，故选：A．9.已知是定义在R上的偶函数且连续，当，，若，则的取值范围是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.设函数是定义在上的奇函数，且当时，单调递减，若数列是等差数列，且，则的值（

）A．恒为正数

B．恒为负数

C．恒为0

D．可正可负参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数的实部为_________；虚部为___________.参考答案：

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】＝＝.实部为，虚部为.故答案为：(1)；(2).【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

参考答案：13.已知，使得成立，则实数a的取值范围是___________.参考答案：14.若直线（a+1）x﹣y+2=0与直线x+（a﹣1）y﹣1=0平行，则实数a的值为

．参考答案：0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由（a+1）（a﹣1）+1=0，解得a，经过检验即可得出．【解答】解：由（a+1）（a﹣1）+1=0，解得a=0，经过检验此时两条直线平行．故答案为：0．15.不等式的解集为_____________．

参考答案：16.若“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为

．参考答案：1【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“?x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．17.设，满足约束条件，则的最小值是

.参考答案：-3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．参考答案：(1)如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC＝2，∴侧视图中VA＝＝＝2，∴S△VBC＝×2×2＝6.19.已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．参考答案：解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．

因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．……6分（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①

所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2)．③

所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，

………10分因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．所以an＝

…12分要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，解得＜a＜．所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列．

………………16分20.已知圆，点，动点P在E上，线段PF的垂直平分线与直线PE相交于点Q，Q的轨迹是曲线C．（1）求C的方程；（2）已知过点的直线与C交于A，B两点，M是C与y轴正半轴的交点，设直线的斜率分别为，证明：为定值．参考答案：(1)(2)见证明【分析】（1）根据椭圆定义确定曲线C性质以及标准方程，（2）先求M坐标，再设直线方程以及A,B坐标，利用斜率公式化简，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简即得结果.【详解】（1）依题意得，根据椭圆的定义可得Q的轨迹曲线C是以E，F为焦点的椭圆，这里，c=，所以故C的方程为；（2）证明：根据题意，C的方程为，M是C与y轴正半轴的交点，则M（0，1），显然直线l有斜率，设直线l的方程为与椭圆方程联立消去y可得：，变形可得：，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，则，则；故为定值．【点睛】本题考查椭圆定义、椭圆标准方程以及直线与椭圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.21.（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点。（1）求证：EF∥平面PAD；（2）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角

Q-AP-D的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由。参考答案：证明：（1）取PD中点M，连接MF，MA在ΔCPD中，F为PC的中点，∴MF平行且等于，正方形ABCD中E为AB中点，AE平行且等于，∴AE平行且等于MF，故：EFMA为平行四边形，∴EF∥AM

……2分又∵EF平面PAD，AM平面PAD∴EF∥平面PAD

……4分（2）如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系：，，，，由题易知平面PAD的法向量为，

……6分假设存在Q满足条件：设，，，，，设平面PAQ的法向量为，