云南省大理市市第一职业中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析

云南省大理市市第一职业中学2021-2022学年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“”的否定是(

)A．

B．C．

D．参考答案：D略2.数列满足（且），则“”是“数列成等差数列”的

（

）A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C3.中国古代钱币（如图1）承继了礼器玉琮的观念，它全方位承载和涵盖了中华文明历史进程中的文化信息，表现为圆形方孔．如图2，圆形钱币的半径为2cm,正方形边长为1cm，在圆形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是

图1

图2参考答案：4.若，则（

）A．2

B．

C．32

D．

参考答案：D5.已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是 （

）A．不论边长如何变化，P为定值

B．若的值越大，P越大C．当且仅当时，P最大

D．当且仅当时，P最小参考答案：A略6.已知R且，若（e为自然对数的底数），则下列正确的是（

）A． B．C． D．参考答案：C略7.已知△ABC的三边a、b、c成等比数列，a、b、c所对的角依次为A、B、C．则sinB+cosB的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】余弦定理．【分析】由△ABC的三边长a、b、c成等比数列，可得b2=ac．可得cosB=，利用基本不等式的性质可得B的取值范围，进而可求B+的范围，利用两角和的正弦函数公式化简可得sinB+cosB=sin（B+），利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：∵△ABC的三边长a、b、c成等比数列，∴b2=ac．∴cosB=≥=，当且仅当a=c时取等号．∴B∈（0，]．∴可得：B+∈（，]，∴sinB+cosB=sin（B+）∈（1，]，故选：C．【点评】本题考查了等比数列的性质、余弦定理、基本不等式的性质、三角函数求值，正弦函数的图象和性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知,是一对相关曲线的焦点,是它们在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.已知向量，则“”是“”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A10.在△中，内角、、的对边分别为、、c,若，则角B的值为(

)

或

或参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设等差数列的前项和为，则,,,成等差数列.类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，

，

，成等比数列.参考答案：12.设复数z=，则的实部是

．参考答案：0【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则求出z，由共轭复数的定义求出，由此能求出的实部．【解答】解：∵z=====i．∴=﹣i．∴的实部是0．故答案为：0．【点评】本题考复数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数的代数形式的乘除运算法则及共轭复数的定义的合理运用．13.已知，，则

．参考答案：314.已知函数其导函数记为f′(x)，则f(2014)＋(2014)＋f(－2014)－(－2014)＝________.参考答案：2略15.已知且，则.参考答案：由得，所以。因为，所以，所以当时，。16.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：

①四边形BFD1E有可能为梯形

②四边形BFD1E有可能为菱形

③四边形BFD1E在底面ABCD内的投影一定是正方形

④四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D

⑤四边形BFD1E面积的最小值为其中正确的是

（请写出所有正确结论的序号参考答案：②③④⑤略17.若函数f（x）=是奇函数，则使f（x）＞3成立的x的取值范围为．参考答案：（0，1）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据f（x）为奇函数，便有f（﹣x）=﹣f（x），从而可以求出a=1，从而得到，容易判断该函数在（0，+∞）上单调递减，并可判断x＜0时，f（x）＜1，且f（1）=3，从而可由f（x）＞3得到f（x）＞f（1），从而便得到0＜x＜1，这便求出了使f（x）＞3成立的x的取值范围．【解答】解：f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴1﹣a?2x=a﹣2x；∴a=1；∴；①x＞0时，x增大时，2x﹣1增大，从而f（x）减小；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；∴由f（x）＞3得，f（x）＞f（1）；解得0＜x＜1；②x＜0时，2x﹣1＜0，∴f（x）＜1；∴不满足f（x）＞3；综上所述，使f（x）＞3的x的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】考查奇函数的定义，根据单调性定义判断函数单调性的方法，指数函数的单调性，以及根据减函数的定义解不等式的方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=2sincos+2sin2-（>0）的最小正周期为．

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）的零点；

（3）若y=g（x）在[0，b]（b>O）上至少含有10个零点，求b的最小值．参考答案：（1）解：由题意得：

由函数的最小正周期为，得

∴

由，得：，k∈Z

所以函数f（x）的单调增区间是，k∈Z （2）解：将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，

得到，即的图象

所以

令g（x）=0得：或，k∈Z

∴y=g（x）的零点为或，k∈Z （3）解：由（2）知，y=g（x）在每个周期上恰好有两个零点

若y=g（x）在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，

即b的最小值为略19.如果P：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R都成立，q：关于x的方程4x2+4（a﹣2）x+1=0无实数根，且P与q中有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】当命题p，q是真命题时，分别求得a的范围，可得这2个命题中只有一个是真命题时，实数a的取值范围【解答】解：若命题p为真，则△=（2a）2﹣16＜0?﹣2＜a＜2．若命题q为真，△=[4（a﹣2）]2﹣16＜0，?1＜a＜3．当p为真q为假时：?﹣2＜a＜2且a≤1或a≥3?﹣2＜a≤1当p为假q为真时：?﹣a≤﹣2或a≥2且1＜a＜3?2≤a＜3综上：实数a的取值范围为：?﹣2＜a≤1或2≤a＜3【点评】本题主要考查了命题的真假的判断和应用，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．20.已知函数

（I）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）求使函数取得最大值的的集合．参考答案：(Ⅰ)f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)

=2[sin2(x－)－cos2(x－)]+1

=2sin[2(x－)－]+1

=2sin(2x－)+1

∴T==π

(Ⅱ)当f(x)取最大值时,sin(2x－)=1,有

2x－=2kπ+即x=kπ+

(k∈Z)

∴所求x的集合为{x∈R|x=kπ+,

(k∈Z)}.

21.如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,垂足为A,PA=AB,点M在棱PD上,PB∥平面ACM.

(1)试确定点M的位置；(2)计算直线PB与平面MAC的距离；(3)设点E在棱PC上，当点E在何处时，使得AE⊥平面PBD？

参考答案：解(1)设，则点O为BD中点，设点M为PD中点∵在△PBD中，PB∥OM，平面ACM,∴PB∥平面ACM(2)设AB=1，则PA=AB=1,∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PD，∴，∴，∴,取AD中点为F，连结MF，则MF∥PA，MF⊥平面ABCD，且MF=,又∵PB∥平面ACM，M为PC的中点,∴直线PB与平面MAC的距离为点D到平面MCA的距离，设为h由可得(3)以A为原点，AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系则B(1,0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，设平面PBD的法向量则法向量,设，则,∵AE⊥平面PBD，∴∴，即点E为PC中点.22.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC⊥平面ABCD，PB⊥PD．（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若，E为棱CD的中点，，BC=2，求四面体A-PED的体积．参考答案：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，C