湖南省长沙市航天中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析

湖南省长沙市航天中学2022-2023学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.欲证－＜－，只需证（）A．(+)2＜(+)2B．(－)2＜(－)2C．(－)2＜(－)2D．(－－)2＜(－)2参考答案：A【分析】根据分析法的步骤进行判断即可．【解答】解：欲证，只需证＜+，只需证（）2＜（+）2，故选：A2.已知角终边一点，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知的单调递增区间是

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.一块橡胶泥表示的几何体的三视图如图所示，将该橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥，则这个三棱锥的高为（

）A．3 B．6 C．9 D．18参考答案：D5.已知x>0，不等式…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为()A.n2 B.2n C.22n－2 D.nn参考答案：D【分析】由题，分析可得第一个式子，第二个为，第三个，归纳可得结果.【详解】由题，已知第一个式子，，其中的；第二个式子，其中第三个式子，其中归纳可知第n个式子，x＋≥n＋1，其中故选D【点睛】本题考查了类比推理，解题的关键是找出n与a之间的关系，属于基础题.6.已知函数f（x）=﹣x2+2lnx的极大值是函数g（x）=x+的极小值的﹣倍，并且，不等式≤1恒成立，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数得出函数f（x）的极大值，再求出g（x）的极小值，得到关于a的方程即可得出a的值，通过对k﹣1分正负讨论，把要证明的不等式变形等价转化，再利用导数研究其极值与最值即可．【解答】解：f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故f（x）极大值=f（1）=﹣1；g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，故g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故g（x）极小值=g（）=2，由函数f（x）的极大值是函数g（x）的极小值的﹣倍，得：2?（﹣）=﹣1，解得：a=﹣1；令h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2+2lnx﹣x﹣，x∈[，3]．则h′（x）=﹣2x+﹣1+=﹣，令h′（x）=0，解得x=1．当x∈[，1）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（1，3]时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减．∴当x=1时，函数h（x）取得极大值h（1）=﹣3．h（3）=﹣+2ln3，h（）=﹣e﹣2﹣，可知：h（3）＜h（）．①当k﹣1＞0时，对于?x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k﹣1≥[f（x1）﹣g（x2）]max，∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣3，∴k≥﹣3+1=﹣2，又k＞1，∴k＞1．②当k﹣1＜0时，对于?x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等价于k﹣1≤[f（x1）﹣g（x2）]min，∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣+2ln3，∴k≤﹣+2ln3，又∵k≤1，∴k≤﹣+2ln3．综上可知：实数k的取值范围是（﹣∞，﹣+2ln3]∪（1，+∞）．故选：B．7.已知x、y的取值如下表所示：

x0134y2.24.34.8m从散点图分析、y与x线性相关，且，则m的值为A、6.4

B、6.5

C、6.7

D、6.8参考答案：C8..直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（

）A. B. C.2 D.4参考答案：D直线与曲线的交点坐标为和，故直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积．故选．9.一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()．A．球

B．三棱锥

C．正方体

D．圆柱参考答案：D10.直三棱柱中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列不等式：

…，…

照此规律，第五个不等式为

。参考答案：略12.已知函数，则f（f（3））=

．参考答案：﹣1【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（3）=log22=1，从而f（f（3））=f（1），由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（3）=log22=1，f（f（3））=f（1）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．13.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，，，则A=

，

．参考答案：，214.若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是___________；参考答案：15.若直线与曲线有两个公共点，则b的取值范围是．参考答案：16.经过点在M（1,－1）且与点A（－1,2）、B（3,0）距离相等的直线方程一般式为▲.参考答案：x＋2y＋1＝0或x＝1略17.设函数f（x）=ax3﹣3x+1（x∈R），若对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，则实数a的值为

．参考答案：4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求出f′（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x∈[﹣1，1]都有f（x）≥0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围．【解答】解：由题意，f′（x）=3ax2﹣3，当a≤0时3ax2﹣3＜0，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）≥0即可，解得a≥2，与已知矛盾，当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣3=0解得x=±，①当x＜﹣时，f′（x）＞0，f（x）为递增函数，②当﹣＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）为递减函数，③当x＞时，f（x）为递增函数．所以f（）≥0，且f（﹣1）≥0，且f（1）≥0即可由f（）≥0，即a?﹣3?+1≥0，解得a≥4，由f（﹣1）≥0，可得a≤4，由f（1）≥0解得2≤a≤4，综上a=4为所求．故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(1)求b的值；(2).参考答案：（1）因为，所以，，所以.

……6分（2）因为，所以由正弦定理得：

所以，.

……12分19.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，（1）求证：D1F⊥AE；（2）求直线EF与CB1所成角的余弦值．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】（1）依题意分别求得A，E，D1和F的坐标，求出，，二者相乘等于0即可证明出AE⊥D1F进而根据线面垂直的性质证明出D1F⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证明出D1F⊥平面ADE．（2）分别求得=（2，1，1），=（1，0，1），利用向量的夹角公式求得异面直线所成角的余弦值．【解答】（1）证明：依题意知D（0，0，0），A（2，0，0），F（0，1，0），E（2，2，1），A1（2，0，2），D1（0，0，2），=（0，0，1），=（0，1，﹣2），∴?=0，∴AE⊥D1F；∵AD⊥平面CDD1C1，D1F?平面CDD1C1，∴D1F⊥AD，∵AE?平面ADE，AD?平面ADE，AE∩AD=A，∴D1F⊥平面ADE．（2）解：依题意可知B1（1，1，1），C（0，1，0），F（0，1，0），E（2，2，1），∴=（2，1，1），=（1，0，1），∴cos＜，＞=，∴异面直线EF和CB1所成的角余弦值为．20.设函数，其中a＞0．（1）若直线y=m与函数f（x）的图象在（0，2]上只有一个交点，求m的取值范围；（2）若f（x）≥﹣a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）利用分段函数，当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，判断函数的单调性以及函数的极值，推出m的范围．（2）当x≤0时，求出函数的导函数f'（x）=a（x+1）ex，通过a＜0，求解函数的单调性以及极值，推出a＞0，利用函数的极值推出a的范围．【解答】解：（1）当x＞0时，f'（x）=3x2﹣2x，令f'（x）=0时得；令f'（x）＞0得递增；令f'（x）＜0得0，f（x）递减，∴f（x）在处取得极小值，且极小值为，∵f（0）=0，f（2）=4，所以由数形结合可得0≤m≤4或．（2）当x≤0时，f'（x）=a（x+1）ex，a＜0，令f'（x）=0得x=﹣1；令f'（x）＞0得﹣1＜x≤0，f（x）递增；令f'（x）＜0得x＜﹣1，f（x）递减．∴f（x）在x=﹣1处取得极小值，且极小值为．∴a＞0，∴，因为当即时，，∴，∴．当即时，，∴，即a≥0，∴．综上，．21.在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据完成下面的2×2列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关系．休闲方式性别看电视运动总计女432770男213354总计6460124参考公式：（其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83

参考答案：【考点】独立性检验．【分析】（1）根据共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．得到列