高中数学必修一知识点整理

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高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第1页。高中数学必修1知识点总结第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示集合是由一些确定、互异、无序的元素组成。常用的数集有自然数集N、正整数集N*或N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R。集合的表示法有自然语言法、列举法、描述法和图示法。集合可以分为有限集、无限集和空集。1.1.2集合间的基本关系集合间有子集、真子集和集合相等的关系。子集表示A中的任一元素都属于B，真子集表示A是B的子集且B中至少有一个元素不属于A，集合相等表示A和B互为子集。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第2页。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第2页。1.1.3集合的基本运算集合的基本运算有交集、并集和补集。交集表示同时属于A和B的元素组成的集合，并集表示属于A或B的元素组成的集合，补集表示不属于A的元素组成的集合。补充：含绝对值的不等式的解法是将其化为|x|a的形式进行求解。含有ax+b的绝对值不等式可以化为|ax+b|c的形式进行求解。注意：文章中没有明显的格式错误和有问题的段落，因此不需要删除和改写。一元二次不等式的解法：一元二次不等式的判别式为$\Delta=b^2-4ac$，根据判别式的大小关系可以得到不等式的解集。对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$，它的图象是一个开口朝上的抛物线。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第3页。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第3页。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a>0)$，它的根可以通过公式$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求得，其中$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实根；当$\Delta<0$时，方程没有实根。对于一元二次不等式$ax^2+bx+c>0(a>0)$，它的解集为$\{x|xx_2\}$，其中$x_1$和$x_2$分别是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实根，且$x_10)$时，它的解集为$\{x|x_10)$时，它的解集为$\{x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$。函数及其表示：函数是一种数学对象，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。一个函数包括三个要素：定义域、值域和对应法则。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第4页。区间是实数的一个子集，它可以表示为闭区间$[a,b]$、开区间$(a,b)$、半开半闭区间$[a,b)$或$(a,b]$，或者无穷区间$[a,+\infty)$、$(a,+\infty)$、$(-\infty,b]$或$(-\infty,b)$。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第4页。在求函数的定义域时，需要遵循一些原则。例如，当函数是整式时，定义域是全体实数；当函数是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数；当函数是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合；当函数是对数函数或指数函数时，底数须大于零且不等于1；当函数是$y=\tanx$时，$x$不能等于$k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)$等等。对于由基本初等函数的四则运算而合成的函数，其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。在求复合函数的定义域时，一般需要先确定最内层函数的定义域，然后逐层向外确定函数的定义域。数x1和x2，有x1f(x2)（单调递减）。判定方法对于函数y=f(x)，求出其导函数y'=f'(x)，然后判断导函数的正负性即可确定函数的单调性。如果在某个区间上导函数恒大于0，则函数在该区间上单调递增；如果恒小于0，则函数在该区间上单调递减。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第5页。如果导函数在某个点处为0，且该点左侧导函数为负，右侧导函数为正，则该点为函数的极小值点；反之，该点为函数的极大值点。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第5页。②最大（小）值函数的最大（小）值是指在定义域内，函数取到的最大（小）值。常用方法观察法：对于简单的函数，可以通过观察函数图象或解析式直接得出最值。导数法：对于可导函数，求出其导函数，然后解方程f'(x)=0，得到极值点，再比较该点和端点的函数值，即可确定最值。区间端点法：对于定义域为闭区间的函数，比较函数在区间端点处的函数值，即可确定最值。1.3.2】奇偶性与周期性奇偶性定义如果对于定义域I内的任意x，有f(-x)=f(x)（偶函数）或f(-x)=-f(x)（奇函数），则称函数f(x)具有奇偶性。性质高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第6页。偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第6页。偶函数的积分在[-a,a]上的值等于2倍的在[0,a]上的积分值，奇函数的积分在[-a,a]上的值等于0.判定方法对于函数y=f(x)，判断f(-x)和f(x)的关系即可确定函数的奇偶性。如果f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；如果f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数；如果f(-x)与f(x)无关系，则函数既不是偶函数也不是奇函数。周期性定义如果存在一个正数T，使得对于定义域I内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数的周期。性质周期函数的图象在任意一个周期内都是相似的。周期函数的积分在一个周期内的值相等。判定方法对于函数y=f(x)，判断f(x+T)和f(x)的关系即可确定函数的周期性。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第7页。如果f(x+T)=f(x)，则函数为周期函数，T为其周期；如果f(x+T)与f(x)无关系，则函数不是周期函数。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第7页。f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数；如果函数既不是偶函数也不是奇函数，则称函数为既非偶函数也非奇函数。②判定方法对于一个函数f(x)，可以通过以下方法判断它的奇偶性：1）利用函数定义式，即判断f(-x)与f(x)的关系；2）利用函数图象，对于偶函数，其图象关于y轴对称；对于奇函数，其图象关于原点对称；3）利用函数性质，如对于两个奇函数的乘积为偶函数，两个偶函数的乘积为偶函数，一个偶函数和一个奇函数的乘积为奇函数等。函数的周期性高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第8页。如果存在正数T，使得对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T为函数f(x)的一个周期。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第8页。可以通过以下方法判断一个函数是否为周期函数：1）利用函数定义式，即判断f(x+T)与f(x)的关系；2）利用函数图象，周期函数的图象在一个周期内重复出现；3）利用函数性质，如正弦函数和余弦函数都是周期函数，周期分别为2π。小结：本节主要介绍了函数的单调性、图象判定方法、最大（小）值定义、奇偶性和周期性等概念。对于函数的单调性，可以通过函数的导数来判断；对于函数的图象判定方法，可以通过利用定义、已知函数的单调性、函数图象和复合函数等方法来判断；对于函数的最大（小）值，可以通过定义来判断；对于函数的奇偶性和周期性，可以通过函数定义式、函数图象和函数性质等方法来判断。象判定函数的性质高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第9页。根据定义，若对于定义域内任意一个x，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)为奇函数；若对于定义域内任意一个x，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数。可以通过以下两种方法来判定函数的奇偶性：高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第9页。1）利用定义，先判断定义域是否关于原点对称；2）利用图象，判断图象是否关于y轴或原点对称。若函数f(x)为奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0.奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反。在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数。函数的图象可以通过描点法和基本函数图象的变换来作图。在作图时，需要先确定函数的定义域，化解函数解析式，讨论函数的性质（奇偶性、单调性），然后画出函数的图象。在变换图象时，可以进行平移、伸缩、对称等变换。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第10页。对于给定函数的图象，可以从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性。需要注意图象与函数解析式中参数的关系。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第10页。函数图像可以直观地展示函数的性质，是研究数量关系问题的重要工具，也是探求解题途径、获得问题结果的重要手段。因此，我们应该重视数形结合的思想方法。2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算根据定义，如果xn=a(a∈R，x∈R，n>1，且n∈N+)，那么x叫做a的n次方根。当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号−na表示。负数a没有n次方根。根式的概念指的是na，其中n叫做根指数，a叫做被开方数。当n为奇数时，a可以是任意实数；当n为偶数时，a≥0.高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第11页。根式的性质：(na)n=a；当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，a=|a|(a≥0)，a=-a(a<0)。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第11页。正数的正分数指数幂的意义是：a=na^m(a>0,m,n∈N+，且n>1)。正数的负分数指数幂的意义是：a^(-m/n)=1/(a^(m/n))(a>0,m,n∈N+，且n>1)。指数幂没有意义。可以记住口诀：底数取倒数，指数取相反数。分数指数幂的运算性质：①ar×as=ar+s(a>0,r,s∈R)；②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R)；③(ab)^r=a^r×b^r(a>0,b>0,r∈R)。2.1.2指数函数及其性质指数函数的定义为y=ax(a>0且a≠1)。其图像在第一象限内，当a越大时，图像越高；在第二象限内，当a越大时，图像越低。指数函数的定义域为R，值域为(0,+∞)。其图像过定点(0,1)，即当x=0时，y=1.指数函数是在R上增函数，在R上减函数，既不是奇函数也不是偶函数。2.2对数函数高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第12页。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第12页。2.2.1对数与对数运算根据对数的定义，如果ax=N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做底数，N叫做真数。负数和零没有对数。对数与指数是互相转化的，即$x=log_aN$等价于$ax=N$，其中$a>0,a≠1,N>0$。同时，对数有几个重要的恒等式，即$log_a1=0$，$log_aa=1$，$log_ab=log_am+log_an$，其中$a>0,a≠1,b>0,m>0,n>0$。常用的对数是以10为底的对数，记作$lgN$，自然对数是以$e$为底的对数，记作$lnN$，其中$e=2..$。对数有加法、减法、数乘、换底公式等运算性质，满足$a>0,a≠1,M>0,N>0$的条件。对数函数是指$y=log_ax$，其中$a>0,a≠1$。其定义域为$(0,+\infty)$，值域为$(-\infty,+\infty)$。对数函数的图象在第一、四象限内，随着$a$的增大而下降，反之则上升。对数函数是非奇非偶函数，在$(0,+\infty)$上是增函数，在$(0,+\infty)$上是减函数。对数函数的图象过定点$(1,0)$。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第13页。反函数是指函数$y=f(x)$的反函数$y=f^{-1}(x)$，满足对于$f(x)$的值域中的任何一个值，都能通过$x=f^{-1}(y)$唯一确定$x$的值。反函数的求法是确定反函数的定义域，从原函数式中反解出$x=f^{-1}(y)$，再将其改写成$y=f^{-1}(x)$并注明反函数的定义域。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第13页。1.原函数y=f(x)与反函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。2.函数y=f(x)的定义域和值域分别是其反函数y=f^-1(x)的值域和定义域。3.如果点P(a,b)在原函数y=f(x)的图像上，则点P'(b,a)在反函数y=f^-1(x)的图像上。4.一般来说，函数y=f(x)必须是单调函数才有反函数。2.3幂函数幂函数是一般形式为y=x^α的函数，其中x为自变量，α为常数。幂函数的性质包括：1.幂函数的图像分布在第一、二、三象限，当其为偶函数时，还分布在第一、二象限，当其为奇函数时，还分布在第一、三象限，当其为非奇非偶函数时，只分布在第一象限。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第14页。2.所有幂函数在点(1,1)处经过。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第14页。3.当α>0时，幂函数在[0,∞)上为增函数；当α<0时，幂函数在(0,∞)上为减函数，并且在第一象限内，其图像无限接近于x轴和y轴。4.当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数。若α=p/q（p、q互质，p和q为整数），则当p为奇数q为奇数时，幂函数为奇函数；当p为奇数q为偶数时，幂函数为偶函数；当p为偶数q为奇数时，幂函数为非奇非偶函数。5.幂函数y=x^α（x∈(0,∞)）的图像特征为，当α>1时，若01，其图像在直线y=x上方；当α1，其图像在直线y=x下方。补充：二次函数二次函数可以有三种形式的解析式：一般式、顶点式和两根式。选择哪种形式取决于已知条件。二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，对称轴方程为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。求二次函数解析式的方法包括：1.已知三个点的坐标时，宜用一般式。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第15页。2.已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第15页。3.若已知抛物线与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便。当$a>0$时，抛物线开口向上，函数在$(-\infty,-\frac{b}{2a})$上递减，在$[-\frac{b}{2a},+\infty)$上递增，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$f_{min}(x)=\frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a<0$时，抛物线开口向下，函数在$(-\infty,-\frac{b}{2a}]$上递增，在$[-\frac{b}{2a},+\infty)$上递减，当$x=-\frac{b}{2a}$时，$f_{max}(x)=\frac{4ac-b^2}{4a}$。二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$当$\Delta=b^2-4ac>0$时，图象与$x$轴有两个交点$M_1(x_1,0),M_2(x_2,0),|M_1M_2|=|x_1-x_2|=\frac{\Delta}{|a|}$。一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第16页。定理）的运用。下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第16页。设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$的两实根为$x_1,x_2$，且$x_1\leqx_2$。令$f(x)=ax^2+bx+c$，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：$a>0$时，抛物线开口向上；$a<0$时，抛物线开口向下。②对称轴位置：对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。③判别式：$\Delta=b^2-4ac$。④端点函数值符号：$f(-\frac{b}{2a})=\frac{\Delta}{4a}$。分别考虑如下情况：①$k0$。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第17页。②$x_1\leqk0$。高中数学必修一知识点整理全文共19页，当前为第17页。③$x_1<k<x_2\iffaf(k)<0$。④$k_10$且$f(k_2)>0$。⑤有且仅有一个根$x_1$（或$x_2$）满足$k_1<x_1$（或$x_2$）$<k_2\ifff(k_1)f(k_2)<0$，并同时考虑$f(k_1)=0$或$f(k_2)=0$这