2023学年陕西省西安高考数学三模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（）

甲班|乙班

7958

7311013

2113

A.甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班

B.甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定

c.甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班

D.甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103

2.空气质量指数AQ/是反映空气状况的指数，AQ/指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI

指数变化趋势，下列叙述错误的是（）

A.这2（）天中AQI指数值的中位数略高于10（）

B.这20天中的中度污染及以上（AQ/指数＞150）的天数占5

C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好

D.总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好

3.已知向量a=(l,4),8=(一2,"7),^\a+b\=\a-b\,则山=()

11

A.----B.—C.-8D.8

22

4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

正（主）视图侧（左）视图

D.32

5.阿基米德（公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称

为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并

且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一

个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54乃的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为（）

64万

6.过抛物线丁=2内（0>0）的焦点作直线交抛物线于AB两点,若线段AB中点的横坐标为3,且|A同=8,则

抛物线的方程是（）

A.y2-2xB.y2-4xC.y2-8xD.y2=10x

7.新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业

的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（）

我国新闻出版产业和域字出版业营收增长慵况

250000-

200000-

15000.0-

100000-

5000.0-

0.0-

2012年2013年2014年2015年2016年

□数字出版业营业收入《亿元)

□新闻出版业营业收入《亿元)

A.2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加

B.2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍

C.2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍

D.2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一

/、flog〃x+a,x>0/、/、

8.已知a>0且函数=C।/八，若/(。)=3,则”—。)=()

[3—l,xs0

228

A.2B.-C.一一D.——

339

9.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：(0.675,-0.989),(1.102,-0.010),(2.899,1.024),

(9.101,2.978),下列函数模型中拟合较好的是()

V

A.y=3xB.y=3C.y=—D.y=log3x

10.下列函数中既关于直线x=l对称，又在区间上为增函数的是()

A.j=sinTLX.B.y=|x-l|

C.y=cos»xD.y=e'+e-'

11.从抛物线y2=4x上一点P(P点在x轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为且|PA〃=5,设抛物线的焦点

为尸，则直线入值的斜率为()

44

A.-2B.2C.——D.-

33

12.设全集集合"={x\x<l},N={x|x>2},贝iJ&M)cN=()

A.{x|x>2}B.{^|x>1}C.{x11<x<2}D.{x|x>2}

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

[|x+l|,x<0a

13.已知函数f(x)=〈，，若函数y=/(x)-a有3个不同的零点X1,X2，W(X<x,<%)，则』+%+一的取值

[4厂,x>0^

范围是.

14.设向量a=(〃?/)，b~R,1),且+b)，则m.

(X-y-1>0

15.已知x,y满足约束条件x+y-3W0,贝!k=2x.y的最小值为一

[2y+1>0

16.(2一1)的展开式中x的系数为.

x3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大

市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的

部分每小时收费标准为20元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、

1II7

乙健身时间不超过1小时的概率分别为一，一，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为一，一，且两人健

4623

身时间都不会超过3小时.

(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量J(单位：元)，求J的分布列与数学期望E(J);

(2)此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预

测此次促销活动后健身馆每天的营业额.

A+C

18.(12分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin(A+B)=csin-----.

2

(1)求5；

(2)若AAHC的面积为G，周长为8,求反

19.(12分)为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生

物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况.现分别从A、8、C三块试验田中各随机抽

取7株植物测量高度，数据如下表(单位：厘米):

A组10111213141516

8组12131415161718

。组13141516171819

假设所有植株的生长情况相互独立.从A、8、C三组各随机选1株，A组选出的植株记为甲，B组选出的植株记为

乙，C组选出的植株记为丙.

（1）求丙的高度小于15厘米的概率；

（2）求甲的高度大于乙的高度的概率；

（3）表格中所有数据的平均数记为〃从A、B、。三块试验田中分别再随机抽取1株该种植物，它们的高度依次

是14、16、15（单位：厘米）.这3个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为小，试比较为和小的

大小.（结论不要求证明）

20.（12分）已知函数/'（x）=or-lnx-l（aeR）.

（1）讨论.f（x）的单调性并指出相应单调区间；

1a

⑵若8（幻=5/一设玉,工2（石<%2）是函数g（x）的两个极值点，若aN]，且ga）-g（w）“恒

成立，求实数R的取值范围.

21.（12分）已知数列｛《,｝中，％=1,前〃项和为S“，若对任意的〃eN*,均有S,=a,*「k（人是常数，且keN*）

成立，则称数列也｝为“”（%）数列”.

（1）若数列｛%｝为""（1）数列”，求数列｛为｝的前〃项和s.；

（2）若数列｛。,,｝为“〃（2）数列”，且生为整数，试问：是否存在数列｛4｝,使得|42-414用卜40对任意“22,

成立？如果存在，求出这样数列｛4｝的的的所有可能值，如果不存在，请说明理由.

22.（10分）如图，已知在三棱台A5C-中，AC=2AB=2,BC=6，

（1）求证：AB±CC,；

（2）过A3的平面A3DE分别交MG，4G于点。，£，且分割三棱台ABC-AgG所得两部分几何体的体积比

为匕&E-=匕BC-BDC]=4:3,几何体ABC-EOG为棱柱，求4片的长.

提示：台体的体积公式v=；(s'+JSM+s)〃(s'，s分别为棱台的上、下底面面积，〃为棱台的高).

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

计算两班的平均值，中位数，方差得到A8C正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，。错误，得到

答案.

【详解】

由题意可得甲班的平均分是104,中位数是103,方差是26.4；

乙班的平均分是102,中位数是101,方差是37.6,则A,B,C正确.

因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故。错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.

2.C

【解析】

结合题意，根据题目中的2()天的AQ/指数值，判断选项中的命题是否正确.

【详解】

对于A,由图可知20天的AQ/指数值中有1()个低于1()0,1()个高于100,其中第1()个接近10(),第11个高于10(),

所以中位数略高于100,故A正确.

对于3,由图可知20天的AQ/指数值中高于150的天数为5,即占总天数的1,故3正确.

4

对于C,由图可知该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天空气质量越来越差，故C错误.

对于O,由图可知该市1()月上旬大部分指数在100以下，中旬大部分指数在100以上，所以该市1()月上旬的空气质

量比中旬的空气质量好，故。正确.

故选：C

【点睛】

本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.

3.B

【解析】

先求出向量£+的坐标，然后由|a+5H£-方|可求出参数机的值.

【详解】

由向量a=(1,4),h=(-2,m),

贝!)a+3=(_1,4+〃1),a-b=(3,A—m)

2

\a+/j|=Jf+(4+m)，,\a—b|=^3+(4—AM)"

又|a+〃|=|a-〃|,则jF+(4+=-^32+(4-/»)2,解得，然=/.

故选：B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.

4.A

【解析】

根据三视图，还原空间几何体，即可得该几何体的体积.

【详解】

由该几何体的三视图，还原空间几何体如下图所示：

可知该几何体是底面在左侧的四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为4,

^V=lx(4x4)x4=y.

故选：A

【点睛】

本题考查了三视图的简单应用，由三视图还原空间几何体，棱锥体积的求法，属于基础题.

5.C

【解析】

设球的半径为R,根据组合体的关系，圆柱的表面积为S=2兀即+2兀Rx27?=54万，解得球的半径R=3,再

代入球的体积公式求解.

【详解】

设球的半径为R,

根据题意圆柱的表面积为S=2万斤2+2兀Rx2斤=54万，

解得R=3,

44

所以该球的体积为〉=一=一'%x3,=36万.

33

故选：C

【点睛】

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

6.B

【解析】

利用抛物线的定义可得,IA81=|+16E|=玉+5+/+与,把线段A3中点的横坐标为3,|A31=8代入可得p值，

然后可得出抛物线的方程.

【详解】

设抛物线V=2px(p>0)的焦点为尸，设点4(和%),3(*2，%)，

由抛物线的定义可知|A8|=|AE|+|8F|=X+5+X2+5=(X+X2)+P，

线段AB中点的横坐标为3,又|AB|=8,，8=6+p,可得〃=2,

所以抛物线方程为V=4x.

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.

7.C

【解析】

通过图表所给数据，逐个选项验证.

【详解】

根据图示数据可知选项A正确;对于选项B：1935.5x2=3871<5720.9，正确;对于选项C：16635.3x1.5>23595.8,

故C不正确；对于选项D：23595.8x1«7865>5720.9,正确.选C.

3

【点睛】

本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.

8.C

【解析】

根据分段函数的解析式，知当xWO时，.“x)=3'M—1,且〃x)<3,由于/(a)=3,则/(a)=k)g"+a=3,即

可求出

【详解】

由题意知：

当xWO时,=

由于/(。)=3,则可知：a>0,

贝!!/(a)=k>g“a+a=3,

.,*{2=2,则-。=-2,

2

则〃—〃)=/(—2)=3--=—

即=

故选：C.

【点睛】

本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.

9.D

【解析】

作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线.

【详解】

如图，作出A,B,C,D中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线y=log3X的两侧，与其他三个曲线

都离得很远，因此D是正确选项，

故选：D.

【点睛】

本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好.

10.C

【解析】

根据函数的对称性和单调性的特点，利用排除法，即可得出答案.

【详解】

A中，当x=l时，y=sin7Lx=O#l,所以y=sin7Li不关于直线x=l对称，则A错误；

B中，y=x—1=<：I所以在区间上为减函数，则B错误；

'1l-x+l,(x<1)

D中，y=/(x)=e*+eT,而〃0)=2J(2)=e2+e-2,则〃0)H〃2),所以y=e*+0不关于直线x=l对

称，则O错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查函数基本性质，根据函数的解析式判断函数的对称性和单调性，属于基础题.

11.A

【解析】

根据抛物线的性质求出点P坐标和焦点/坐标，进而求出点”的坐标，代入斜率公式即可求解.

【详解】

设点P的坐标为(毛,%),*>0，

由题意知，焦点尸(1,0),准线方程/:x=—1,

所以归叫=为+1=5,解得％=4,

把点P（4,%）代入抛物线方程可得，

%=±4,因为为>0,所以%=4,

所以点M坐标为（一1,4）,

代入斜率公式可得，kMF=^-=-2.

-1—1

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.

12.A

【解析】

先求出,再与集合N求交集.

【详解】

由已知，={x|x>1},又N={x|x>2},所以q,McN={x|x>2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（-2,0]

【解析】

作出函数y=/（x）的图象及直线y=。，如下图所示，因为函数y=/（x）-”有3个不同的零点内,工2，与（西<鼻），

所以由图象可知玉+%2=-2,0<x,<l。=/（看）=44，所以占+々+幺=—2+4七€（—2,0|.

2马

14.2

【解析】

根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：a.B=2m+1

2

且1=m+1石~=5

由75=3（片+4）

所以2m+1=+1+5）=>加=2

故答案为：2

【点睛】

本题考查向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题.

3

15.-

2

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再由y=2x-维示直线在J轴上的截距最大即可得解.

（x-y-l>0

X,y满足约束条件X+V-3S。，画出可行域如图所示.目标函数Z=2x-y,即y=2x-z.

{2y+1>0

平移直线v=2x-z,截距最大时即为所求.

点4（'，-'），

（x-y-/-022

-—八一目—113

z在点4处有最小值：z=2x-+-=

222

故答案为：

2

【点睛】

本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.

16.80.

【解析】

只需找到(2-%2)5展开式中的x4项的系数即可.

【详解】

(2--)5展开式的通项为给=〈25-%—-。=(_1尸黑25-”2，,令「=2，

则7；=(-1)2C^2\4=80x4,故(2-：)的展开式中X的系数为80.

故答案为：80.

【点睛】

本题考查二项式定理的应用，涉及到展开式中的特殊项系数，考查学生的计算能力，是一道容易题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析，40元(2)6000元

【解析】

(1)甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情

况，分情况计算即可

(2)根据(1)结果求均值.

【详解】

解：(1)由题设知二可能取值为0,20,40,60,80,则

1112I

=60)=-x-+-x-=-；

1726434

尸律=80)=，XL-L

'74624

故4的分布列为:

J020406080

15£1

P

24412424

所以数学期望E（J）=0X（+20X；+40XV+60X；+80X（=40（元）

(2)此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：40x300x1=6000(元)

2

【点睛】

考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.

TT1J

18.(1)B=—；(2)b——

34

【解析】

44-C

(1)通过正弦定理和内角和定理化简匕sin(A+B)=csin-----,再通过二倍角公式即可求出E(3；

2

(2)通过三角形面积公式和三角形的周长为8,求出b的表达式后即可求出的值.

【详解】

(1)由三角形内角和定理及诱导公式，得bsinC=ccos9,

2

结合正弦定理，得sin8=cos0,

2

由0<O〈二及二倍角公式，得sin0=,，

2222

即故8=々；

263

(2)由题设，得，acsin8=6,从而ac=4,

2

由余弦定理，^b2=a2+c2-2accosB,即条=(a+cf-12,

又a+/?+c=8,所以/=(8—32—12,

解得b=一.

4

【点睛】

本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.

210

19.(1)—;(2)—；(3)〃()<〃].

749

【解析】

设事件A,.为，，甲是A组的第i株植物”，事件B,为，，乙是B组的第i株植物"，事件G为“丙是C组的第i株植物“，i=1、

2、…、7,可得出P(A)=P(B,)=P(G)=；.

(1)设事件。为“丙的高度小于15厘米”，可得且G、互斥，利用互斥事件的概率公式可求得结果;

(2)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”，列举出符合题意的基本事件，利用互斥事件的概率加法公式可求得所求

事件的概率；

(3)根据题意直接判断和从的大小即可.

【详解】

设事件A,为“甲是A组的第i株植物”，事件B,为“乙是3组的第i株植物”，事件G为“丙是C组的第i株植物“，，=1、

2^…、7.

由题意可知「(4)=。(与)=7)(£.)=3，，=1、2、•・•、7.

(1)设事件。为“丙的高度小于15厘米”，由题意知。=£。。2，

2

又G与G互斥，所以事件D的概率P(D)=p(c(oc2)=尸(G)+尸(G)=,；

(2)设事件E为“甲的高度大于乙的高度”.

由题意知E=A4B}uuA4uA7B,UD4与uAyB,u儿鸟o48,u.

所以事件E的概率P(E)=P(A/)+P(A4)+P(A£)+P(44)+P(4B2)

+尸()+P(4耳)+P(AR)+P(4员)+尸(4Z)

=1OP(44)=1OP(4)P(4)=瞿

⑶Ao<A,•

【点睛】

本题考查概率的求法，考查互斥事件加法公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等

题.

15'C

20.(1)答案见解析(2)-oo,---2In2

8

【解析】

HY—1

(1)先对函数进行求导得了'。)=——,对。分成440和。＞0两种情况讨论，从而得到相应的单调区间;

X

(2)对函数g(x)求导得g'(x)=厂一(。+1*+1,从而有r+无2=a+1,XjX2=1,%，三个方程中利用。之=

xF2

得到0<玉<将不等式g(x)—g(w"k的左边转化成关于*的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值,

从而得到攵的取值范围.

【详解】

解：(1)由/(%)=ax-lnx-1,xe(0,+oo),

…、1ax-1

贝(If(x)=。——=-----，

xx

当a40时,则/'(QO,故/⑴在(0,+8)上单调递减；

当a>()时，令/'(x)=O=>x=—,

a

所以f(x)在上单调递减，在+8)上单调递增.

综上所述：当。40时，八幻在(0,+8)上单调递减;

当。>0时，f(x)在0,(上单调递减，在［+8］上单调递增.

1

(2)V^(x)=lnx+—x9-(«+l)x,

,1x2—(a+l)x+1

g'(x)=—+x—3+l)=------------——，

XX

由g'(x)=0得f_(a+])x+i=0,

・・・%+工2=。+1，%々=1，­-X2=~

石

15

X+—>—

・・〉x,21

a2•解得0〈内

20<x,<—2

%

1、

g(xj-g(%2)=ln%++一12)=21nX]x；.2—-

7

设/z(x)=21nx--^-fx2

则h(x)=1-X--L=_I*J)<o,

XXX'

.••依处在(0,；上单调递减；

当玉=；时，力(x)min=〃(；)=£_21n2.

.\A:<--21n2,即所求人的取值范围为1-00,?—2In2.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查分类讨论思想和数形结合思想，求解双元问题的常用思路是：通过

换元或消元，将双元问题转化为单元问题，然后利用导数研究单变量函数的性质.

n

21.(1)Sn=2-l(2)存在，出=0，±1，±2，±3,±4,±5,-6

【解析】

(1)由数列"｝为“"⑴数列”可得,s“=«„+1-1,S,I=a„-l(n>2),两式相减得«„+1=2a“,(n22),又见=2=2q,

利用等比数列通项公式即可求出an，进而求出S”；

(2)由题意得，Sn=an+2-2,S,i=a“+]-2(nN2),两式相减得，an+2=«,,+1+<zn,(n>2),

据此可得,当〃23时，4+|-%。“+2="”+1(《用一4")一。"2=%+必,1—42,进而可得

旧了=■一八%|，(n23),即数列｛I*一%%|｝为常数列，进而可得|第一4用%|=肾_^4|,(n>3),

2

结合%=%+%，得到关于%的不等式，再由〃=2时|22-=|«2-3|<40,且出为整数即可求出符合题意的出

的所有值.

【详解】

(1)因为数列｛4｝为““⑴数列”，

所以5,,=6用一1,故S“T=%—l(nN2),

两式相减得。,m=2%,(nN2),

在S“=a“M-1中令刃=1,则可得“2=2,故%=2卬

所以4=2,(〃eN*,〃Nl),

所以数列｛4｝是以1为首项，以2为公比的等比数列，

所以。“=2小，因为S.=a向一1,

所以5“=2"-1.

(2)由题意得S“=a,.-2,故Sn_t=a,l+l-2(n>2),

两式相减得4+2=+%，(n22)

所以，当“之2时，始一44+2="3-4(«„+i+%)=%3,用一4)一4：

又因为%+i-4,=41T,323)

22

所以当刃23时,-anan+2=an+l(an+i-an)-an=an+lan_t-«„

所以|a”;-a,,八|=|<一%%|，(nU3)成立，

所以当〃23时，数列｛|«„2-%M%|)是常数列，

因为当〃=2时,an+2=an+i+an成立，

所以%=%+%，

所以I。,：一%%卜|«32--W|，色