最小二乘辨识方法与仿真

最小二乘辨识方法与仿真一、最小二乘原理概念设一个随机序列{z(k),k }的均值是参数的线性函数其中h(k)是可观测的数据向量，利用随机序列的一个实现，使准则函数达到极小的参数估计值称作模型参数的方程误差估计，称最小二乘估计。最小二乘辨识问题假设条件设时不变SISO动态系统的数学模型为：A()z(k)=B( )u(k)+v(k),其中，u(k)、z(k)为模型的输入和输出变量；v(k)是模型噪声；延迟因子 多项式A、B的阶次 已经设定，通常 。可将上述模型写成最小二乘格式：z(k)= +v(k)，式中，h(k)二[—z(k—l),—z(k—2),…，—z(k— ),u(k—l),u(k—2),…，u(k—)噪声模型v(k)可用一阶和二阶统计矩描述，其均值和协方差阵表示为：其中，是v(k)的方差。最小二乘递推辨识算法辨识算法包含批处理算法与递推算法，下面运用递推算法进行对模型的仿真。递推算法：在上一次模型参数估计值的基础上，根据当前的数据进行修正，以获得当前时刻的模型参数估计值，下面为递推形式：其中 为当前时刻参数估计值，h(k-d)为数据向量，K(k)为算法增益，为模型新息。根据RLS辨识算法： ;=[I—]可将递推形式写成算法初始值可取：P(0)=I， =式中，为充分大的实数，e为充分小的实向量。模型仿真(matlab)(1)考虑如下模型，Z(k)+ z(k—l)+ z(k—2)= u(k—l)+ u(k—2)+v(k),其中，u(k)和z(k)是模型的输入输出变量，v(k)为噪声模型，=—0.5，取v(k)为服从正态分布的白噪声N(0，1)，加权阵取单位阵•仿真步骤：产生输入信号(幅值为1的M序列)与噪声序列得到输出信号赋算法初值：(0)=10八5*1；theta(0)=利用算法递推计算得到结果•Matlab源程序：clearall:L=1000:^M區列的周期y>l：y2=Ci：y3=l：y4=0：^四个務位租存書的输出衲0值fori=l:L：^i开妬循坏，长度和xl=xoz(y3jy4)汁第一「卜務位穆存署的输A.是第加■■与第』个移也机存器的輛出的“或55淞爷1;%聿二个秽位腴年器的输Z是第］个移也机存器的輛出心爷4;%聿三个秽位腴年器的输Z是第』个移也机存器的輛出血曲滤四个移位慌器的输入是第2个移錘存器的齟曲內和砒第拧移位曲器幅値力”『用T的输出詐，if丫⑴f4⑴如果K序躺值为T时草识的輪入信号职T山锐⑴謁硝明列的值为乍时怡识的输人信号取计endW術环结束yl=sl;y2=x2;y3=x3;y!^x4;胡矶大厳结束，店生输扎信号ufigured):硅1个凰形stenifui,gridcn%以徑旳形式显示出输A.信三并给图旳加上网蒂xlabelfk?).ylabclTu}rtitleC输入信号序列JnndnOai;沪生噪冑翩］3(1)=0z(2)=O55lzE^m两个刃姐值为零forBML;出情环娈里从?到L沁)T.3^(k<)-0.7+z(k-2)+l.l+u(k<)+0.5+u(k-2)H-(k)珂给岀理應的需朗i岀采洋信号endfigure(2):中聿1个囲形Eteni(z：,gridcn%以径的形式显示出输A.信E弄给图笊加上网格xlabel(，k1)；ylabelC2);皿就输岀器序则)c0<0.0010.0(010.0000LD.眦血门直接给蝴卿鋤的财低即一个亢分小的实向童1>匸1『在呎4池)马首榕给岀初扯狀杰F(h即一个制大的实議单仿轩阵

E-0.000000005 000000005c-CcO.c0-zeTos(4BL-21]:怖披辨识杀数拒略e=zero3(4,L);紀目对误茎的初贻笆履大小3fork=3:L;屠开抬末Khl-C-z(k-1)・一茴(k-2)・u(k-U・u(k-2)]":x-hl'1*D0*hL+L:xL-invCk):kl=pO*hl*Kl;阳求出K的值dl=a(k)-hl?*c0;cl=c0+-l<l*dl; 识.参埶eel-cl-cO:«2="./<;丄；$求塗颤的相对克化eC,k>=e2；弔把当前相时我I匸比列E生加A,嗫差矩阵cO-cl.飯对讥俘的缶I-.一心谛料巴1|匚厲前c(:,k)=cl;%把湃识翁數u列向毘加入捋识翁埶拒卩车的最后一列pL-pO-kl+kf+Chl?+pO+lil+LZ.^TLUp<k)的晅pO-pl IF用ifc2<-Efora=k+l:LC(:pa)=e2;c(:ra)1:endt.讹显弋若舉埶版軸杨足娶求！终止计茸end%*卜・(183T结束end%AiE环结卫呼丘小就茁漲•密宜母辰示祷识结果的收逊倍况al=cC1?:)；a2=c(2,:)：bl=c(3?:);b2=c(4?:)：Eal=e(1?:):Ea2=e(2?:)：Ebl=e(3?:);Eb2=e(4?:)figured)期第2吓圍形i-l:L:%»坐标就:L到15plot(i,al,'k-a?i3a2?"k:'?i?bl,"k--9,i,!k-.')%画出且—a2rbl?b?的各衣辨识结果title 估计值我化曰绒'川国形标題xlabelCk?)rylabcl(!al?a.2bl、b2?)legendC^al-0.3?B'a2-0.7?P'bl-1.L?B?b2-0„5?):右田插注f-iiureC4):暫第T于圄形小丄.品郎T各次狒识雉界的妝珈阡児i-L：L;确坐标川.小丄.品郎T各次狒识雉界的妝珈阡児plo±(i,Eal??k-\i?Ea2?'k:'?i.Ebl,?];一一'?i?Eb2?'k-・')需国出亡』丄・?a2■目对邊绘販化曲绒。为医I开纟标题slabelCk?)?ylabrlCe?)2eEendCaEalJEa2",'Ebl",'fibE').•程序运行结果：

•辨识结果：参数ala2blb2真值0.30.71.10.5估计值0.30090.69651.10770.5054最终的辨识模型为：Z(k)=-0.3009z(k-1)-0.6965z(k-2)+1.1077u(k-1)+0.5054u(k-2)+v(k)从辨识结果来看，精度的要求直接影响到辨识的速度。

2)若模型噪声信号不为白噪声，则需利用增广最小二乘法辨识该模型。考虑模型：z(k)=-0.3*z(k-1)-0.7*z(k-2)+1.1*u(k-1)+0.5*u(k-2)+v(k)-0.2*v(k-1)+0.3*v(k-2)同(1)进行仿真：•Matlab源程序：Febit.叮浅柑对隹吞mfjj®但绘犬d-fork-3:L;%7S5TEEarn-1.3z性】=-0.3*z(k-l)-a.7相fk-£)+■!.1*u(k-1)+0.5*u(k-Z^tkJ-0.2*v(k-D+0.3*v(k-小*系细在I帛列鞘入下的轿出采样信号hl=[-ztk-l>.-a(k-2).u(k-l).uik-Z).vik).v(k-l).v(k-2)l1:鲁为求K(k)年淮备TFhr+pO^hlM-31=inv(z):k1=50^1^1：V.Kdl=z(k)-hl?;cl=c0+k1耳dl:褓识建^.eDfl=Cl；*结下一迦用D',k》=rl;七把菲识套数盗列向蛍加入诽识奉數拒阵pl=pU-kl3tklr*rhl'^pQ^hl+l];%£mdp(kJpO-pl^frfiT^用endEdV是齐茫页X-茗要虽t1=：£1.\:aS=c(2.}.bJ-：：<3.).b?-c(4>)>'爲I'al、立，bl*hZ■11=r(□.)：e=c(B.J:ii3=c(7.)■片并离出<11、世、d3fipm£2)：%画第二牛禺世1=L■L;plot。■乩rk-\1,32/k:\i.blmb2,J,i»dl/k^,1：d2°■kd',i,£. 田出各个玻黠识毎數luEendCal=-l.o','h2=(1. 'bl=l.O','b3=0.n,'dl=l.O','d2=-l.O','A3=D.?);弔圈标炷alah^lCELyLabelfal-a2,bl,b2：dLd2,d3');t::h「亍颈仃计值变就曲线Jh标題e^zercs1L)浑相对溟差的祐I拾值展犬小fork=3:L;屯开抬求K(t-2)曲系墟屯J(库別端入下(t-2)曲系墟屯J(库別端入下的输岀采样信是g(k)=-«LZta：0e-lj-fl.7ta(k-2：+1.Hu.Ot-t)+0.5tu(k-2)+v(k)-0.2*v(l£-l：+0.3*vM=Z-zi)r-L),-e(lt-2)ruik-1.),u(t-2)rv(lr).v(It-1]..v(k-21]7:%Jt)技E(t)作進备■c=hl：+^Ci*hl+lyl=inu(z)kl=pO^hl1 :"dl=7(k)-hfBtO;cl=cOfkl*dl理鑰识極瓠ccO=clh-A=l汨4)=「-讣屮来L-叢抑r列向pl=^O-kHkl*Ihl'^pO^L+L]:Windp(k)破=口1:气给下赛用aiden曲唱补韭云VT专戛星al=: :;a2=:(23:):bl=:(3,:):b2=:(4,);弋计高二al、a2、bl、b2^1=：(0,:):d2=c(fl3:)：d3=:(73:):用分禹出dliti2■d3fi^reQ)鬥亘第二十■囹形i-L.L.plui ,i,a2：'k.1,i^L/k—\i,b2/k-.3,i?dbnk*'3L,(12/1.^.legendCal-：.3n,na2-：.71,nbl-1.ln,?b2-：.5\nJl-1.?:3nd2—0.2?:?d3=D.3n);韦囹标性slnbel：'k、),yLabelCal：卫,bl：b2,dl?d2,d3n);titl赵'蠢数甘计值变化曲绣'冷标题•程序运行结果：

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