八年级下册数学第17章勾股定理学案

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第1课时勾股定理

【学习目标】

1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理;

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力.

学习重点：勾股定理的内容及证明.

学习难点：勾股定理的证明.

学习过程

一、自学导航（课前预习）

1、直角^ABC的主要性质是：ZC=90°（用几何语言表示）

（1）两锐角之间的关系：_________________________________

（2）若D为斜边中点，则斜边中线

（3）若NB=30°,则NB的对边和斜边：

2、勾股定理证明：

方法一；

DC

如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。

S正方形=

方法二；

已知：在AABC中，/C=90°,NA、NB、NC的对边为a、b、c

求证：a2+b2=c2«

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形

的面积相等。

左边S=_____________

右边S=_______________

左边和右边面积相等，

即化简可得。

二、合作交流（小组互助）思考：

（1）观察图1一1。A的面积

是个单位面积；

B的面积是个单

位面积；

C的面积是个单

位面积。

（图中每个小方格代表一个单位面积）

（2）你能发现图1―1中三个正方形A,B,C的面积之间有什么关系吗？图1—2中的呢？

由此我们可以得出什么结论？可猜想：

如果直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,那么

（三）展示提升（质疑点拨）

1.在RtZ\ABC中，ZC=90°,

（1）如果a=3,b=4,则c=__；

（2）如果a=6,b=8,贝！Jc=________；

（3）如果a=5,b=12,则c=_；0|

（4）如果a=15,b=20,贝！Jc=.___J,

2、下列说法正确的是（）

A.若a、b、c是aABC的三边，则〃+〃=?

B.若a、bc是RtZ\ABC的三边，则a2+〃=c：

第4题图

C.若a、b、c是Rt^ABC的三边，NA=90°,则/+〃=/

D.若a、b、c是Rt^ABC的三边，ZC=90°,则〃+〃=/

3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是（）

A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20

4、如图,三个正方形中的两个的面积Sl=25,S2=144,则另一个的面积S3为.

5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第三边的长为。

（四）达标检测

1.在RtaABC中，ZC=90°,

①若a=5,b=12,贝!Jc=；②若a=15,c=25,则b=：

③若c=61,b=60,贝I]a=；④若a:b=3:4,c=10贝ijSRSAKF。

2、一直角三角形的一直角边长为6,斜边长比另一直角边长大2,则斜边的长为___________

3、一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm,则第三边的为。4

4、已知，如图在AABC中，AB=BC=CA=2cm,AD是边BC上的高.A

求①AD的长；②AABC的面积./\

第十七章勾股定理

17.1勾股定理

第2课时勾股定理的应用

学习目标:

1.会用勾股定理进行简单的计算，能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步

领会数形结合的思想；

2.勾股定理的实际应用，树立数形结合的思想、分类讨论思想;

学习重点：勾股定理的简单计算.

学习难点：勾股定理的灵活运用.

学习过程

一、自学导航（课前预习）

1、直角三角形性质有：如图，直角AABC的主要性质是：Z0=90°,（用几何语言表示）

(1)两锐角之间的关系：;

(2)若NB=30°,则NB的对边和斜边：;

(3)直角三角形斜边上的等于斜边的。

(4)三边之间的关系：。

(5)已知在RtZ\ABC中，ZB=90°,a、b、c是AABC的三边，则

C=o（已知a、b,求c）

a-,(已知b、c,求a)

b=o(已知a、c,求b).

2、(1)在RtaABC,ZC=90°，a=3,b=4,则c=

(2)在RtAABC,NC=90°,a=6,c=8,贝(Ib=

(3)在RtZXABC,ZC=90°,b=12,c=13,则a=

二、合作交流（小组互助）

例1：一个门框的尺寸如图所示.

若薄木板长3米，宽2.2米呢？

例2、如图，一个3米长的梯子A8,斜靠在一竖直的墙A。上，这时A。的距离为2.5米.如

果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端8也外移0.5米吗？（计算结果保留两位小

数）

分析：要求出梯子的底端5是否也外移0.5米，实际就是求8。的长，而

OBDOD

例3：用圆规与尺子在数轴上作出表示而的点，并补充完整作图方法

步骤如下：1.在数轴上找到点A,使0A=；

2.作直线1垂直于OA,在1上取一点B,使AB=；

3.以原点O为圆心，以0B为半径作弧，弧与数轴交于点C,则点C即为表示行的点.

分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一

对应的理论。如图，已知OA=OB,

（1）说出数轴上点A所表示的数

（2）在数轴上作出、反对应的点

-2-1023

（三）展示提升（质疑点拨）

1、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用一条木条加固，则需木

条长为.

从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面

钢缆A到电线杆底部B的距离为o

3、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，/II

AR

圆的直径至少为（结果保留根号）

4、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高

如下图，池塘边有两点A,B,点C是与BA方

向成直角的AC方向上一点.测得CB=60m,AC=20m,

你能求出A、B两点间的距离吗？―"

5、如图，滑杆在机械槽内运动，NACB为直角，已知滑杆AB长100cm,顶端A在AC上

运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm,当端点B向右移动20cm时，滑杆顶端A下

E

滑多长？

6、你能在数轴上找出表示行的点吗？请作图说明。

（四）达标检测

1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为（）

A、12cmB、10cmC、8cmD、6cm

2、若等腰直角三角形的斜边长为2,则它的直角边的长为,斜边上的高的长为

3、如图，在/ABC中，ZACB=90°,AB=5cm,BC=3cm,CD_LAB与D。

求：（L）AC的长；（2）/ABC的面积；（3）CD的长。

4、在数轴上作出表示后的点。

5、已知：在Rtz^ABC中，ZC=90°,CD_LAB于D,ZA=60°,CD=V3,

求线段AB的长。

17.2勾股定理的逆定理

第1课时勾股定理的逆定理

学习目标：

1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和过程；

2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；

3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形.

学习重点：勾股定理的逆定理。

学习难点：勾股定理的逆定理的证明。

学习过程

一、自学导航

I、勾股定理：直角三角形的两条的平方等于的,即

------------A

2、填空题

b

C17B

(1)在Rlz2\ABC,NC=90。，a=8,。=15,则。=。

(2)在RtZiABC,ZB=90°,a=3,b=4,贝ijc=。(如图)

3、直角三角形的性质

(1)有一个角是;(2)两个锐角,

(3)两直角边的平方和等于斜边的平方：

(4)在含30。角的直角三角形中，30。的角所对的边是边的一半.

二、合作交流

1,怎样判定一个三角形是直角三角形？

2、下面的三组数分别是一个三角形的三边长a.b.c

5、12、137、24、258,15、17

(1)这三组数满足/+。2=。2吗？

(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？

猜想命题2：如果三角形的三边长a、b、c,满足/+b2=c2,那么这个三角形是三

角形

问题二：命题1：______________________________________________________

命题2：______________________________________________________

命题1和命题2的____________和____________正好相反，把像这样的两个命题叫做

命题，如果把其中一个叫做,那么另一个叫做

由此得到

勾股定理逆定理：_____________________________________________________

命题2:如果三角形的三边长4、b、C满足/+万2=。2,那么这个三角形是直角三角形.

已知：在△ABC中，AB=c,BC=a,CA=b,S.a2+b2=c2

求证：NC=90。

思路：构造法——构造一个直角三角形，使它与原三角形全等，

利用对应角相等来证明.

三、展示提升

1、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：

(1)tz=15,/?=8,c=17；(2)a=\?>,b=14,c=15.

2、说出下列命题的逆命题.这些命题的逆命题成立吗?

（1）两条直线平行，内错角相等.

（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等.

（3）全等三角形的对应角相等.

（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

四、达标检测

1、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是,能构成直角三角形的是

____________.（填序号）

①3,4,5②1,3,4③4,4,6④6,8,10⑤5,7,2⑥13,5,12⑦7,25,24

2、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）

A.5,6,7B.1,4,9C.5,12,13D.5,11,12

3、在下列以线段a、b、c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）

A、a=9,b=41,c=40B,a=b=5,C=5A/2C、a：b：c=3：4：5Da=ll,b=12,c=15

4、若一个三角形三边长的平方分别为：32,42,X2,则此三角形是直角三角形的X2的值是

（）

A.42B.52C.7D.52或7

5、命题“全等三角形的对应角相等”

（1）它的逆命题是o

（2）这个逆命题正确吗？

（3）如果这个逆命题正确，请说明理由，如果它不正确，请举出反例。

17.2勾股定理的逆定理

第2课时勾股定理的逆定理的应用

学习目标：

1、勾股定理的逆定理的实际应用；

2、通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合.

学习重点：勾股定理的逆定理及其实际应用。

学习难点：勾股定理逆定理的灵活应用。

学习过程

一、自学导航

1、判断由线段4、〃、C组成的三角形是不是直角三角形：

(1)a=1,b=2,c=Vs；(2)a-1.5,h-2,c-2.5(3)a-5,b-5,c-6

2、写出下列真命题的逆命题，并判断这些逆命题是否为真命题。

(1)同旁内角互补，两直线平行；

解：逆命题是：；它是命题。

(2)如果两个角是直角，那么它们相等；

解：逆命题是：：它是命题。

(3)全等三角形的对应边相等；

解：逆命题是：：它是命题。

(4)如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

解：逆命题是：：它是命题。

二、合作交流

1、勾股定理是直角三角形的定理；它的逆定理是直角三角形的定理.

2、请写出三组不同的勾股数：、、.

3、借助三角板画出如下方位角所确定的射线：

①南偏东30°；②西南方向；③北偏西60°.

例1:“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小

时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里.如

果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？

三、展示提升

1、已知在aABC中，。是BC边上的一点,若AB=10,BD=6,AD=8,AC=H,求SAABG

2、如图，南北向MN为我国领域，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我

反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知

正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5

海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进

入我国领海？

分析：为减小思考问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：

(1)AABC是什么类型的三角形？

(2)走私艇C进入我领海的最近距离是多少？

(3)走私艇C最早会在什么时间进入？

N

四、达标检测

1、一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为

此三角形的形状为。

2、已知：如图，四边形ABCQ中，AB=3,BC=4,CD=5,AD=5>/2,

ZB=90°,求四边形ABC。的面积.

3、如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即

从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻

艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西,问：甲巡逻艇

的航向？

N

A

A

《勾股定理》复习

一、学习目标

1、掌握勾股定理及逆定理，理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

2、进一步熟练掌握勾股定理及逆定理的应用。

3、在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽乐趣。

二、重点难点重点：勾股定理及逆定理的应用难点：灵活应用勾股定理及逆定理。

三、学习过程

（一）本章知识结构图_________________________________

实际问题（直角三角形边长计算）--------►勾股定理

■<----------------------------------------

实际问题（判别直角三角形）」一1》勾股定理的逆定理

（-）本章相关知识

1.勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为,斜边为,那

么。

A

直角

数2+2=2（勾股定理）

三角

形B

图

公式的变形:

①C2=____,C=

②a?=____,a=

③b2=____,b=

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角

形是.

数a2+b2=C2=图直角三角形

注：（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关

计算与证明的主要依据；

（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判

断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据.

利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：

①先判断哪条边最大；

②分别用代数法计算a2+b2和c2的值；

③判断a2+b2和c2是否相等。若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

2、勾股数满足a?+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，

仍是勾股数。③写出三组勾股数：、、

3、互逆命题和互逆定理互逆命题

两个命题中，如果第一个命题的恰为第二个命题的,而第一个命题的

恰为第二个命题的,像这样的两个命题叫做.如果把其中一个叫做原

命题，那么另一个叫做它的.互逆定理一般的，如果一个定理的逆命题经过

证明是，那么它也是一个，称这两个定理互为，其中一个叫做

另一个的逆定理.

（三）考点剖析考点1：在直角三角形中，已知两边求第三边

1、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm,高为12cm,吸管放进杯里，杯口

外面至少要露出4.6cm,问吸管要做cm.

2、已知直角三角形两直角边长分别为5和12,求斜边上的高.（提示：直角三角形的

两条直角边的