2023中考数学重难点练习01平面直角坐标系中面积问题（学生版、解析版）

专题01平面直角坐标系中面积问题

一、【知识回顾】

（1）各象限点的特征:

第一象限（+,+）:

第二象限（一，+）:

第三象限（一，一）:

第四象限（+,一）.

（2）特殊位置点的特征：

若点P在x轴上，则生Q：

若点P在y轴上，则击0：

若点/，在一、三象眼角平分线匕则”：

若点/，在二、四象限角平分线上,则

（3）坐标的对称点特征

点/，（",b）X于x轴的对称点「（必一b）

点/Ta,b）关于y轴的对称点♦（一〃，〃）

点P（a,b）关于原点的对称点右（一a,—b）

注：谁对称谁不变，另一个五.为相反数：原点对称横纵坐标都无为相反数

（4）点/»（a,b）、点,.//（c,（f）坐标关系变化

①点P到y轴的距离为时，到y轴的距离为.到原点的距离为+/J

②将点夕沿水平方向平移m（///>•）个单位后坐标变化情况为：

点夕沿水平向右方向平移"3力0）个单位后坐标为（加见〃）；

点0沿水平向左方向平移仍（〃>0）个单位后坐标为（小如〃）；

③将点，沿竖直方向平移〃（〃〉0）个单位后坐标变化情况为：

点〃沿竖直方向向上平移〃（〃>0）个单位后坐标为（a,6"）；

点，沿竖直方向向F平移"</;>0）个单位后坐标为<hb-n).

④若直线掰平行x轴，则炉〃；若直线⑶平行y轴，则京c•:

⑤点P到点”的距离：〃生，（“-C）2+（〃-"）2（勾股定理）

⑥线段所勺中点坐标：（华号）

二、【考点类型】

考点1.三角形的一边平行于坐标轴或在坐标轴上

典例1：如图，在平面直用坐标系中，0是坐标原点，矩形OA8C的两边分别在八轴和，轴上，点8的坐标

为(12.8),现有两动点A。，点P以每秒3个单位的速度从点。出发向终点,4运动，同时点。以每秒2个

单位的速度从点/I出发向终点4运动，连接PC,PQ,CQ.设运动时间为t秒(/>()).

⑴点尸的坐标为，点。的坐标为(用含t的代数式表示)：

(2)请判断四边形APCQ的面积是否会随时间/的变化而变化，并说明理由:

(3)若以力，P,。为顶点的三角形与。6相似时，请电接写出《的值.

【变式1】如图.在平面直角坐标系中，一次函数)户r+2的图象与x轴，，轴分别交于点儿6,y,=-1v+b

的图象与x轴，尸轴分别交于点〃，E，且两个函数图象相交于点C(〃;,5).

⑵求aACD的面枳；

(3)在线段上是否存在一点弘使得的面枳与四边形8WQC的面积比为4:21?若存在，请求出点

”的坐标：若不存在，请说明理由.

(4)点。在线段AC上，连接CP,若△ACP是直角三用形，请直接写出所有符合条件的点，坐标.

【变式2】7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（CM），点B是x轴正半轴上一点，以AB为边作

等腰直角三角形ABC,使/BAC=90。，点C在第一级限.若点C在函数），=」（心＞0）的图象上，则ABC的

x

A.I.B.2.C..D.3.

【变式3】10.如图，在平面直角坐标系中，直线1,的解析式为y=-x,直线k与I,交于B（a,-a）,与

y轴交于点A（0,b）.其中a、b满足（a+2）斗而二=0,那么，下列说法：

（1）B点坐标是（-2,2）：

（2）三角形AB,的面积是3：

（13）^&onc:SjoR—2：］：

（4）当P的坐标是（-2,5）时，那么，SABL&W正确的个数是（）

C.3个D.4个

考点2：三角形的边都不平行于坐标轴或都不在在坐标轴上（铅卷法）

典例2：如图，在平面直用坐标系中，点人（4,1）,点8（柩-2）在反比例函数「=£的图象上.

x

B

(1)求反比例函数的表达式:

(2)求,/。8的面积：

(3)在反比例函数¥=2图象上是否存在点A使aA3,的面积是.AQ/3面积的2倍.若存在，求点夕的坐标;

若不存在，请说明理由.

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线),=/+阮_6(〃工0)与』,轴交于点48与尸轴交于点C,

连接AC,08=2,对称轴为直线x=-2.

(D求抛物线的解析式:

(2)点。是第三象限内抛物线上的动点，连接人”和C7),求AACO面积的最大值.

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线）=加+/*-4与x轴交于A（-L0）,8（4,0）两点，与y

轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式;

⑵如图1,连接8C,点〃为8c下方抛物线上一动点，连接8只CP,当0PBe的面枳最大时，请求出〃

点的坐标和,PBC的面积最大值；

（3）如图2,点N为线段OC上一点，连接AN,求4N+；CN的量小值.

【变式3】27.如图，在平面直角坐标系中，菱形A8C。的顶点C与原点。理合，点8在），轴的正半轴上,

点A在反比例函数「=3K>0,x>0）的图象上，点D的坐标为（4,3）.

（1）求反比例函数的关系式：

（2）设点M在反比例函数的图象0>•）上，连接M4、MD,若&例。的面积是菱形48CO面积的求点

M的坐标.

巩固训练

一、单选题

1.如图，己知三角形如图所示放置在平面直角坐标系中，其中。（-4,4）.则三角形力8c的面积是（）

A.4B.6C.8D.12

2.在平面直角坐标系人中，直线＞=-21+4与坐标轴所围成的三角形的面积等于（）

2B.4C.6D.8

3.在。为原点的平面直角坐标系中，位于笫一象限的点加（3〃-8,。-1）到.1•轴的距离是3：点”与该坐标

系中另一点连接而成的线段MN〃.丫轴，且三角形OMZ的面积为10,则〃的值为（）

A.-2B.-1或9C.8D.D或8

4.在平面直角坐标系中有点力（0,・2）和点8（3,0）,过点“作与尸轴平行的直线，点。是直线上一点,

若三角形48。的面积为6,则点C的坐标为（)

A.(3,4)或(3,-4)B.C.(3,4)D.(3,4)或(3-4)

5.在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点M,N的坐标分别为（4,0）和（出。+1）,且三角形OMN的

面积是8,则〃的值为（）

3或-5B.±4C.3D.-5

6.点4、8是平面直角坐标系中工轴上的两点，且48=2,有一点/与A3构成三角形，若公248的面积为

3,则点P的纵坐标为（)

3B.3或-3C.2D.2或一2

7.在平面直角坐标系中,。为原点，直线刈=丘+。交V轴于B（0,5）,交x轴于A,且三角形AOB的面积

为10,则k=()

5c5「5

A.1B.C.-2或-4D-

4

8.如图，在平面直角坐标系中，点8在函数F=x图象上，点月在x轴的正半轴上，等腰直角三角形8CO

的顶点C在/18上，点。在函数了=与第一象限的图象上若AOM与ABCD面积的差为2,则人的值为（）

9.在平面直角坐标系xQi，中，点4（-2,0）,点8（0,3）,点C：在坐标轴上，若三角形为8c的面枳为6,

则符合题意的点。有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，/点坐标（6,-0）,8点坐标（3,-3）,动点/，从4点出

发，沿•'轴正方向运动，连接8P,以8/＞为直角边向下作等腰直为三角形BPC.^PBC=9O,连接。C,

11.如图，在平面直角坐标系内，以点/'（3、3）为圆心，5为半径作[0],则该圆与*轴分别交于点A8,则三

角形%B的面积为

12.如图，在平面直向坐标系中，直线产'+2交x轴于点儿交了轴于点小，若图中阴影部分的三角形都是

等腰直用三角形，则从左往右第2017个阴影三角形的面积是

13.如图，花平面直角坐标系中，点力＜-1.0),B(2,0),C(0,2),点。在坐标轴上，若三角形8C0

的面积与三用形/18C的面积相等且点D不与点力重合，则点。的坐标为

AOBx*

14.在平面直角坐标系中，有熊A(2,4),点8(0,2),若在坐标轴上有一点C(不与点8重合)，使三

角形AOC和三角形AOB面积相等，则点C的坐标为

15.已知平面直.为坐标系内，点A的坐标为(2,0),点8的坐标为(0,3),以八8为斜边作等腰直角三角

形八8C,点C落在第二象限，则点C的坐标为,三角形八8c的面积为

Ax

16.平面直珀坐标系中，己知A(8,0),AAOP为等腰三角形，且AAOP的面枳为16,则满足条件的P点

个数是

17.在平面直角坐标系中，已知人(-〃,3〃+2),Zi(2«-3,«+2),C®L3,〃-2)三个点，下列四个命题:

①若48、轴，则a=2;

②若48〃),轴，则〃=1；

③若。=1,则A,B,C三点在同一条宜线上：

④若。>1,三角形人8c的面枳等于8,则点C的坐标为

其中真命题有.(填序号)

18.在平面直殆坐标系中，。为原点，直线户外+相交x轴于4(-3,0),交)，轴于8,且三角形408的面

积为6,则上

三、解答题

19.如图，在平面直角坐标系中，直线尸"3与x轴，),轴分别交于点48,与反比例函数［•=4(AH()

x

且,v>0)的图象在第一象限交于点C,若AB=BC.

(1)求A的值:

⑵已知点。是x釉上的一点，若△PAC的面积为24,求点P的坐标.

20.如图，在平面直角坐标系中，A8c各顶点的坐标分别是八(48),8(4,4),C(］，,4),与048c关

于原点O位似，48C的对应点分别为A.8「G,其中用的坐标是(2.2).

(1)ZSA8£和ABC的相似比是：

⑵请画出△A8C:

(3)8c边上有一点M(a,b),在B,C,边上与点M对应点的坐标是

(4)/\48£的面枳是

21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+厉，+8与X轴交于点/，B,与y轴交于点C,直线.V=XT

过点8,与丁轴交于点/)，点C与点。关于x轴对称.点户是线段08上一动点，过点P作.t■轴的垂线交抛

物线于点M,交直线8。于点N.

⑴求抛物线的解析式；

⑵当△MDB的面积最大时，求点P的坐标：

⑶在(2)的条件F，在T轴上是否存在点0,使得以0,M,N,。为顶点的四边形是平行四边形，若存在,

求出点。的坐标：若不存在；说明理由

22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸元+旅-3与K轴交于A（T,0）,3（3.0）两点，与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式:

⑵已知点。（0,-1）,点P为线段8c上一动点，连接。P弁延长交抛物线于点H,连结8H,当四边形OOH8

的面积为:时，求点H的坐标；

⑶已知点E为、轴上一动点，点。为第二象限抛物线上一动点，以CQ为斜边作等腰直角三角形CEQ,请

直接写出点£的坐标.

23.如图，一次函数(h0)的图象与反比例函数力='(/«*0)的图象交于二、四象限内的/、B

x

两点，点/的坐标为(-2,3),点8的坐标为(6,").

(1)则，"=,n=；

⑵若山＞)2时，则,V的取性范围是一；

⑶过点8作8C0)•轴于C点，连接4C,过点C作CZ)(加8于点。，求线段CO的长.

专题01平面直角坐标系中面积问题

一、【知识回顾】

（1）各象限点的特征:

第一象限（+,+）:

第二象限（一，+）:

第三象限（一，一）:

第四象限（+,一）.

（2）特殊位置点的特征：

若点P在x轴上，则生Q：

若点P在y轴上，则击0：

若点/，在一、三象眼角平分线匕则”：

若点/，在二、四象限角平分线上,则

（3）坐标的对称点特征

点/，（",b）X于x轴的对称点「（必一b）

点/Ta,b）关于y轴的对称点♦（一〃，〃）

点P（a,b）关于原点的对称点右（一a,—b）

注：谁对称谁不变，另一个五.为相反数：原点对称横纵坐标都无为相反数

（4）点/»（a,b）、点,.//（c,（f）坐标关系变化

①点P到y轴的距离为时，到y轴的距离为.到原点的距离为+/J

②将点夕沿水平方向平移m（///>•）个单位后坐标变化情况为：

点夕沿水平向右方向平移"3力0）个单位后坐标为（加见〃）；

点0沿水平向左方向平移仍（〃>0）个单位后坐标为（小如〃）；

③将点，沿竖直方向平移〃（〃〉0）个单位后坐标变化情况为：

点〃沿竖直方向向上平移〃（〃>0）个单位后坐标为（a,6"）；

点，沿竖直方向向F平移"</;>0）个单位后坐标为<hb-n).

④若直线掰平行x轴，则炉〃；若直线⑶平行y轴，则京c•:

⑤点P到点”的距离：〃生，（“-C）2+（〃-"）2（勾股定理）

⑥线段所勺中点坐标：（华号）

二、【考点类型】

考点1:三角形的一边平行于坐标轴或在坐标轴上

典例1：如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，点4的坐标

为(12.8)，现有两动点P,。，点尸以每秒3个单位的速度从点。出发向终点,4运动，同时点。以衽秒2个

单位的速度从点A出发向终点8运动,连接PC,PQ,CQ.设运动时间为t秒(r>()).

(1)点/的坐标为，点。的坐标为(用含/的代数式表示)；

(2)请判断四边形APCQ的面积是否会随时间f的变化而变化,并说明理由：

(3)若以力，尺。为顶点的三角形与相似时，请直接写出1的值.

【答案】(1)(3，,。)，(12,2。：

(2)不会，理由见解析：

(3)2石-2或、.

【分析】(1)设运动时间为。秒，则OP=3f,AQ=2/.结合题意即可得到点八点。的坐标：

(2)依据S“s=S痔阳OA»C-S3-S4BCQ代入计髡即可求解：

nrOPH劣OCOP

(3)当ACOP'AQ时，得到笠=%即消;与，求解即可；当aCWrQA尸时，得到而=左即

【详解】(D解：设运动时间为r秒,

则。尸=3/.AQ=2t.

..P(3/.«),C?(I2,2/),

故答案为：(就0),(12,2。；

(2)四边形APCQ的面积不会陵时间，的变化而变化，

理由：四边形A℃。的面积S"<、"=S悔*(MUC--Sc耽@=12x8-g*8x3,-gx12x(8-2r)

=48.

(3)当aCOP—PAQ时,

OCOP

"'PA=AQ，

g|J—^―=—

12-3/2t

解得：，=里

9

当，COP-AQAP时,

.OCOP

福=丽'

83f

即nr=•——■—"

2t12-3r

解得：，=2百-2或，=-2遥-2(不合题意，舍去),

70

综上所述：，喘或f=26-2.

【点睛】本题考查了与矩形有关的动点问题，求不规则图形的面积，相似三角形的性质：解题的关键是依

据题意表示出相关线段.

【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+2的图象与X轴，y轴分别交于点力fty2=--^h

的图象与了轴，y轴分别交于点“E,且两个函数图象相交于点C。”,5).

⑵求aA。)的面积:

(3)在线段人。上是否存在一点弘使得一A&W的面积与四边形*W"C的面积比为4：21?若存在，请求出点

〃的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)点/，在线段八。上，连接CP,若△ACP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点，坐标.

【答案】(1)3,6

(2)./CD的面积为5。

(3)存在，点”的坐标为(6,0)

⑷所有符合条件的点。坐标为(3。)或(8,0)

【分析】⑴由C0“，5)是一次困数X=x+2与%=-，+/，的图象的交点，即可解出；

(2)由两个一次函数解析式分别求出它们与1•轴的交点坐标，得到A/)的长，从而算出aACD的面积：

(3)由已知条件可得AA&W的面积，进而得出AM的长，即可得点〃的坐标；

(4)由△ACP是直角三角形、NCAP是锐角，分ZS">C=9O。和NACP=90。两种情况讨论，利用勾股定理

即可求解.

【详解】(1)•••CW.5)是•次函数X=x+2与)，2=-%+〃的图象的交点，

.•./“+2=5,解得”?=3,

：.-；x3+〃=5,解得)=6.

故答案为：3,6：

(2)一次函数.n=x+2中，当另=。时，A=-2；当x=0时，乂=2,

/.4-2.0).*0.2),

一次函数为=-$+6中，当.”=0时，x=18.

/.。(18,0),

/.AC=18-(-2)=20,

二S“D=4X20X5=50,

2

二.ACD的面枳为50：

(3)如图：

在线段4。上存在一点V,使得的面积与四边形8WC的面积比为4:21,

丁.48M的面积与四边形8MZX7的面积比为4:21,

44

.--5^=—S_=-x50=8,

.」AMO8=8,即」AMx2=8,

22

Z.AM=8,

•.,点〃在线段上,

.•.点”的坐标为(6,0)；

(4)点一在线段4)上，NC4P是锐角，若△AC/3是直角角形，则乙4户C=90。或NACP=90。,

设点尸(P，0),

VA(-2.O),C(3,5).

二AC'=(3+2尸+5。Ab=(/>+2)2,PC2=(p-3)2+52,

当沙PC=90°时，AP-+PC-=AC2，

(p+2尸+(/，-3y+5~=(3+2)~+5，，

整理得，/r-p-6=0.

解得•P=3或-2(舍去)，

.•.点/)坐标为(3.0)：

当ZAC0=90°时，AC2+PC2=AP2,

：.(p+2)?=(3+2)2+52+(/，-3)2+52,

解得P=8,

...点。坐标为(8,0)：

综上所述，所有符合条件的点尸坐标为(3,0)或(8,0).

【点时】本题是次函数综合题，主要考杳•次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本

题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答.

【变式2】7.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0.1),点B是'轴正半轴上一点，以AB为边作

等腰直角三角形ABC,使NBAC=90。，点C在第象限.若点C在函数.V=：(。0)的图象匕则-ABC的

面积为()

A.I.B.2.C.|,D.3.

【答案】C

【分析】设点，的横坐标为了,过。作/轴.『釉的垂线，易iiE△/侬△戊X可得◎出=1,因

3

为点。在尸己图象匕可得矩形〃加芯的面积为3,列方程即可得出*的值，然后根据勾股定理求出的

X

长，即可得出△科，的面积.

【详解】解：设点4的横坐标为乂过r作血.V轴干点的G91j轴于点。，

VZPORZZMZ=«0°,NZM好/如庐90°,

工/比力二/〃力〃，

在△015与山,

[NO4B=/DCA

ZAOB=4CDA,

|/A=AC

•••△6W侬ZXZO(/MS),

：.30年\,Ak除x,

：・01Zx,

3

•.•点C在尸巳图象匕

x

.,.矩形收F的面积为3,

即1X(1+外=3,

户2,

.'.AOAf^^OA2+OB:石，

22

故选c.

【点瞄】本题主要考杳了反比例函数的几何性质，作出辅助线构造出全等三角形.表示出矩形的边长是解

决此题的关键.

【变式3110.如图，在平面直珀坐标系中，直线L的解析式为y=-X,直线L与L交于B(a,-a),与

y轴交于点AS,b).其中a、b满足(a+2)。+^^=0,那么，下列说法：

(1)B点坐标是(-2,2)：

(2)三角形ABO的面积是3；

(3)S&o"c；Sgou—2：1；

(4)当P的坐标是(-2,5)时，那么，S△眈r=Saw正确的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

t答案】D

【分析】(1)根据非负数的性质即可求得a的值，即可得到B<-2,2)：

(2)利用三光形面积公式求得即可判断：

(3)求得△0BC和△A0B的面积即可判断:

(4)Sc和SZM的值即可判断.

【详解】解：(1)Ya、b满足(a+2)=o,

；・a+2=0,b-3=0,

-'■a—"2»b=3»

・•・点八的坐标为(0,3)，点B的坐标为(-2,2),

故(1)正确：

(2)三角形AB0的面积=；XUAX|xJ=；X3X2=3.

故(2)正确：

(3)议直线8的解析式为y=kx+c(kWO),

f-2Jt+c=2

将A、B的坐标代入y=kx+c,得：｛0,

k=

m：'i.

c=3

直线k的解析式为y=gx+3,

令y=0,则x=-6,

AC(-6.0),

.\S=1x6x2=6,

SAAM=3，

SAOK：SA««=2：1；

故(3)正确：

(4)TP的坐标是(-2,5),B(-2,2),

/.PB=5-2=3.

SAMV=-x3x(-2+6)=6,S=srX3X2=6»

22

••S;Kr=SA、oi.

故(4)正确：

故选：D.

【点睛】本题考查了两条直线相交问题，三角形的面枳，一•次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是

解题的关键.

考点2：三角形的边都不平行于坐标轴成都不在在坐标轴上(铅保法)

典例2:如图，在平面直角坐标系中，点A（4,l）,点8（〃52）在反比例函数）・=：的图象上.

⑵求"08的面积:

⑶在反比例函数）•='图象上是否存在点只使.A8P的面积是面枳的2倍.若存在，求点户的坐标：

X

若不存在，请说明理由.

【答案】（1））二一

X

（2）3

⑶存在，（2.2）,K-I）,0+如,土严［卜阮金答）

【分析】（1）把把A（4,l）,代入）•=£得出〃=4即可求出反比例函数的表达式

4

（2）把8（〃,,-2）代入「='得,〃=一2,确定点/?的坐标，再根据待定系数法得出直线A8的表达式，求出

与）.釉的交点C（0L1）,再根据，回。=%用。+Sao,即可

（3）设尸点为［彳），根据5皿=25*诚列出方程解之即可

【详解】（1）解：把A（4.1）,代入产三得：〃=4,

4

・・・反比例函数的表达式为.丫=一，

x

（2）把代入）,=2得〃］=一2,

X

“为（-2,-2）：

设直线AV的表达式为：>,=衣+/,,

1=44+6

把点4（4,1）,点8（-2「2）代入得：，

-2=-2k+b

解得：卜斗

|/?=-1

I,

:.\'=二..］，

2

・・・A8与」轴的交点。(・,T),

，S△八“0=S△人e+=QX1X4+/X1X2=3；

(3)设0点为卜一)，

S~w>=；x(4+2)X-g工+1),

*•*SABP=2sAOR,

；.3(4+2乂：-；工+1)=6或；*(4+2)(；工_1_：)=6,

xx-2,x2=-4,.q=3+y/\l,xA=3—>/T7

；『为(2,2),(Y.-l),(3+后，及严

,3-M,

【点暗】本题考查了反比例函数与几何，反比例函数与次函数，根据$A",，=2S,0”列空方程是解题的关

键

【变式1】如图，在平面直用坐标系中，抛物线)="2+尿-6(“*0)与x轴交于点4B,与，・轴交于点G

连接AC,Oli=2,对称轴为直线.r=-2.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点〃是第三象限内抛物线上的动点，连接人。和C。，求&AC。面积的最大值.

【答案】(I))，=；/+2.1-6；

呜.

【分析】(1)由08=2得8(2,0),结合对称轴建立方程组求解即可：

(2)如图，由(1)求出A(-6,0)即0A=6，C(0,-6)即。。=6设。(犬,.丫)是第三象限内抛物线y=；/+2.v-6

上的动点+2x-6),根据S皿＞=(S*”,+Sa”,)-S.x.用+2x-6)坐标表示三角形面积

即可求解.

【详解】3)解：08=2,

8(0,2),

对称轴为x=-2.

4a4-2Z7-6=0

=l

解得:Ia2,

|力=2

抛物线解析式为：)，=；-V2+2x-6：

(2)如图，抛物线与*轴交丁•点8(2,0),

对称轴为.v=-2,

A(-6.0)即04=6,

抛物线解析式为：y=l.r+2x-6,

C(0,⑹，即0c=6,

设。(.“)是第三象限内抛物线了,.*+2.「6上的动点,

则C(.r,；x2+2x-6)11,-6<.v<0.；F+2.v-6<0,

S.ACD~S^az)-S.皿.=(S_+S.SA0C

=战定|/),|+；以同)一夕)COA

=(；X6X(T)+；X6X-f-^x24-2.V-6I//

>-----XOX0

2

3，

=一一N-9o工

2

7、，77

.•.=--(,t+3)+学

Zj

一♦,

2

开口向下，

-9_

当,"=-2=一3时sACD有最大值不

97

.AS面积的能大值为:.

【点时】本题考查了代入法求二次函数解析式、.次函数的图像和性质求三角形最大面积：解题的关键是

熟练掌握二次函数的图像和性质.

【变式2】如图，在平面直角坐标系X。、，中,抛物线尸aP+b.r-4与x轴交于A（-l.0）,8（4,0）两点,与y

（1）求抛物线的解析式：

⑵如图1,连接8C,点a为8c下方抛物线上一动点，连接吕P、CP,当&PBC的面积最大时，请求出/，

点的坐标和一PBC的面积最大值：

（3）如图2,点.V为线段0C上一点，连接AN,求人N+gcw的最小值.

【答案】（I）,y=.r2-3.v-4

（2）?（2,-6）,8

（3）—+2

2

【分析】（1）待定系数法求解析式即可：

（2）过点P作轴于点。，交BC于点E,利川S淖叱将三角形的面积转化为二次函

数求最值，进行求解即可：

（3）过点C在.V轴右侧作直线CF交K轴于点F,使/OC厂=30。，过点N作MWJ.C下于点“，贝I］：

MN=-CN,可得：AN+-CN=AN+MN>AM,当A,N.M三点共线时，AN+」CN的值蚊小，即为AM

222

的长,进行求解即可.

【详解】（1）解：丁抛物线尸疗+6-4与*轴交于A（-I,0）,8（4,0）两点，

|a-/?-4=0,[a=1

・'•〈,Al«•解得：n「

[hpa+4〃-4=0[b=-3

y-.v2-3A-4:

（2）解：,v=.v-3.v-4,当、=0时，y=-4,

/.C（0,-4）.

设直线BC的解析式为：尸米+巩心。），

m--4=-4

则：,解得:

4k+m=0k=l

二篁线BC的解析式为：.y=x-4.

过点，作PD_Lx轴于点D，交BC于点E，设P（，，『-3r-4）,则：£（/,/-4）,

?.PE=t-4-^r-3/-4）=-/2+4/,

•••S亚=；小卜-。=：（-/2+4小4=2（-/+4/）=-2（/-2『+8：

V-2<0.

二•点P为8c下方抛物线上-动点，

/.0</<4.

二当，=2时,%吠的面枳坡大为8,此忖P（2,4-6-4）,即：P（2.-6）；

（3）解：过点C在）'轨右侧作直线C/交x轴干点尸，使NOC/=30。，过点N作NMLb于点何，则:

MN'CN.

2

/.AN+-CN=AN+MN>AM,

2

.•.当A,MM三点共线时，AN+gcN的值最小，即为AM的心，如图：

•；A(T0).C(0,-4),

:.OA=\,OC=4,

•：N«;O=30°,

ZAFM=6t°-CF=0二。=?/，0尸=!。尸=：6■

cos30325

：.AF=OA+OF=\+^,

：.AA/=AF-sin600=1+」一、二-=三-+2：

(3122，

AN+』av的城小值为也+2.

22

【变式3127.如图，在平面直角坐标系卬，菱形A8C。的顶点C与原点。重合，点B在¥轴的正半轴上,

点A在反比例函数>=：(k>0,A>0)的图象上，点D的坐标为(4,3).

(1)求反比例函数的关系式；

⑵设点M在反比例函数的图象("与上，连接MA、A/D,若△MAZ)的面枳是菱形A8s面枳的，求点

M的坐标.

32

【答案】⑴］一

(2)M(8,4)

【分析】（D利用勾股定理求出0。的长，再利用菱形的性质可得到A。的长，进而得出点A的坐标，最后

利用反比例函数的坐标特征求出k的值：

（2）根据aMW的面积是菱形A8C7）面积的g列方程即可求得M点的坐标.

【详解】（1）解：延长人。交,轴于F,则4户垂直于x轴，如图1所示.

图I

:点。的坐标为（4,3）,

:.OF=4.DF=3.

:.OD=VCF2+DF2=%+3'=5-

•••四边形A8C。为菱形，

:.A/)=0/)=5,

点A坐标为（4,8）,

■•1点A在反比例函数.丫=人的图象上，

X

:.Zr=4x8=32：

反比例的函数关系式为：v=—;

X

（2）解：由（1）知：反比例函数的关系式为.Y=?（x＞，）,

AMD的面枳是菱形A8CD面枳的g,

二g,A。•曷-法|=gOB・.%.

」X5X|〃L4[=』X5X4,

22

二，〃=8或，〃=0（舍去）,

A/（8,4）.

【点睛】本题考杳r勾股定理，菱形的性质，反比例困数图像上点的坐标特征，菱形与三角形的面积等知

识，掌握菱形的性质以及勾股定理是解题的关钺.

巩固训练

一、单选题

1.如图，已知三角形48。如图所示放置在平面宜角坐标系中，其中6（-4.4）.则三角形为8c的面积是（）

432I0।2.14x

.1.

-2•

A.4B.6C.8D.12

【答案】C

【分析】底AB=4,高是点C到x轴的距离，根据三角形面积公式求得即可.

【详解】解：由图象可知，A(0,0),B(4,0).

团力"=4

BC(-4,4),

点C到x轴的距离是4,EABC的高就是4,

051348c=，x4x4=8,

2

故选：C.

【，点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题

型.

2.在平面直角坐标系X。＞'中，直线.v=-2x+4与坐标轴所围成的三角形的面积等于()

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解.

【详解】解：对于直线.r=-2x+4,当x=0时，7=4；当尸。时，、=2

(3克线V=-2V+4与坐标轴的交点为(2.0)和(0.4),

.••直线丫=-2K+4与坐标轴所围成的三角形的面积等于」x2x4=4.

2

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意求出囱线与坐标轴的交点坐标.

3.在•为原点的平面直角坐标系中，位于第一象限的点到'轴的距离是3；点M与该坐标

系中另一点N("h〃)连接而成的线段MN〃.丫轴，且三角形OMV的面枳为10,则〃的值为()

A.-2B.-1或9C.8D.-2或8

【答案】D

【分析】根据位于第一象限的点例(3“-8,«-1)到x轴的距离是3,求得”的值，进而得”点的坐标，再

根据MN〃.丫轴得，”的值,由另()M/V的面积为10.求得MN,进而便可求得〃的值.

【详解】解：13位于第一象限的点〃(3“-8,“-1)到x轴的距离是3,

囱-1=3,

函=4,

E/V(4.3),

0/V(m,«),A/N〃)，轴，

0»/=4,

盟。MN的面积为10.

E-A//Vx4=10,

2

[WN=5,

0|n-3|=5.

回"=8或-2,故D正确.

故选：D.

【点睹】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征，三角形的面枳，平行或垂直坐标轴的直线的坐标特

征，关键是根据数形结合，根据坐标特征列出方程解决问题.

4.在平面直角坐标系中有点力(0,-2)和点8(3,0),过点8作与.¥轴平行的直线，点。是直线上一点，

若三角形花。的面枳为6,则点。的案标为()

A.（3.4）或（3,-4）B.（3.-4）C.（3,4）D.（3,4）或（-3,-4）

【答案】A

【分析】先根据题意得到点C的横坐标为3,再根据三角形/Z?C的面积求出BC的长即可得到答案.

【详解】解：历过点8作与j，轴平行的直线，点C是直线匕一点，

晒C的横坐标为3,

的48c的面积为6,点力的坐标为（0,-2）,

IS—8c,a,=6>

2

团心4,

13点。的坐标为（3,4）或（3,-4）,

故选A.

【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确求出点C的横坐标以及8c的长是解题的关键.

5.在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点M,N的坐标分别为（4,0）和（“，”+1）,且三处形。MW的

面积是8,则〃的值为（）

A.3或-5B.+4C.3D,-5

【答案】A

【分析】利用三角形的面积公式，结合点的坐标列方程求解即可.

【详解】解：根据题意得：|x4|«+l|=8.

解得：“=3或〃=-5,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形的面积，绝对值方程，结合坐标列出关于“的方程，是解题的关键.

6.点4、8是平面直角坐标系中x轴上的两点，且A8=2,有一点户与人8构成三角形，若▲PA/3的面积为

3,则点尸的纵坐标为（）

A.38.3或一3C.2D.2或-2

【答案】B

【分析】根据Sw=g"帆|，求解即可.

【详解】解：（25加=3"|%|，

回，

2kli=3,

解得：.%=土3,

故选：B.

【点暗】本题考查图形与坐标，三角形面积，解题的关健是学会利用参数构建方程解决问题.

7.在平面直角坐标系中，0为原点，直线M=爪+。交y轴于B(0,5),交x轴于A,且三角形AOB的面积

为10,则k=()

5C.-2或一4D.-鸿

A.1B.-

4

【答案】D

(分析】由SAAOB=1O可得;08k卜10.据此求得a=4或勺=-4,

从而得出点A的坐标，再利用待定系数

法分别求得函数解析式.

【详解】解：0B(0.5),

0OB=3,

由SAAO8=1O可行；OB|x/=lO.即:x5x|“=IO

解得：心=4或枭=4

则点A的坐标为(4,0)或(40),

当点A坐标为(4,0)时，把A、B坐标代入*="+。可得:

0=4k+b

点解得：(-4：

b=5

当点A坐标为(-4,0)时，把A、B坐标代入.%=&+〃町得:

.5

0==-4k+hA=

,解得：1一7：

b=5

故选D.

【点睛】本题主要考杳待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是根据三角形的面积得出点B坐标的两

种情况.

8.如图，在平面直角坐标系中，点8在函数y=x图象上，点/在、•轴的正半轴上，等腰直为三角形8C。

的顶点C在//上，点D在函数y=—第一象限的图象上若AQ4A/BCD面积的差为2,则k的值为()

y

B

O\Ax

A.8B.4C.2D.1

【答案】B

【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得出。力=/8,由是等腰直角三角形，可得C0=8D设

OA=a,。。=〃，则点。的坐标为（"+〃，a-b）,根据反比例函数v=上的图象经过点。，即可得到苏

・X

=k,进而得出AO48与△SCO的面积之差=）/-g〃=gA=2,即可求出k.

（详解］解：13点8在函数y=x图象上，

^OA=ABt

WBCD是等腰汽向三知形，

^CD=BD.

设04=mCD=h,则点。的坐标为（a+b,〃・力），

团反比例函数「=-的图象经过点D,

X

团（a+力）（。-/＞）=«--h-=k,

O3O/J8与△8C£）的面积之差=；-“：-三b2=；k=2、

纵=4,

故选：B.

【点睛】此题考查的是求反比例函数的比例系数和等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数的比例系数与

图形面积的关系是