高考数学一轮总复习 第五章 等差数列及其前n项和

高考数学一轮总复习第五章等差数列及其前n项和课件第一页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第五章数列第2节等差数列及其前n项和第二页，共四十八页，编辑于2023年，星期六1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.第三页，共四十八页，编辑于2023年，星期六[要点梳理]1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.第四页，共四十八页，编辑于2023年，星期六4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋_________，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则_______________.(n－m)dak＋al＝am＋第五页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为___.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为___的等差数列．2dmd第六页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第七页，共四十八页，编辑于2023年，星期六7．等差数列的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最______值；若a1<0，d>0，则Sn存在最___值．质疑探究：等差数列通项公式与前n项和公式的推导分别用了什么方法？提示：前者用的是叠加法，后者用的是倒序相加法．大小第八页，共四十八页，编辑于2023年，星期六[基础自测]1．给出下列命题：①若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．②数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.③等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．④数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．第九页，共四十八页，编辑于2023年，星期六⑤等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．其中正确的命题是(

)A．①②

B．②③C．③④

D．④⑤[解析]

①错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，这个数列就不是等差数列．②正确．如果数列{an}为等差数列，根据定义an＋2－an＋1＝an＋1－an，即2an＋1＝an＋an＋2；反之，若对任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2，则an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝…＝a2－a1，根据定义数列{an}为等差数列．第十页，共四十八页，编辑于2023年，星期六③正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．④错误．根据等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，只有当d≠0时，等差数列的通项公式才是n的一次函数，否则不是．第十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期六[答案]

B第十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期六2．(2015·海淀质检)等差数列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为(

)A．14 B．18C．2 D．27[答案]

A第十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期六3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于(

)A．58 B．88C．143 D．176[答案]

B第十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期六4．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.[答案]

3第十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期六考向一等差数列基本量的计算例1

(1)(2013·安徽高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝(

)A．－6

B．－4

C．－2

D．2第十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(2)(2015·石家庄市质检)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n＞3)，Sn＝100，则n的值为(

)A．8 B．9C．10 D．11思路点拨在等差数列{an}的an，Sn，a1，d，n的五个量中，知其三，求其二．第十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期六互动探究本例(1)中，已知条件不变，则Sn＝________.[答案]

－n2＋11n第二十页，共四十八页，编辑于2023年，星期六拓展提高①此类问题的通法是把条件转化为a1与d的方程(组)，进而可求其它问题．②结合性质求解，可简化计算．活学活用1

(1)(2015·荆州市调研)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，且S10＝60，则S20＝(

)A．80 B．160C．320 D．640第二十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期六[答案]

C第二十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(2)(2015·郑州市质检)等差数列{an}的前7项和等于前2项和，若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.[答案]

6第二十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期六思路点拨由题设条件构造(an＋1－an)－(an－an－1)的值，并累加求和．第二十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第二十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第二十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期六拓展提高等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．第二十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．提醒：等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法，而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题中简单判断.

第二十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第二十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第三十页，共四十八页，编辑于2023年，星期六考向三等差数列的性质及应用例3

(1)(2014·重庆高考)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝(

)A．5 B．8C．10 D．14(2)(2015·武汉市联考)已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n是(

)A．18 B．19C．20 D．21第三十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第三十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期六[解析]

(1)由题意，得a1＋2d＋a1＋4d＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，解得d＝1，所以a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.故选B.(2)a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.第三十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期六(3)命题判断过程结论p1：数列{an}是递增数列由an＋1－an＝d>0，知数列{an}是递增数列.真命题p2：数列{nan}是递增数列由(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)(a1＋nd)－n[a1＋(n－1)d]＝a1＋2nd，仅由d>0是无法判断a1＋2nd的正负的，因而不能判定(n＋1)an＋1，nan的大小关系.假命题第三十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第三十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期六[答案]

(1)B

(2)C

(3)D

(4)5第三十六页，共四十八页，编辑于2023年，星期六拓展提高利用等差数列性质的常见题型与求解策略：第三十七页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第三十八页，共四十八页，编辑于2023年，星期六思想方法12函数思想在等差数列前n项和的最值中的应用典例在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．审题视角由a1＝20及S10＝S15可求得d，进而求得通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解．第三十九页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第四十页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第四十一页，共四十八页，编辑于2023年，星期六第四十二页，共四十八页，编辑于2023年，星期六方法点睛求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值．第四十三页，共四十八页，编辑于2023年，星期六即时突破已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________．第四十四页，共四十八页，编辑于2023年，星期六[答案]

110第四十五页，共四十八页，编辑于2023年，星期六[思维升华]【方法与技巧】1．等差数列的判断方法(1)定义法：an＋1－