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[例2-6]试用长除法求

的z反变换。解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列)*双边序列可分解为因果序列和左边序列。*应先展成部分分式再做除法。

4-Z)

4Z+Z+—Z+—Z+—Z+241311645164...16Z16Z-4Z24Z4Z-ZZZ-—Z—Z—Z-—Z—Z

2233314141444411655116...

Z-—)Z141+—Z+—Z+—Z14-1116-2164-3...Z-—14—14—14-—Z116-1—Z116-1—Z116-1-—Z164-2—Z164-2—Z164-2-——Z1256-3——Z1256-3... §4-4Z变换的基本性质和定理如果 则有：*即满足均匀性与叠加性；*收敛域为两者重叠部分。1.线性[例2-7]已知,求其z变换。解：2.序列的移位如果 则有：[例2-8]求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。3.Z域尺度变换(乘以指数序列)如果，则证明：4.序列的线性加权(Z域求导数)如果，则证明：5.共轭序列如果，则证明：6.翻褶序列如果，则证明：7.初值定理证明：8.终值定理证明：又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子（z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。9.有限项累加特性证明：10.序列的卷积和(时域卷积定理)

证明：[例2-9]解：11.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）[例2-10]解：

12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。（证明从略）如果则有:*几点说明：§4-5Z变换与拉氏变换、

傅氏变换的关系

一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设为连续信号，为其理想抽样信号，则序列x(n)的z变换为，考虑到,显然，当时，序列x(n)的z变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。2.Z变换与拉氏变换的关系(S、Z平面映射关系）S平面用直角坐标表示为：Z平面用极坐标表示为：又由于所以有：因此， ;这就是说，Z的模只与S的实部相对应,Z的相角只与S虚部Ω相对应。

=0,即S平面的虚轴

r=1,即Z平面单位圆；

σ→σσ<0,即S的左半平面r<1,即Z的单位圆内；→>0,即S的右半平面r>1,即Z的单位圆外。→j→00(1).r与σ的关系Ω=0，S平面的实轴， ω=0，Z平面正实轴；

Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线，ω=Ω0T,Z:始于

原点的射线；

Ω S:宽 的水平条带，ω整个z平面.0jIm[Z]Re[Z](2).ω与Ω的关系（ω=ΩT）ω二.Z变换和傅氏变换的关系连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即

我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ

的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此,

这就是说,（抽样）序列在单位圆上

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