高中数学对数与对数函数

高中数学对数与对数函数第一页，共四十三页，编辑于2023年，星期六1．对数的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作____________．2．对数的性质、换底公式与运算性质x＝logaN0

1

N

第二页，共四十三页，编辑于2023年，星期六第三页，共四十三页，编辑于2023年，星期六3.对数函数的定义、图象与性质定义函数

_________(a＞0且a≠1)叫做对数函数图象a＞10＜a＜1y＝logax第四页，共四十三页，编辑于2023年，星期六性质定义域：____________值域：_____________当x＝1时，y＝0，即过定点___________当0＜x＜1时，y＜0;当x＞1时，________.当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，____．在(0，＋∞)上为_________在(0，＋∞)上为___________(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1，0)y＞0y＜0增函数减函数第五页，共四十三页，编辑于2023年，星期六4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数

_________(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称．y＝logaxy＝x第六页，共四十三页，编辑于2023年，星期六1．如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系？你能得到什么规律？【提示】

作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．∴0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．第七页，共四十三页，编辑于2023年，星期六2．当对数logab的值为正数或负数时，a，b满足什么条件？【提示】

若logab＞0，则a，b∈(1，＋∞)或a，b∈(0，1)，简记为a，b在相同的区间内；若logab＜0，则a∈(1，＋∞)且b∈(0，1)或a∈(0，1)且b∈(1，＋∞)，简记为a，b在不同的区间内．第八页，共四十三页，编辑于2023年，星期六1．(人教A版教材习题改编)2log510＋log50.25＝(

)A．0 B．1 C．2 D．4【解析】

2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.【答案】

C第九页，共四十三页，编辑于2023年，星期六【解析】

由题意知f(x)＝logax，又f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x，故选D.【答案】

D第十页，共四十三页，编辑于2023年，星期六【答案】

D第十一页，共四十三页，编辑于2023年，星期六4．(2013·苏州模拟)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．第十二页，共四十三页，编辑于2023年，星期六5．(2012·北京高考)已知函数f(x)＝lgx，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________．【解析】

∵f(x)＝lgx，∴f(a2)＋f(b2)＝2lga＋2lgb＝2lgab.又f(ab)＝1，∴lgab＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.【答案】

2第十三页，共四十三页，编辑于2023年，星期六【思路点拨】

(1)根据乘法公式和对数运算性质进行计算；(2)将对数式化为指数式或直接代入求解．第十四页，共四十三页，编辑于2023年，星期六【尝试解答】

(1)法一∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.法二∵loga2＝m，loga3＝n，∴a2m＋n＝(am)2·an＝(aloga2)2·aloga3＝22×3＝12.第十五页，共四十三页，编辑于2023年，星期六第十六页，共四十三页，编辑于2023年，星期六1．对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常用到换底公式及其推论；在对含字母的对数式化简时必须保证恒等变形．2．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化．3．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化．第十七页，共四十三页，编辑于2023年，星期六第十八页，共四十三页，编辑于2023年，星期六第十九页，共四十三页，编辑于2023年，星期六第二十页，共四十三页，编辑于2023年，星期六A．(1，10)

B．(5，6)C．(10，12) D．(20，24)第二十一页，共四十三页，编辑于2023年，星期六第二十二页，共四十三页，编辑于2023年，星期六(2)作出f(x)的大致图象．不妨设a＜b＜c，因为a、b、c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，由函数的图象可知10＜c＜12，且|lga|＝|lgb|，因为a≠b，所以lga＝－lgb，可得ab＝1，所以abc＝c∈(10，12)，故选C.【答案】

(1)D

(2)C第二十三页，共四十三页，编辑于2023年，星期六1．解答本题(1)时，可假设一个图象正确，然后看另一个图象是否符合要求；对于本题(2)根据|lga|＝|lgb|得到ab＝1是解题的关键．2．对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解．3．一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．第二十四页，共四十三页，编辑于2023年，星期六(1)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝lgx，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(

)A．x2＜x3＜x1

B．x1＜x3＜x2C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1(2)(2012·皖南八校第三次联考)若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图2－6－2，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是(

)第二十五页，共四十三页，编辑于2023年，星期六【解析】

(1)在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线y＝a(a＜0)，易知x1＞x3＞x2，故选A.(2)由对数函数递减得0＜a＜1，且f(0)＝logab∈(0，1)⇒0＜a＜b＜1，所以函数g(x)单调递减，且g(0)＝a0＋b＝1＋b∈(1，2)．【答案】

(1)A

(2)B第二十六页，共四十三页，编辑于2023年，星期六【思路点拨】

(1)利用真数大于0构建不等式，但要注意分类讨论，(2)先由条件求出a的值，再讨论奇偶性和单调性．第二十七页，共四十三页，编辑于2023年，星期六第二十八页，共四十三页，编辑于2023年，星期六由于f(x)为奇函数，所以f(x)在(－∞，－5)内单调递减．

第二十九页，共四十三页，编辑于2023年，星期六1．利用对数函数的性质比较对数值大小：(1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理；(2)底数不同，真数相同的对数值的比较，可利用函数图象或比较其倒数大小来进行．(3)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中间量(如－1，0，1等)，再利用对数函数性质进行比较．2．利用对数函数性质研究对数型函数性质，要注意三点，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．第三十页，共四十三页，编辑于2023年，星期六

(2013·中山模拟)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a＞0，a≠1)，若f(x)＞1在区间[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．第三十一页，共四十三页，编辑于2023年，星期六第三十二页，共四十三页，编辑于2023年，星期六ab＝N⇔logaN＝b(a＞0，a≠1，N＞0)解决与对数有关的问题时：(1)务必先研究函数的定义域．(2)对数函数的单调性取决于底数a，应注意底数的取值范围．第三十三页，共四十三页，编辑于2023年，星期六对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化为同真数后利用图象比较．第三十四页，共四十三页，编辑于2023年，星期六从近两年高考看，对数函数是考查的重点，题型多为选择题、填空题，重点考查对数函数的图象和性质的应用，中等难度．预计2014年高考仍将以对数函数的性质为主要考点，考查解决问题的能力，分类讨论和数形结合等数学思想．第三十五页，共四十三页，编辑于2023年，星期六思想方法之四