极坐标与直角坐标互化

第2课时极坐标和直角坐标的互化【知识提炼】极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为

(x，y)，(ρ，θ).(1)极坐标化直角坐标：x=

ρcosθ

，y=

ρsinθ

.(2)直角坐标化极坐标：

ρ2=x_2+y2

，ytanθ=

x

(x≠0).1.已知点P(x，y)的直角坐标求极坐标中的极角(θ∈[0，2π))时需若x≠0，则利用tanθ=，θ∈[0，2π)确定极角.yx2

2要注意什么问题？提示：应先考查x是否等于0，若x=0，则点在y轴上，极角为p或3p；【典例1】点M的直角坐标是(下，求它的极坐标.3

，-1)，在ρ≥0，0≤θ<2π的条件【解析】因为点M的直角坐标是(

3

,-1)，所以在ρ≥0，0≤θ＜2π的条件下，332

2

-1

3r=

(

3

)

+

(-1)

=

2，tan

q

= =

-

，又因为点M是第四象限的角，所以q=11p．6所以点M的极坐标为(2,11p).63【巩固题组】1.已知点M的极坐标为(5,2p），那么将点M的极坐标化2

2

2

2成直角坐标为(

)A（.

-

5 3

,-

5

）

B（.

-

5 3

,

5

）2

2

2

2C（.

5

,

5 3

）

D（.

-

5

,

5 3

）【解析】选D.由点M的极坐标为(5,2p），3MM所以x3

2

3

2=

5cos

2p

=

-

5，y

=

5sin

2p

=

5 3

，所以M的直角坐标为

(-

5

,

5 3

）．2

2极坐标及直角坐标.【解析】点P关于极点的对称点P′到极点的距离仍为2，即ρ=2.又P与P′的极角间相差π+2kπ，k∈Z，32.若已知极坐标平面内的点P（2，-5p），求点P关于极点对称的点的3故q=-5p

+p+2kp，k

˛

Z，故P′的极坐标可以为（2，-2p），3由x

=2cos（-2p）=-1，y

=2sin（-2p）=-3，3

3故点P′的直角坐标为(-1，-3

).【典例2】已知A，B两点的极坐标为(6,p)和（8,4p），3

3求线段AB中点的直角坐标.3【解析】因为A点的极坐标为（6,p），AA所以x3

3=

6

·cos

p

=

3，y

=

6

·sin

p

=

3

3，2

22

2得所以A(3,

3 3

)，同理可得B(-4,

-4 3

)．设线段AB的中点为M(m，n)，由线段的中点坐标公式可m

=

-4

+

3

=

-

1，n

=

-4 3

+

3 3

=

-

3

，1

32

2所以线段AB中点的直角坐标为(-,-

).【延伸探究】1.（改变问法）试求线段AB中点的极坐标.【解析】方法一：因为A，B两点的极坐标为（6,p）和（8,4p），故A,B3

3两点在一条直线上，且到极点的距离分别为6,8，故AB中点到极点的距离为1，且在线段OB上，故AB中点的极坐标为(1,4p).32

2方法二：因为线段AB中点的直角坐标为（

-1

,-3

），2

2故r=(-1

)2

+（

-3

）2=1，tan

q

=

3，因为AB中点在第三象限，故q=4p，3故中点的极坐标为（1,4p）.32.（改变问法）试求直线AB的方程.即【解析】因为A点的极坐标为（6,p），3AA所以x3

3=

6

·cos

p

=

3，y

=

6

·sin

p

=

3

3，所以A(3,

3 3

)，3故直线AB的方程为y

-

3 3

=3

(x

-

3

，3x

-

y

=

0.又因为直线AB的倾斜角为p，故斜率k

=3，坐标为

.6【巩固题组】1.若点M的极坐标为(6，11p)，则点M关于y轴对称点的极【解析】点M的极坐标为(6，11p)，6所以点M的直角坐标为(3

3，-

3)，所以点M关于y轴对称点的直角坐标为(-3

3，-

3)，由r=

(-3

3)2

+

(-3)2

=

6，3tan

q=

-3

=-3

33

，又点

(-3

3，-

3)

位于第三象限.66故q=7p，则所求点的极坐标为(6，7p).6答案：(6，7p).3

62.在极坐标系中，已知

A(3，p)，和B(4，-

p),

求|AB|.32

2【解析】由点A的极坐标为

(3，p)，可得点A的直角坐标为

(

3，3 3

),同理点B的直角坐标为（2223，-2），则AB

=(3

-23)2

+

(3 3

+

2)2

=

5.规范解答综合利用极坐标与直角坐标的互化公式【典例】(10分)在极坐标系中，如果等边三角形ABC的两个顶点的极坐标分别为A(2，p)，B(2，5p)，且ρ≥0，θ∈［0，2π)，求：4

4(1)顶点C的极坐标.(2)三角形的面积.【规范解答】……………………2分(1)由公式x

=rcos

q，y

=

rsin

q，得点A(2，p)，B(2，5p)的直角坐标分别为A4

42，

2

，B

－

2，－

2

.设点C的直角坐标为(x，－x)，则即…………5分且

|

OC

|=

2tan

60

=

2

3，x2

+

(－x

)2

=

2

3，2

|

x

|=

2

3，解得x

=–6，故点C的直角坐标为

－

6，6

或6，－

6

.且ρ≥0，θ∈［0，2π)，…………8分(2)由上述，得三角形的边长为4，……………