2023年高考数学一轮复习(新高考)57：抛物线(含详解)

专题57：抛物线

精讲温故知新

一、抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直

线/叫做抛物线的准线.{M||加耳=点'1到直线/的距离}（一动三定）（注：定点F不在定直线上，否则

动点的轨迹是过定点F垂直于直线/的一条直线）（一焦一顶•轴一准无心，也叫无心圆锥曲线）；p是焦

点F到/的距离，〃越大开口越大，反之越小。

二.抛物线的几何性质：

图形4^里市

参数P几何意义参数P表示焦点到准线的距离，P越大，开口越阔.

开口方向右左上下

标准方程

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(〃>0)

焦点位置X正X负Y正丫负

焦点坐标

(1,0)（/,。）(o,g（。,-9

准线方程

x__£X_Ly=~—

2222

范围

x>O,yeRx<O,yeRy>O,xeRy<0,xe/?

对称轴X轴X轴Y轴Y轴

顶点坐标(0,0)

离心率e=l

通径2p

焦半径4（%,凹）AF^-x.+^-

12'21212

焦点弦长(乂+%)+〃一(乂+%)+〃

(%+x2)+p-(x)+x2)+p

三、焦点弦的相关性质：焦点、弦AB,ACx^y,）,B（x2,y2）,焦点F（5,0）

(1)若AB是抛物线)，2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，且凰西方)，3(%，%)，贝的

p2

枪二彳，

(2)若AB是抛物线丁=2»(p>0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a,则|人月__2r(a

sin2cc

#0)。

(3)已知直线AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点

(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.

(5)两个相切：①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.②过抛物线焦点弦的两端点向

准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

四、切线方程

五.直线与抛物线的位置关系

直线抛物线C:1y2=2",

y=kx+b

y=2",消y得：k2+2(kb-p)x+b2=0

(1)当k=0时，直线/与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

(2)当kWO时，

A>0,直线/与抛物线相交，两个不同交点；

△=0,直线/与抛物线相切，一个切点；

△V0,直线/与抛物线相离，无公共点。

(3)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)

六、相交弦AB的弦长

|AIB|—Jl+K|%[———Jl+k~yj(X]+%2)2—4%]%2——Jl+攵〜-：~~p或

|阴=J1+部一%l=%+%)2-4以必=Jl+/害

1+I

7o

七.点差法:设交点坐标为A（X|，X）,6（%2，%），代入抛物线方程，得y「=2〃X[y2=2px2

y-_2P

将两式相减，可得（y_%）（X+%）=2"（~一々）

xi-x2x+必

a.在涉及斜率问题时，kAB=---

y+必

b.在涉及中点轨迹问题时,设线段AB的中点为M（x0,y°），%二%=二£_=22=2，

Xi，y,+y22y0y0

即。

%

同理，对于抛物线Jr?=2py（p70）,若直线/与抛物线相交于A、8两点，点MO。，>。）是弦A8

的中点，则有&八8="殳=2丛=无

2P2pp

题型一：抛物线的定义

例L1.（2022•全国•高考真题（文））设尸为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点8（3,0）,

若|AF|=|3F|,贝lj|A5|=（）

A.2B.2A/2C.3D.3亚

举一反三

（2020・北京•高考真题）设抛物线的顶点为0,焦点为F,准线为/.P是抛物线上异于。的

一点，过P作P。，/于Q,则线段尸。的垂直平分线（）.

A.经过点0B.经过点P

C.平行于直线。尸D.垂直于直线。尸

题型二：求抛物线的标准方程

例2：（2021,全国•高考真题）已知。为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为尸，

户为C上一点，PE与x轴垂直，。为x轴上一点，HPQrOP,若|硝=6,则C的准线方

程为.

举一反三

1.（2020•全国•高考真题（理））已知A为抛物线C8=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点

的距离为12,到y轴的距离为9,则p=（）

A.2B.3C.6D.9

2.（2022•青海•海东市第一中学模拟预测（文））己知抛物线f在犬句处的切线

过点I2）,则该抛物线的焦点坐标为.题型三：抛物线的顶点、开口方向

例3：点M（5,3）到抛物线y=/的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是（）

，

A.x"=—1yB.厂2=—1yT或％2=----1y

121236

C.x2=-----yD.x2=\2y^x2=-36y

36

举一反三

1.（多选）关于抛物线y?=-2x,下列说法正确的是（）

A.开口向左B.焦点坐标为（-1,0）C.准线为x=lD.对称轴为x轴

2.抛物线>=公2的准线方程是y=l,则实数.

题型四：抛物线的对称性

例4：1.（2021,天津市南开区南大奥宇培训学校模拟预测）已知双曲线£-£=1（。>0力>0）

与抛物线V=4cx（其中c=庐不）交于A,8两点，若|A8|=4c,则双曲线的离心率为

()

A.百B.2C.D.V2+1

举一反三

1.（2022•陕西•汉台中学模拟预测（理））已知直线/过抛物线C：y2=lpx（p>0）的焦点,

且与抛物线C交于A,8两点，若使|/附=2的直线/有且仅有1条，则。=.

题型五：抛物线的范围

例5：1.（2022•北京平谷•二模）若抛物线产=2px（p>0）上任意一点到焦点的距离恒大于

1,则p的取值范围是（）

A.pVlB.p>lC.p<2D.p>2

举一反三

1.（2022・辽宁・大连市普兰店区高级中学模拟预测）抛物线E：f=4）,与圆区

x2+（y-l）'=16交于A,B两点，圆心“（0,1）,点P为劣弧AB上不同于A,8的一个动点,

平行于），轴的直线PN交抛物线于点N,贝DAPMN的周长的取值范围是.

题型六：抛物线的焦半径公式

例6：1.（2021•北京•高考真题）已知抛物线V=4x的焦点为F,点M在抛物线上，垂

直x轴与于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为；AMNF的面积为.

举一反三

1.（2022•黑龙江•鸡西市第四中学三模（理））已知抛物线C：/=2py（p>0）,圆O：/+y?=1.

⑴若抛物线C的焦点F在圆。上，且A为C和圆。的一个交点，求|AF|；

⑵若直线/与抛物线C和圆。分别相切于点M,N,求的最小值及相应p的值.

精练巩固提升

一、单选题

1.（2016•四川•高考真题（文））抛物线y2=4x的焦点坐标是

A.（0,2）B.（0,1）C.（2,0）D.（1,0）

2.（2022•河南安阳•模拟预测（理））已知抛物线C:y2=4x与圆E:（x-iy+y2=4交于A,

B两点，贝力"|=（）

A.2B.2>/2C.4D.4夜

3.（2022・山东师范大学附中模拟预测）已知。为坐标原点，抛物线x=的焦点为凡点

4

M在抛物线上，且|〃/|=3,则M点到x轴的距离为（）

47厂/-

A.2B.—C.2V3D.2V2

16

4.（2021•全国•高考真题）抛物线丁=2内5>0）的焦点到直线y=x+l的距离为正，则〃=

（）

A.1B.2C.2亚D.4

r22

5.（2015・天津•高考真题（理））已知双曲线会-方=1（〃>0,6>0）的一条渐近线过点

（2,73）,且双曲线的一个焦点在抛物线丁=4近尤的准线上，则双曲线的方程为

A.^-21=1B.片-旦=1C.=1D.^-Z=1

212828213443

6.（2022・江苏•模拟预测）已知抛物线>2=4x的焦点为F,过点尸的直线交抛物线于A,B

两点，延长尸8交准线于点C,分别过点4,B作准线的垂线，垂足分别记为M,N,若

\BC\=2\BN\,则尸M的面积为（）

A.B.4C.20D.2

7.（2016•全国•高考真题（文））设厂为抛物线C:y2=4x的焦点，曲线y=?左>0）与C交

于点P,P尸_Lx轴，贝!U=

13

A.-B.1C.-D.2

8.（2022•全国•模拟预测（理））已知尸为抛物线。:丫2=2〃*（/?>0）的焦点，A为C上任意

一点，且点A到点8（3,0）距离的最小值为2立.若直线过P交C于尸，。两点，且|PQI=8,

则线段P。中点的横坐标为（）

A.2B.3C.4D.6

二、多选题

9.（2022•江苏•南京外国语学校模拟预测）在平面直角坐标系X。），中，已知抛物线C：V=4x

的焦点为凡点P在抛物线C上，若△P4F为等腰三角形，则直线AP的斜率

可能为（）

A.逑B.一型C.1D.一逑

7523

10.（2022・湖南常德•一模）已知抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点尸到准线/的距离为2,则

（）

A.焦点尸的坐标为（1,0）

B.过点4-1,0）恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点

C.直线x+y-l=0与抛物线C相交所得弦长为8

D.抛物线C与圆工2+丁=5交于两点，则|MN|=4

三、填空题

11.（2022•湖北•模拟预测）已知抛物线yJ2px（p>0）,过其焦点F的直线/与其交与A、

B两点，|A尸|=3忸尸|=3,其准线方程为.

12.（2019•北京・高考真题（文））设抛物线），2=n的焦点为F,准线为/.则以F为圆心，且与

/相切的圆的方程为.

13.（2022•河南•平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知点尸是抛物线E:/=8x的焦

点，A,B,C为E上三点，且丽+而+京=0,^\FA\+\FB\+\FC\^.

14.(2018•全国•高考真题(理))已知点M(-1,1)和抛物线C：V=4x,过C的焦点且斜率

为女的直线与C交于A,B两点.若NAM8=90。，则左=.

四、解答题

15.(2021•全国•高考真题(文))已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点尸到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知。为坐标原点，点尸在C上，点Q满足m=9/，求直线OQ斜率的最大值.

16.(2022,全国•高考真题(理))设抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为几点。(p,0),过F

的直线交C于〃，N两点.当直线垂直于x轴时，|MF|=3.

(1)求C的方程；

⑵设直线与c的另一个交点分别为A,B,记直线MMAB的倾斜

角分别为a，£.当a一尸取得最大值时，求直线AB的方程.

专题57：抛物线

精讲温故知新

二、抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直

线/叫做抛物线的准线.{M||加耳=点'1到直线/的距离}（一动三定）（注：定点F不在定直线上，否则

动点的轨迹是过定点F垂直于直线/的一条直线）（一焦一顶•轴一准无心，也叫无心圆锥曲线）；p是焦

点F到/的距离，〃越大开口越大，反之越小。

二.抛物线的几何性质：

图形4^市

参数P几何意义参数P表示焦点到准线的距离，P越大，开口越阔.

开口方向右左上下

标准方程

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(〃>0)

焦点位置X正X负Y正丫负

焦点坐标

(1,0)（/,。）(o,g（。,-9

准线方程

x__£X_Ly=~—

2222

范围

x>O,yeRx<O,yeRy>O,xeRy<0,xe/?

对称轴X轴X轴Y轴Y轴

顶点坐标(0,0)

离心率e=l

通径2p

焦半径4（%,凹）AF^-x.+^-

12'21212

焦点弦长(乂+%)+〃一(乂+%)+〃

(%+x2)+p-(x)+x2)+p

三、焦点弦的相关性质：焦点、弦AB,ACx^y,）,B（x2,y2）,焦点F（5,0）

(1)若AB是抛物线)，2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，且凰西方)，3(%，%)，贝的

p2

枪二彳，

(2)若AB是抛物线丁=2»(p>0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为a,则|人月__2r(a

sin2cc

#0)。

(3)已知直线AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点

(4)焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径.

(5)两个相切：①以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.②过抛物线焦点弦的两端点向

准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

四、切线方程

五.直线与抛物线的位置关系

直线抛物线C:1y2=2",

y=kx+b

y=2",消y得：k2+2(kb-p)x+b2=0

(1)当k=0时，直线/与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

(2)当kWO时，

A>0,直线/与抛物线相交，两个不同交点；

△=0,直线/与抛物线相切，一个切点；

△V0,直线/与抛物线相离，无公共点。

(4)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)

六、相交弦AB的弦长

|AIB|—Jl+K|%[———Jl+k~yj(X]+%2)2—4%]%2——Jl+攵〜-：~~p或

|阴=J1+部一%l=%+%)2-4以必=Jl+/害

1+I

7o

七.点差法:设交点坐标为A（X|，X）,6（%2，%），代入抛物线方程，得y「=2〃X[y2=2px2

y-_2P

将两式相减，可得（y_%）（X+%）=2"（~一々）

xi-x2x+必

C.在涉及斜率问题时，kAB=---

y+必

d.在涉及中点轨迹问题时,设线段AB的中点为M（x0,y°），%二%=二£_=22=2，

Xi，y,+y22y0y0

即。

%

同理，对于抛物线Jr?=2py（p70）,若直线/与抛物线相交于A、8两点，点MO。，>。）是弦A8

的中点，则有&八8="殳=2丛=无

2P2pp

题型一：抛物线的定义

例L1.（2022•全国•高考真题（文））设尸为抛物线C：V=4x的焦点，点A在C上，点8（3,0）,

若|AF|=|3F|,贝lj|A5|=（）

A.2B.2A/2C.3D.3亚

【答案】B

【详解】由题意得，*1,0）,则卜耳=怛同=2,

即点A到准线x=-l的距离为2,所以点A的横坐标为-1+2=1,

不妨设点A在x轴上方，代入得，4（1,2）,

所以1=^（3-1）2+（0-2）2=2>/2.

故选：B

举一反三

（2020•北京♦高考真题）设抛物线的顶点为。，焦点为尸，准线为/.P是抛物线上异于。的

一点，过户作P。，/于。，则线段尸。的垂直平分线（）.

A.经过点0B.经过点P

C.平行于直线OPD.垂直于直线OP

【答案】B

【详解】如图所示

因为线段尸。的垂直平分线上的点到£Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，

\PQ\=\PF\,所以线段产。的垂直平分线经过点尸.故选：B.

题型二：求抛物线的标准方程

例2：(2021・全国•高考真题)已知。为坐标原点，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，

户为C上一点，尸尸与x轴垂直，。为x轴上一点，且PQLOP,若「。=6,则C的准线方

程为.

【答案】x=-13

【详解】抛物线c：y2=2px(2>0)的焦点《冬0),

为C上一点，PF与x轴垂直，

所以尸的横坐标为代入抛物线方程求得尸的纵坐标为土P,

不妨设P(5,P),

因为。为x轴上一点，且PQLOP,所以Q在尸的右侧，

又vl1=6,

ULW________

..。(6+5n,0),.，。=(6,一2)因为尸。，0尸，所以而•而=gnx6-p2=(),

p=3,

所以C的准线方程为x=-]3

3

故答案为：x=

举一反三

1.(2020•全国♦高考真题(理))已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点

的距离为12,到y轴的距离为9,则p=()

A.2B.3C.6D.9

【答案】C

【详解】设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|A用+^=12,即12=9+5,解得p=6.

故选：C.

2.（2022•青海•海东市第一中学模拟预测（文））已知抛物线/二⑥（〃＞0）在工=1处的切线

过点（2,|）,则该抛物线的焦点坐标为.

【答案】（。，；）

解：由题意得：

1o9

由/=“），可得y=求导可得;/=故切线斜率为上

aaa

i7

故切线方程为y-L=±（x_l）

aa

又因为该切线过点卜,。］,所以!」=2（2-1）,解得”2

I2/2aa

抛物线方程为f=2y,焦点坐标为

故答案为：（o'）

题型三：抛物线的顶点、开口方向

例3：点M（5,3）到抛物线丫=奴2的准线的距离为6,那么抛物线的标准方程是（）

121—21

A.x2=—yB.x=—y或r=------y

121236

C.x2=---yD.f=i2y或12=-36〉

36

【答案】D

【详解】将＞转化为f=ly.

'与。＞0时，抛物线开口向上，准线方程y=-1-,点M（5,3）到准线的距离为3+1=6,解

4。4a

得。=看,所以抛物线方程为y=A/，即x?=12y；

当”0时，抛物线开口向下，推线方程y=-点M（5,3）到准线的距离为3+；=6,解

4a4〃

得“=-3或（舍去），所以抛物线方程为y=-3/，即/=-36），.所以抛物线的方

程为f=12y或Y=一36＞故选：D

举一反三

1.（多选）关于抛物线V=_2x,下列说法正确的是（）

A.开口向左B.焦点坐标为（-1,0）C.准线为x=lD.对称轴为X轴

【答案】AD

【详解】对选项A,y2=-lx,开口向左，故A正确；

对选项B,/=-2x,焦点为故B错误；

对选项C,/=-2x,准线方程为x=；,故C错误：

对选项D,y2=-2x,对称轴为x轴，故D正确.

故选：AD

2.抛物线y=o?的准线方程是y=1,则实数。=.

【答案】」##-0.25

4

【详解】抛物线丫=62化为标准方程：x2=ly,

a

其准线方程是y=l，而f=-2x丁二y,a<0

（一2。）

所以；=1,即4=一1,

-4a4

故答案为：-二

题型四：抛物线的对称性

例4：1.（2021•天津市南开区南大奥宇培训学校模拟预测）已知双曲线1-1=1（。>08>0）

a2b~

与抛物线炉=4cx（其中c=7777）交于A,8两点，若|AB|=4c,则双曲线的离心率为

（）

A.73B.2C.y/5D.V2+1

【答案】D

【详解】根据对称性，设4在第一象限，8在第四象限，由|AB|=4c,知力=-丫0=2。，

代入到抛物线方程中，即（Ze?=4cx,解得巧=Xp=c，则将&C,2c）代入双曲线方程得

=l»化简得/一42-240=0，

解得离心率为&+1或I-正（舍）

故选：D

举一反三

1.（2022・陕西・汉台中学模拟预测（理））已知直线/过抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点,

且与抛物线C交于A,B两点,若使|阴=2的直线/有且仅有1条，则「=.

【答案】1

.【详解】焦点弦中，通径最短，所以若使|明=2的直线/有且仅有1条，则就是通径,

即2。=2,p=l.

故答案为：1

题型五：抛物线的范围

例5：1.（2022•北京平谷•二模）若抛物线y2=2px（p>0）上任意一点到焦点的距离恒大于

1,则P的取值范围是（）

A.p<lB.p>lC.p<2D.p>2

【答案】D

【详解】•••设P为抛物线的任意一点，

则P到焦点的距离等于到准线：的距离，

显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值］.

^>1,即p>2.故选：D.

举一反三

1.（2022•辽宁♦大连市普兰店区高级中学模拟预测）抛物线及V=4y与圆M：

j?+（y-l）2=16交于A,B两点，圆心点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点,

平行于y轴的直线PN交抛物线于点N,贝UAPMN的周长的取值范围是.

【答案】（8,10）

【详解】

如图，可得圆心加（0,1）也是抛物线的焦点，尸N交抛物线的准线于H,根据抛物线的定义，

可彳导MN=NH,故APMN的周K=MN+NP+MP=P”+4,

y

x2=4y

,解得BQ6,3),

x2+(y-l)=16

■/PH=yp+\,且3＜处＜5，PH的取值范围为（4,6）,PH+4e（8,10）,

.dMN的周长的取值范围为（8,10）.

故答案为：（8,10）.

题型六：抛物线的焦半径公式

例6：1.（2021•北京,高考真题）已知抛物线V=4x的焦点为尸，点〃在抛物线上，MN垂

直x轴与于点N.若日=6,则点M的横坐标为；AMNF的面积为

【答案】54行

【详解】因为抛物线的方程为V=4x,故。=2且尸（1,0）.

因为|MF|=6,%+5=6,解得/=5,故％=±2石，

所以S",W=?（5-1）X2石=4斯，

故答案为：5；4A/5.

举一反三

1.（2022•黑龙江•鸡西市第四中学三模（理））已知抛物线C：犬=2刀（〃>0），圆。：/+丁=1.

⑴若抛物线C的焦点厂在圆。上，且A为C和圆。的一个交点，求|人尸|；

（2）若直线/与抛物线C和圆。分别相切于点M,N,求|MN|的最小值及相应p的值.

［解析”1）由题意，得尸（0,1）,从而C：­=4）'.解方程组］，整理得，/-1=0,

解得以=石-2

所以=%+1

（2）设"（4,八）,由片、;/得>'=j故切线/的方程为丫=卷（》-%）+%,

注意到无：=2p)，(),故整理得xQx-py-pyo=0

由|QV|=1且ON口，即点。到切线/的距离等于1得-r===1

+P

所以I/%|=&+p2=J2py”p2,

整理，得。=与7且％2T>0，

%-I

所以=|OM『-1=X：+%2_[=2p%+y02

2

=4?。]+yj-1=4+—r—+y0-1^4+24

%-T%-1%2-i

当且仅当%=G时等号成立.

所以|脑V|的最小值为2近，此时p=当当=6.

精练巩固提升

一、单选题

1.(2016・四川•高考真题(文))抛物线y2=4x的焦点坐标是

A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：V=4x的焦点坐标为(1,0),故选D.

【考点】抛物线的性质

【名师点睛】本题考查抛物线的定义.解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解

析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定

要熟记掌握.

2.(2022•河南安阳•模拟预测(理))已知抛物线C:y2=4x与圆E:(x-1)2+V=4交于A,

B两点，贝”AB|=()

A.2B.2&C.4D.472

【答案】C

【解析】

【分析】

先联立抛物线与圆求出A,3横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.

【详解】

y2--4x

由对称性易得A,8横坐标相等且大于0,联立L,得f+2x-3=0,解得

（x-1）+/=4

%,=-3,x2=1,

则X，=XB=1,将x=l代入y?=4x可得y=±2,则|A8|=4.

故选：C.

3.（2022・山东师范大学附中模拟预测）已知。为坐标原点，抛物线x=!y2的焦点为R点

4

M在抛物线上，且|反丹=3,则M点到x轴的距离为（）

47厂厂

A.2B.—C.2V3D.2V2

16

【答案】D

【解析】

【分析】

设点M的坐标，由焦半径公式列出方程，求出点M的横坐标，从而求出纵坐标，得到答案.

【详解】

由题意得V=4x,所以准线为x=-l,

又因为IMF1=3,设点〃的坐标为（毛,%）,

则有|MF|=%+1=3,解得：/=2将々=2代入解析式V;以得：%=12夜，所以M

点到x轴的距离为2立.

故选：D.

4.（2021•全国•高考真题）抛物线V=2px（p>0）的焦点到直线y=x+l的距离为0,则。=

（）

A.1B.2C.2夜D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得P的值.

【详解】

抛物线的焦点坐标为（5,0）,

2-0+1

其到直线*-y+i=o的距离：d=2=正，

Vi+T—

解得：P=2（p=-6舍去）.

故选:B.

5.（2015・天津•高考真题（理））已知双曲线!■-£=l（a>0/>0）的一条渐近线过点

（2,73）,且双曲线的一个焦点在抛物线丁=4gx的准线上，则双曲线的方程为

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：双曲线的一条渐近线是y=乡*,则百=竺①，抛物线丁=4岳的准线是

aa

储=2

x=_不，因此c=J7,即片+b2=c2=7②，由①②联立解得石，所以双曲线方程

为工-匕=1.故选D.

43

考点：双曲线的标准方程.

6.（2022・江苏•模拟预测）己知抛物线丁=4x的焦点为尸，过点F的直线交抛物线于A,B

两点，延长FB交准线于点C,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别记为M,N,若

|BC|=2|BN|,则△加的面积为（）

A.B.4C.2百D.2

【答案】A

【解析】

【分析】

利用抛物线的定义结合条件可得ICF1=4,IAM|=4,进而可得.

【详解】

法-：由题意可知，P=2,则尸（1,0）,抛物线的准线方程为自线x=-l,

因为|BC|=2|8N|,

uG,jouicine8cl2gJBNI2

所以18cb2|8尸I,所以77；=”所以----=£，

\CF\3p3

48

所以|8N|Hwq=],\BC\=-9

所以|C尸1=4.

h.iyPlCFl所以21CF|44

1\AM\~\CA\''y-'\AM\~\CF\+\AF\~^\AF\~4+\AM\'

解得|AM|=4,所以|A尸|=4,点F到AM的距离为用万=2百，

所以S^AFM=—X4X2^3=4百.

法二:因为18cl=2|BN|,

所以|8Cb2|8F],所以N5CV=30。，即NC4M=60。.

连接尸M,^\AM\=\AF\,

所以zM/必为等边三角形.

易得|加=4,所以邛,42=4收

故选：A.

7.（2016•全国•高考真题（文））设F为抛物线C：V=4x的焦点，曲线>=勺4>0）与C交

于点P,PF_Lx轴，贝必=

13

A.-B.1C.-D.2

22

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：由抛物线的性质可得尸(l,2)ny=彳=2nZ=2,故选D.

考点：1,直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.

8.(2022・全国•模拟预测(理))已知尸为抛物线。:〉2=2°匹(0>0)的焦点，A为C上任意

一点，且点A到点B(3,0)距离的最小值为2&.若直线过F交C于尸，。两点，且|尸。|=8,

则线段PQ中点的横坐标为()

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】

【分析】

设A(x,y),由|A呼表示为关于*的函数，结合二次函数的性质可得P的值，利用弦长公式

即可得结果.【详解】

设A(x,y),则满足丁=2庶,

则=(X-3)~+y2=(x-3)~+2px

=(x_p+3y+9_(3-.J即当x=3-p时，的最小值为9_(3_p『=8,

解得p=2(舍负)，

即抛物线C:/=4x,焦点尸(1,0),

设P(xi，yj,Q6，％)，

则|尸。|=玉+毛+2=8,即玉+乡=6,

即线段尸。中点的横坐标为3,

故选：B.

二、多选题

9.（2022•江苏•南京外国语学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:/=4x

的焦点为F,点P在抛物线C上，若△PAF为等腰三角形，则直线AP的斜率

可能为（）

A4近R2石石D20

7523

【答案】AB

【解析】

【分析】

由抛物线的定义求得|AF|=',设尸（产,2f）,得到|PF|=r=百,分

|舞］=|同、|PF|=|网利|四|=|网,三种情况讨论，结合选项，即可求解.

【详解】

由题意，抛物线C：V=