
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文档简介
挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)
_________专题24以三角形为载体的几何综合问题
典例剖析.
【例1】(2022•山东枣庄•中考真题)已知AABC中,NACB=90。,AC=BC=4cm,点尸从
点A出发,沿AB方向以每秒或cm的速度向终点B运动,同时动点。从点B出发沿8c方
向以每秒1cm的速度向终点C运动,设运动的时间为1秒.
(1)如图①,若尸。_LBC,求f的值;
(2)如图②,将APQC沿BC翻折至△PQC,当,为何值时,四边形QPCP为菱形?
【答案】(1)当r=2时,PQLBC
(2)当f的值为[时,四边形QPCP为菱形
【分析】(1)根据勾股定理求出4B,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.
(2)作PD_LBC于D,「岳14。于七,证明出A4BC为直角三角形,进一步得出A4PE和APBD
为等腰直角三角形,再证明四边形PEC。为矩形,利用勾股定理在RMPCE、RMPCQ中,
结合四边形QPCP'为菱形,建立等式进行求解.
【详解】(1)解:(1)如图①,
图①
:/ACB=90。,AC=BC=4cm,
:.AB^>JAC2+BC2=V42+42=4近(cm),
由题意得,AP=y[2tcm,BQ=tcm,
则BP=(4>/2-V2r)cm,
PQLBC,
:.ZPQB=90°,
;・NPQB=NACB,
APfiHAC,
乙BPQ=Z.BAC
Y乙BQP=乙BCA'
-*.△BPQBAC,
,BPBQ
..—=—i
BABC
•.•4V2-xV2t-—t,
4迎4
解得:f=2,
.•.当r=2时,PQLBC.
(2)解:作PDIBC于。,PELAC^E,如图,
AP=V2t,BQ—tcm,(0<t<4)
vZ.C=90°,AC=BC=4cm.
A4BC为直角三角形,
Z.A=Z.B=45°.
△力PE和APB。为等腰直角三角形,
PE=AE=—AP=tcm,BD=PD,
2
ACE=AC-AE=(4—t)cm,
•・•四边形PECO为矩形,
・•・PD=EC=(4—t)cm,
:.BD=(4—t)cm,
.•・QD=BD-BQ=(4—2t)cm,
在RtZkPCE中,PC2=PE24-CE2=t2+(4-t)2,
在Rt△PDQ中,PQ2=PD2+DQ2=(4-t)24-(4-2t/,
•・•四边形QPCP'为菱形,
:・PQ=PC,
At2+(4-t)2=(4-t)2+(4-2t)2,
••・0=*三=4(舍去).
t的值为
【点睛】此题是相似形综合题,主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质,线段垂
直平分线的性质,用方程的思想解决问题是解本题的关键.
【例2】(2022•山东荷泽•中考真题)如图1,在△力BC中,4ABe=45。,4。18(?于点£),在
D4上取点E,使OE=DC,连接BE、CE.
图1图2图3
(1)直接写出CE与A8的位置关系;
(2)如图2,将ABED绕点D旋转,得到△B'E'D(点B',E'分别与点B,E对应),连接CE,、AB',
在ABED旋转的过程中CE'与4B'的位置关系与(1)中的CE与A8的位置关系是否一致?请
说明理由;
⑶如图3,当4BED绕点。顺时针旋转30。时,射线CE'与AD.分别交于点G、F,若CG=
FG,DC=点,求AB'的长.
【答案】(DCELAB,理由见解析
(2)一致,理由见解析
(3)573
【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得NABC=ND48=45。,ZDCE=ZDEC=ZA£W=45°,
可得结论;
(2)通过证明9WACCE"可得4DAB'=4DCE',由余角的性质可得结论;
(3)由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得力=714。,即可求解.
【详解】(1)如图,延长CE交A8于”,
ZABC=45°,AD1BC,
,NADC=NAO8=90°,ZABC=ZDAB=45°,
':DE=CD,
・・・ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°9
:.NBHC=NBAD+NAEH=90。,
:.CE±AB;
(2)在△BED旋转的过程中CE'与力夕的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系是一致
的,理由如下:
如图2,延长CE'交AB'于
图2
由旋转可得:CD=DE\B'D=AD,
ZADC=ZADB=90°f
:•乙CDE'=乙ADB\
・.CD_AD_1
"DE'~DBf~,
:.4ADB'-ACDE'.
Z.DAB'=ADCE',
,:Z.DCE'+ZDGC=90°,ZDGC=ZAGH,
:.ZDAB'+ZAGH=90°,
:.NA”C=90。,
•••CE'LAB';
(3)如图3,过点。作。见LAB'于点H,
图3
:△BED绕点。顺时针旋转30。,
."BOB'=30°,BD'=BD=AD,
•••/.ADB'=120°,/.DAB'=/.AB'D=30°,
"DHLAB',AD=B'D,
:.AD=2DH,AH=y[3DH=B'H,
•••AB'=y/3AD,
由(2)可知:4ADB'〜&CDE',
4DAB'=乙DCE,=30°,
':ADLBC,CD=®
:.DG=1,CG=2DG=2,
,CG=bG=2,
vZ.DAB'=30°,DH1AB',
;.4G=2GF=4,
:.AD=AG+DG=4+1=5,
:.AB'=WAD=5V3.
【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,旋转的性质,
相似三角形的判定和性质等知识,证明三角形相似是解题的关键.
【例3】(2022•山东济南・中考真题)如图1,AA8C是等边三角形,点。在AA8C的内部,
连接40,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60。,得到线段AE,连接BC,DE,CE.
4AA
(1)判断线段8。与CE的数量关系并给出证明;
(2)延长ED交直线BC于点F.
①如图2,当点尸与点8重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为;
②如图3,当点尸为线段8c中点,且EZ)=EC时,猜想NBA。的度数,并说明理由.
【答案】(1)BD=CE,理由见解析
(2)①BE=AE+CE;®Z.BAD=45°,理由见解析
【分析】(1)利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到AABD三△ACE(SAS),再由全等
三角形的性质求解;
(2)①根据线段AD绕点A按逆时针方向旋转60。得到4E得到△力DE是等边三角形,
由等边三角形的性质和(1)的结论来求解;②过点A作AG,EF于点G,连接AF,根据等
边三角形的性质和锐角三角函数求值得到4BAF=^DAG,空=空,进而得到^BAD八
ADAB
FAG,进而求出乙4DB=90。,结合8。=CE,ED=EC得到BC=A。,再用等腰宜角三角
形的性质求解.
(1)
解:BD=CE.
证明:是等边三角形,
:.AB=AC,^BAC=60°.
•.•线段4。绕点4按逆时针方向旋转60。得到4E,
:.AD=AE,/.DAE=60°,
:.Z.BAC=4DAE,
:.^BAC-Z.DAC=4DAE-ADAC,
即ZB40=/.CAE.
在△48。和△ACE中
(AB=AC
\z.BAD=Z.CAE,
IAD=AE
:.△ABD三△4CE(S4S),
:.BD=CE;
(2)
解:①BE=AE+CE
理由:;线段4。绕点A按逆时针方向旋转60。得到4E,
;.△ADE是等边三角形,
:.AD=DE=AE,
由(1)得BD=CE,
:.BE=DE+BD=AE+CE;
②过点A作4G1E产于点G,连接AR如下图.
•.•△/WE是等边三角形,AGIDE,
1
:.Z.DAG=-Z-DAE=30°,
2
=cosZ-DAG=—.
AD2
:△ABC是等边三角形,点尸为线段8C中点,
:・BF=CF,AF1BCABAF=-Z-BAC=30°,
f2
.•皆=cos血尸=今
:.Z.BAF=乙DAG,AG__AF
AD~AB9
:.^LBAF+Z.DAF=4DAG+/-DAF,
^Z.BAD=iFAG,
/.△BADFAG,
A£.ADB=£.AGF=90°.
•:BD=CE,ED=EC,
:.BD=ADf
即△ABD是等腰直角三角形,
:./LBAD=45°.
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,解直
角三角形,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,理解相关知识是解答
关键.
【例4】(2022.内蒙古鄂尔多斯.中考真题)在△A3C中,AB=AC,ZBAC=90°fAO是△ABC
的角平分线.
v
⑴如图1,点E、F分别是线段3£>、A。匕的点,B.DE=DF,AE与CF的延长线交于点M,
则AE与CF的数量关系是,位置关系是;
(2)如图2,点E、F分别在QB和DA的延长线上,且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.
①(1)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
②连接。M,求NEM。的度数;
③若。M=6&,ED=12,求EM的长.
【答案】(1)A£=CF,AELCF
(2)①成立,理由见解析;②45。;@6+6V3
【分析】(1)证明△AQE丝△CDF(SAS),由全等三角形的性质得出AE=CF,ND4E=
ADCF,由直角三角形的性质证出NEMC=90。,则可得出结论;
(2)①同(1)可证△4。“丝△COFCSAS),由全等三角形的性质得出AE=CF,ZE=
ZF,则可得出结论;
②过点。作。于点G,。/7,"1于点”,证明△。£6名4。尸”(445),由全等三角
形的性质得出DG=DH,由角平分线的性质可得出答案;
③由等腰直角三角形的性质求出GM的长,由勾股定理求出EG的长,则可得出答案.
(1);4B=4C,NB4C=9()o,A。是△ABC的角平分线,.•.4£>=BO=C£>,AO_LBC,二ZADE
=ZCDF=90°,XVDE=DF,.♦.△ADE丝△CD尸(SAS),:.AE=CF,NDAE=NDCF,
,:ZDAE+ZDEA=90°,:.ZDCF+ZDEA=90°,:.ZEMC=90°,:.AE1CF.故答案为:
AE=CF,AELCF;
(2)①(1)中的结论还成立,理由:同(1)可证△AQE丝△CQF(SAS),:.AE=CF,
NE=NF,VZF+Z£CF=90o,AZE+ZECF=90°,AZEMC=90°,:.AE±CFi②过
EBD
点。作£>G_LAE于点G,DHLCF于点H,图2":ZE^ZF,NDGE
=NDHF=90。,DE=DF,'△DEGm△DFH(AAS),:.DG=DH,又DHLCF,
.♦.DM平分/EMC,又I,/EMC=90。,,NEM£>=;/EMC=45。:③;NEMD=45。,NDGM
=90°,:.ZDMG^ZGDM,:.DG^GM,又YDM=6&:.DG^GM^6,":DE^12,:.EG
=y/ED2+DG2=V122+62=6>/3;.EM=GM+EG=6+6值.
【点睛】本题是三角形综合题,考杳了等腰直角三角形的性质,角平分线的性质,全等三角
形的判定与性质,勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
【例5】(2022•辽宁大连•中考真题)综合与实践
问题情境:
数学活动课上,王老师出示了一个问题:如图1,在AABC中,。是4B上一点,AADC=
Z.ACB.求证NACD=乙ABC.
独立思考:
(1)请解答王老师提出的问题.
实践探究:
(2)在原有问题条件不变的情况下,王老师增加下面的条件,并提出新问题,请你解答.“如
图2,延长C4至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点G,,分别在BF,BC上,
BG=CD,乙BGH=LBCF.在图中找出与相等的线段,并证明.”
问题解决:
(3)数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现,当NBAC=90。时,若给出△
ABC中任意两边长,则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求,该小组提出下面的问题,
请你解答.“如图3,在(2)的条件下,若NBAC=90。,4B=4,AC=2,求的长.”
【分析】(1)利用三角形的内角和定理可得答案;
(2)如图,在上截取BN=CF,证明△CEF三4BDN,再证明EF=DN/EFC=乙DNB,
证明△GHB=△CND,可得BH=DN,从而可得结论;
(3)如图,在8C上截取BN=CF,同理可得:BH=DN=EF,利用勾股定理先求解BC=
V224-42=2V5,证明△4DC〜△ZCB,可得4。=1,CD=V5,可得BG=CD=^5,证明△
BGHBCF,可得BF=2BH,而EF=GH,可得BE=3BH,再利用勾股定理求解BE,即
可得到答案.
【详解】证明:(1),.•乙4DC=Z.ACB./,A=乙4
而44CD=180°-/-A-/.ADC,^ABC=180°一一乙ACB,
・•.Z.ACD=乙ABC,
(2)BH=EFt理由如下:
如图,在8。上截取BN=CF,
・.・BD=CE,Z.ACD=Z-ABC,
・•・△CEF=△BDN,
・•・EF=DN/EFC=Z.DNB,
•・・乙BGH=(BCF,乙GBN=乙FBC,
・•・乙BHG=乙BFC,
♦:乙EFC=Z.BND,
BFC=LDNC,
:•乙BHG=Z.DNC,
•;BG=CD,
A△GHB=△CNDt
:.BH=DNf
・・・BH=EF.
(3)如图,在8c上截取BN=CF,
同理可得:BH=DN=EF,
••・BC=,22+42=2低
v乙DAC=Z.BAC,Z.ACD=Z.ABC,
ADCACB,
ADACCD
"AC~AB~BC'
AD2CD
"~=4=^'
AAD=1,CD=V5,
・•.BG=CD—y/5,
•・•(GBH=乙FBC,乙BGH=乙BCF,
**•△BGHBCF,
.BG_GH_BH_V5_1
••BC-CF-BF一2>/5-2*
・•・BF=2BH,而EF=GH,
・•・BE=3BH,
•・•AB=4fAD=ltBD=CE,
・・・BD=CE=3,
.-.AE=3-2=1,而/BAE=乙BAC=90。,
・•・BE=7AB2+g=V17,
V17
•**BH=———.
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用,全等三角形的判定与性质,勾股定理的
应用,相似三角形的判定与性质,作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键.
26.(2022・山东烟台・中考真题)
AA
图1图2图3
(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△AOE都是等边三角形,连接8。,CE.求证:BD=CE.
(2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,ZABC^ZADE=90°.连
接B。,CE.请直接写出差的值.
(3)【拓展提升】如图3,△ABC和△4OE都是直角三角形,/ABC=/AOE=90。,且嚣=禁
连接50,CE.
4
①求穿的值;
CE
②延长CE交8。于点凡交4B于点G.求sin/BFC的值.
【答案】(1)见解析
⑶①/
【分析】(1)证明△A4D丝从而得出结论;
(2)证明△84/5sZ\CAE,进而得出结果;
(3)①先证明△ABCs^AQE,再证得△C4£S/\540,进而得出结果;
②在①的基础上得出/ACE=/ABO,进而/BFC=/84C,进一步得出结果.
【详解】(1)证明::△ABC和ZV1QE都是等边三角形,
:.AD=AE,AB^AC,/D4E=NBAC=60。,
ZDAE-NBAE=NBAC-ZBAE,
:.NBAD=/CAE,
:.ABAD^/^CAE(SAS),
:.BD=CE:
(2)解:•.・△ABC和A4OE都是等腰直角三角形,
ADAD1
A—=—=ZDAE=ZBAC=45°
AEACV2f
:.ZDAE-ZBAE=ZBAC-/BAE,
:.ZBAD=ZCAE,
:./\BAD^^CAE,
BDAB142
二还=前=五=三;
(3)解:或=辞=京ZABC=ZADE=90°,
:./XABC^^ADE,
:.ZBAC=ZDAE,-=—=
ACAE5
;・NCAE=NBAD,
:.ACAE^/\BAD.
••-B-D=-A-D=一3;
CEAE5
②由①得:bCAEs△BAD,
:.ZACE=ZABDt
■:/AGC=/BGF,
:.ZBFC=ZBAC,
sinZBFC=-=-.
AC5
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性
质等知识,解决问题的关键是熟练掌握“手拉手''模型及其变形.
满分训练.
一、解答题【共20题】
1.(2022・安徽•合肥市五十中学新校二模)△ABC和△4DE都是等腰直角三角形,AABC=
Z.AED=90°,F是BD的中点,连接CF、EF.
(1)如图①,当点D、E分别是线段4C、48上的点时,求NEFC的度数;
(2)如图②,当点E是线段4c上的点时,求证:EF=CF;
(3)如图③,当点A、E、F共线且E是4尸的中点时,探究SABCF和SAABF之间的数量关系.
【答案】(l)NEFC=90°
⑵见解析
(3)SA4F8=2S4BFC
【分析】(1)由直角三角形的性质可求/FEB=NFBE,4FBC=4FCB,由等腰三角形的性
质可求解;
(2)由“角边角”可证△CEF三可得EF=FH,DE=BH,由等腰直角三角形的性
质可求解;
(3)通过证明4AFB-△ADC,可得乙4FB=Z.ADC=135°,S^AFB=2ShADC,即可求解.
【详解】(1)••NDEB=Z.DCB=90。,点尸是BD的中点,
ADF=BF=EF=CF,
乙FEB=乙FBE,Z.FBC=乙FCB,
乙EFC=乙EFD+Z.CFD=2乙EBF+2Z.CBF=2乙ABC,
•••△4BC是等腰直角三角形,
乙ABC=45°,
乙EFC=90°;
(2)如图2,延长EF交BC于点”,
图2
vZ.AED=乙DEC=/.ACB=90°,
••DEWBC,
•••4EDF=4CBF,
又DF=BF,Z.DFE=乙BFH,
DEF=△BHF,
・•・EF=FH,DE=BH,
•:AC=BC,
/.CE=CH,
又・・,ZECH=90。,EF=FH,
:.CF=EF;
(3)如图,连接CD,
A
图3
•・・£是4尸的中点,
・•.AE=EF,
•・・△ADE是等腰直角三角形,
•••/.DAE=^ADE=45°,乙DEF=90°,AE=DE=EF,
•••AEDF=4EFD=45°=4DAE,
A/.ADF=90°,AD=DF,
-.AF=V2AD,
是等腰直角三角形,
/.BAC=Z.DAF=45°,AB=垃AC,
/.DAC=/.BAF,—=—=y/2,
ACAD
•••△AFB~△ADC9
・•・/LAFB=Z-ADC=135°,S&AFB=2s△.℃,
・・.乙CDF=45。=乙AFD,
.-.AFnCD,
**•S〉ADC=S>DCF,
•・・?是8。的中点,
S^BCF=S&DCF=S^ADC,
S&AFB=2S〉BFC・
【点睛】本题是三角形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,
相似三角形的判定和性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.
2.(2022・上海・华东师范大学松江实验中学三模)如图所示,△BEF的顶点E在矩形4BCD对
角线4c的延长线上,8C=1,AB=a,4E与FB交于点G,连接4F,满足
其中4对应C,8对应凡F对应8
F.
⑴求证:Z.FAD=30°.
(2)若CE=/求tan/FEA的值.
【答案】(1)见解析
⑵竽
【分析】(1)由相似可得"AB=4BCE,再由矩形的性质得力0IBC,/.DAB=Z.ABC=90°,
从而可求得乙凡4。+4。48+4。4。=180。,则有4F/W=/B4C,即可求得乙凡4D的度数;
(2)结合(1)可求得4E=],再由相似的性质求得AF=36,即可求tcm/FEA的值.
(1)
•・•△ABFSACEB,
・•・Z.FAB=Z-BCE,
•・•四边形4BCD是矩形,
:.AD\\BC,^DAB=/.ABC=90°,
:.Z.DAC=Z.ACB,
v乙BCE+乙ACB=180°,
・•.Z.FAB+ADAC=180°,
^LFAD+乙DAB+Z.DAC=180°,
・•・/.FAD+90°+Z.DAC=180°,
/.Z.FAD+Z.DAC=90°,
•・,Z.DAB=90°,
・•・乙BAC+乙DAC=90°,
:.Z.FAD=Z.BAC»
在RtZkABC中,
.,E,“BC1V3
vtanZ-BAC=—==——,
ABW3
・・・LBAC=30°,
・・・乙FAD=30°;
(2)
由⑴得乙4BC=903ABAC=30%
:.AC=2BC=2x1=2,
I7
・・・AE=4。+CE=2+±々
33
ABFs^CEB,
.AF_AB
*'BC一CE'
即竺=%
1—
3
AF=3V3,
由(1)得:/.FAD+LDAC=90°,
贝此凡4E=90°,
在Rt△F4E中,tan4FEA=—=.
AE-7
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,解答的关键是结合
图形及相应的性质求得/凡4。=^BAC.
3.(2022•福建・厦门市翔安区教师进修学校(厦门市翔安区教育研究中心)模拟预测)(1)
问题发现:如图1,△力"与4CDE均为等腰直角三角形,44CB=乙DCE=90°,则线段AE、
8。的数量关系为,AE,B。所在直线的位置关系为;
(2)深入探究:在(1)的条件下,若点A,E,。在同一直线上,CM为AOCE中OE边上
的高,请判断乙4cB的度数及线段CM,AD,BD之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)4E=BD,AE1BD-,(2)^ADB=90°,AD=2CM+BD;理由见解析
【分析】(1)延长4E交8。于点从4H交BC于点O.只要证明A4CE三△BCD(SAS),即可
解决问题;
(2)由AACE三ABC。,结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质,即可解决问题.
【详解】解:(1)如图1中,延长4E交BD于点”,4H交BC于点O,
•."AACB^OAOCE均为等腰直角三角形,入4cB=Z.DCE=90。,
:.AC=BC,CD=CE,
:.Z.ACE+乙ECB=乙BCD+乙ECB=90°,
:.^ACE=乙BCD,
:.^ACE三ABCD(SAS),
:.AE=BD,乙CAE=^CBD,
VZC71E+Z.AOC=90°,Z.AOC=乙BOH,
:•乙BOH+乙CBD=90°,
=90°,
:.AE1BD.
故答案为:AE=BDfAE1BD.
(2)Z,ADB=90°,AD=2CM+BD;
理由如下:如图2中,
・・・△/。8和4QCE均为等腰直角三角形,Z.ACB=(DCE=90°,
/.ZCDE=ZCFD=45°,
:.^AEC=180°一乙CED=135°,
由(1)可知:^ACEw2BCD,
:.AE=BD,Z-BDC=Z-AEC=135°,
:.Z.ADB=乙BDC-Z.CDE=135°-45°=90°;
在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边OE上的高,
:.CM=DM=ME,
:.DE=2CM,
:.AD=DE+AE=2CM+BD.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键
是正确寻找全等三角形解决问题.
4.(2020•重庆市育才中学二模)(l)如图①,在四边形A8C。中,AB=A。,N8=/A。C=90。.E、
尸分别是3C、CQ上的点,且EF=BE+FD,探究图中NBAE、NFAD、NE4/之间的数量关
系.小王同学探究此问题的方法:延长尸。到点G,使。G=8£连接AG.先证明
△ABE^AADG.MilEAAEF^AAGF,可得出结论,他的结论应是.
【灵活运用】
、
(2)如图②,若在四边形A3CD中,AB=ADfZB+ZD=180°,FF分别是5C、CDk
的点.且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立?请说明理由.
【延伸拓展】
(3)如图③,在四边形ABC。中,ZABC+ZADC=ISO°,AB=AD.若点E在C8的延长线
上,点F在C。的延长线上,仍然满足EF=BE+F£>,请写出NE4F与ND48的数量关系,
并给出证明过程.
①②
【答案】ZBAE+ZFAD=ZEAF;仍成立,理由见详解:/.EAF=180°-|zD>4B
【分析】(1)延长尸。到点G,使DG=BE,连接AG,可判定AABEGZVIOG,进而得出
ZBAE=ZDAG,AE=AG,再判定可得出
ZEAF-ZGAF^ZDAG+ZDAF^ZBAE+ZDAF,据此得出结论;
(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定AABE丝△ACG,进而得出NB4E=ND4G,
AE=AG,再判定尸丝△4GF,可得出NE4F=NG4F=NOAG+NDAF=N8AE+/OAF;
(3)在QC延长线上取一点G,使得QG=8E,连接AG,先判定AAOG妾△A8E,再判定
△AE尸丝△AGF,得出/项E=N/=AG,最后根据/朋E+N"G+/G4E=360。,推导得到
2ZM£+ZDAB=360°,即可得出结论.
【详解】解:(1)ZBAE+ZFAD^ZEAF.理由:
如图1,延长到点G,使£>G=BE,连接AG,
G
图1
VZB=ZADF=90°,ZADG=ZADF=90°f
・•・N8=NAQG=90。,
又・・・AB=AD,
A/\ABE^/\ADG(SAS),
:・/BAE=/DAG,AE=AG,
':EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,
:.AAEF^/\AGF(SSS),
:.ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF;
故答案为:NBAE+NFAD=NEAF;
(2)仍成立,理由:
如图2,延长初到点G,使QG=8E,连接AG,
G
图2
VZB+Z^DF=180o,NAOG+/AOb=180。,
:.ZB=ZADGf
又TAB二AD,
•••△A8/ZL4DG(SAS),
:./BAE=/DAG,AE=AGf
・:EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AFf
:./\AEF^/\AGF(SSS),
ZEAF=ZGAF=ZDAG^ZDAF=ZBAE^-ZDAF;
⑶血尸=18。。-2g
证明:如图3,在QC延长线上取一点G,使得。G=BE,连接AG,
G
Ac/:\
E
图3
ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,
・•・/ADC=NABE,
又•・・AB=AD,
A(SAS),
:.AG=AEfNDAG=NBAE,
'/EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,
:.AAEF^/\AGF(SSS),
.'.ZME=ZMG,
*.•ZME+ZMG+ZGy4E=360°,
:.2ZFAE+(NGA5+NBAE)=360°,
:.2ZFAE+(NGAB+NOAG)=360°,
即2ZME+ZDAB=360°,
:.AEAF=1800--ADAB.
2
【点睛】本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综
合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等进行推
导变形.解题时注意:同角的补角相等.
5.(2022•北京市三帆中学模拟预测)已知四边形4BCO,〃=120°,ZC=60°,AB=AD,
CD#BC,AE是NBA。的角平分线,交射线BC于E,线段DC的延长线上取一点产使BE=DF,
直线EF,AB交于点G.
⑴补全图形;
(2)猜想AAEG的形状,并证明你的猜想;
(3)求AB与FG的数量关系.
【答案】(1)见解析
(2匕AEG是等边三角形,理由见解析
(3)FG=2AB,理由见解析
【分析】(I)根据要求画出图形即可;
(2)结论:AAEG是等边三角形;通过证明4E垂直平分线段。8,证得AAEC丝AAEB,再
证明40IEG,推出NG=90°,可得结论;
(3)结论:FG=2AB,过点4作AT||DF交EG于点T.证明四边形4DF7是平行四边形,推
出=再利用全等三角形的性质证明AC=7G,可得结论.
(1)
解:图形如图所示:
G
(2)
解:猜想△AEG是等边三角形.
理由如下:
如图,设AE交BD于点”,
."DAH=4BAH
在△4“。与
AD=AB
4DAH=/.BAH,
AH=AH
:.△AHD三△AHB(SAS),
."AHD=乙4HB=90°,DH=BH,
垂直平分线段D8,
•••ED=EB,
在A4E。和△AEB中,
ZD=AB
':\AE=AE,
DE=BE
...△4ED^Zk4EB(SSS),
:.^ADE=^ABE.
VDF=BE,DE=BE,
:.DE=DFt
"DEF=乙DFE,
:•(EDF+2乙DFE=180°.
VZD71F=120°,Z.DCB=60°,
在四边形ADCB中,
;乙DAB+Z.ABC+乙BCD+Z.CDA=360°,
:.^LABCZ.CDA=180°,
":乙ABC=LADE.
:.^ADE-V^LCDA=180°,
:.2乙ADC+乙EDF=180°,
ADC=CDFE,
:.AD\\EG,
・・・2G+4DAB=180°,
^Z.DAB=120°,
AzG=60°.
U:z-EAB=-z.DAB=60°,
2
:.Z.AEG=LEAG=NG=60%
,△力EG是等边三角形.
(3)
解:FG=2ABf理由如下:
证明:如图,过点A作||DF交EG于点7.
U:AD||FT,AT||DF,
,四边形4。/▼是平行四边形,
:.AD=FT,
u
:AB=ADf
:.AB=FT,
9:AT||DF,
:.^ATG=乙DFG,
■:4DFT=4DEF+乙EDF,^ADE=/.EDF+AADC=Z.EDF+乙DEF,
:.Z.ATG=Z.ADE,
':Z.DAE=4G=60°,AE=AG,
:.^AGT三△EAO(AAS),
:.TG=AD,
":AD=FT,AB=AD,
:.TG=AB,
:.FG=2AB.
【点睛】本题属于四边形综合题,考查了平行四边形的判定和性质,等边三角形的判定和性
质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中
考压轴题.
6.(2022•北京市第十九中学三模)如图,在△ABC中,/.ACB=90°,AC>BC,。是4B的
中点,F是BC延长线上一点,平移4B到尸H,线段FH的中垂线与线段C4的延长线交于点E,
连接EH、DE.
(1)连接CD,求证:/-BDC=2LDAC-,
(2)依题意补全图形,用等式表示线段DE,DF,E”之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)见解析
(2)图见解析,结论:DE2+DF2=EH2,理由见解析
【分析】(1)利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题;
(2)图形如图所示,结论:DE2+DF2=EH2,想办法证明NEDF=90。即可.
(1)
证明:连接CD.
vZ.ACB=90°,AD=DB,
CD=AD=DB,
■■Z.DAC=Z.DCA,
・•・Z.BDC=Z.DAC+Z.DCA=2/.DAC;
(2)
解:图形如图所示,结论:DE2+DF2=EH2.
理由:连接EF,AH,取FH的中点7,连接4T,DT,ET.
•・•点E在FH的垂直平分线上,
AEF=EH,
,:AD=DB,HT=TF,AB=FH,
.・・AD=FT=HT,
-ADWFH,
・・・四边形4UTD,四边形4DFT是平行四边形,
/.AHWDT,ATWDF,
・•・乙FDT=AATD=HAH,
AHWBF,
・•・Z.HAC=Z.ACB=90°,
vEH=EF,HT=FT,
・・・ET1FW,乙TEH=乙TEF,
・•・Z.EAH=乙ETH=90°,
・・・四边形4E,H,T四点共圆,
・・・dAH=乙TEH,
:.Z.FDT=乙FET,
・・.E,D,F,丁四点共圆,
・・.Z.EDF+乙ETF=180°,
・・・乙EDF=90°,
・・・DE2+DF2=EH2.
【点睛】本题考查作图-平移变换,直角三角形斜边上的中线的性质,等腰二角形的性质,
线段的垂直平分线的性质,平行四边形的判定与性质,圆周角的性质等知识,解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
7.(2022・安徽•合肥一六八中学模拟预测)知识呈现
图1图2图3
(1)如图1,在四边形力BCD中,4ABe与4ADC互余,我们发现四边形4BCC中这对互余的
角可进行拼合:先作再过点A作4E14D交DF于点E,连接EC后,易于发现CD,
DE,CE之间的数量关系是;
方法运用
(2)如图2,在四边形48co中,连接AC,NBAC=90。,点。是△4C0两边垂直平分线的交
点,连接。4,/-0AC=Z.ABC.
①求证:^ABC+Z.ADC=90°;
②连接BD,如图3,已知4D=m,DC=n,整=2,求8。的长(用含m,n的式子表示).
【答案】(1)CD2+DE2=CE2;(2)①详见解析;②BD="5旅+4十2
【分析】(1)利用勾股定理解决问题即可;
(2)①如图2中,连接OC,作△4DC的外接圆。。.利用圆周角定理以及三角形内角和定理,
即可解决问题;
②如图3中,在射线CC的下方作乙CDT=NABC,过点C作CT_LD7于7.利用相似三角形的性
质证明求出AT,可得结论.
【详解】(1)解:v/.ADC+/.ABC=90°,Z.ADF^Z.ABC,
:.“DE=4ADC+/.ADF=90°,
222
ACD+DE=CE.
故答案为:C£)2+DE2=CE2.
(2)①证明:如图2中,连接OC,作A/lDC的外接圆。0.
图2
•••点。是△ACD两边垂直平分线的交点,
.♦.点。是△4DC的外心,
・,・Z-AOC—2Z.ADC,
'-,OA=OC,
・・・Z,AOC+Z.OAC+Z-OCA=180°,Z.OAC=乙ABC,
・•・2Z.ADC+2乙48c=180°,
:.Z-ADC+乙ABC=90°.
②解:如图3中,在射线DC的下方作乙=过点C作CT_LDT于T.
v乙CTD=4CAB=90°,乙CDT=Z.ABC,
CTDs^CAB,
Z.DCT=Z.ACB,—,
CBCA
・・・也",乙DCB=LTCA,
CTCA
•,△DCBsxTCA,
.BD_CB
=,
ATCA
AB.
v—=2,
AC
■■■AC:BA:BC=CT:DT:CD=1:2:V5,
.-.BD=V5AT,
•••ZLADT=/.ADC+Z.CDT=/.ADC+乙ABC=90°,DT=—n,AD=m,
5
:.AT=yjAD2+DT2-Jm2+(^n)2-Jm2+|n2.
BD=V5m2+4n2.
【点睛】本题属于四边形综合题,考查了勾股定理,相似三角形的判定和性质,圆周角定理
等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用辅助圆解
决问题,属于中考压轴题
8.(2022・浙江宁波•一模)若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍,我们把这个三
角形叫做和谐三角形.
A
⑴己知A4BC是和谐三角形,AB=3,BC=4,请直接写出所有满足条件的4c的长;
(2)在AABC中AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2,连接AD,若△ABC为和谐三角形,
求AC的长;
(3)如图,在等腰A/IBC中4B=4C,。为4c的中点,且NOBC=N4E为AB上一点,满足
AE:E8=3:2,连接DE.求证:ZUED为和谐三角形.
【答案】⑴2或5或右
(2)4C的长为6;
(3)见解析.
【分析】(1)先确定出I<AC<7,再分三种情况,利用和谐三角形的定义求解即可;
(2)先求出2cAp<6,再分三种情况:①当AB+A£>=2BO时,AD^2BD-AB=0,不符
合题意;②当AB+8O=2A。时,\D=\(AB+BD)=3,过点A作4F_L8c于尸,利用勾
股定理求出。凡然后可求AC:③当8。+4。=248时,AD=2AB-BD=2^4-2=6,不符合
题意;
(3)设AE=6x,则EB=4x,进而表示出48=C=10x,4£)=C£)=5x,再判断出△ABC-△BDC,
得出比例式求出BD=BC=5y[2x,过点A作AM1BC于M,则BM=CM=^13C=^~,进
而求出4加=阻心过点。作OG_LBC于G,进而求出DG=—x,MG=—,BG=^^,
2444
过点£>作力于H,证明△4DH〜ABDG,可得券=鬻=需求出AH=六,DH=
乎x,再用勾股定理求出OE,即可得出结论.
4
(1)
解:根据三角形的三边关系得,l<AC<7,
,..△4BC是和谐三角形,
二①当AC+8C=2AB时,AC=2AB-BC=2^3-4=2,
②当AC+AB=26C时,AC=2BC-A8=2x4-3=5,
③当月8+8C=2AC时,AC=l(AB+BC)=|x(3+4)=|,
即满足条件的AC的长为:2或5或;;
(2)
解:在ZMBC中,AB=4,BC=8,
:.4<AC<\2,
在AACD中,CD=BC-BD=6,
•.•AB=4,BD=2,
根据三角形的三边关系得,2<AD<6,
4BD为和谐三角形,
,①当48+4。=28。时-,AD=2BD-AB=0,不符合题意;
②当A8+8£>=2Ao时,AD=|(AB+BD)x(4+2)=3,
如图,过点A作AF_LBC于R
在RS4DF中,AF2=AD2-DF2=9-DF2,
在RtAW中,AF2=AB2-BF2=16-(2+OF)2,
:.9-DF2=16-(2+DF)2,
:.DF^-,
4
rr135321
/.AF2=9-DF2=—,CF=6-
1644
在R(A4CF中,根据勾股定理得AC^yjAF2+CF2=J詈+答=6;
③当BZ)+AO=2AB时,AZ)=2AB-8C=2x4-2=6,不符合题意;
综上,AC的长为6;
(3)
证明:VAE:E8=3:2,
.•.设4E=6x,则EB=4尤,
:.AB^AE+EB=}Ox,
":AB=AC,
.•.AC=10x,
•.•点。为AC的中点,
."£>=CD=Uc=5x,
2
VZDBC=ZA,ZC=ZC,
△ABC—△BDC,
.AB_AC_BC
••--=,
BDBCDC
・BC
..-1-0-X-=--1-O-X-=一,
BDBC5x
:.BD=BC=S网,
如图,过点A作AM_L8C于M,
则BM=CM=;BC=婴,
根据勾股定理得,AM=>jAB2-BM2=旭x,
2
过点。作OGJ_3C于G,
ADGHAM,
△CDG~&CAM,
U:AD=CD,
:.CD=-AC,
2
:.DG=^AM=^-x,A/G=:CM=学,
4
过点。作DHLABTH,
・・・ZAHD=90°=ZBGD,
,:ZA=ZDBC,
:.^ADH〜ABDG,
9AD_AH_DH
''BD~BG~DGf
・5x_AH_PH
"Syf2x~15g_5mJ
15
・AU-八〃5A/7
..AH=—x,DH=——x,
44
g
:.EH=AE-AH=-x
4t
在RSDHE中,根据勾股定理得,DE=y/
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