2023年中考数学压轴题24以三角形为载体的几何综合问题（教师版含解析）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

_________专题24以三角形为载体的几何综合问题

典例剖析.

【例1】（2022•山东枣庄•中考真题）已知AABC中，NACB=90。，AC=BC=4cm,点尸从

点A出发，沿AB方向以每秒或cm的速度向终点B运动，同时动点。从点B出发沿8c方

向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为1秒.

（1）如图①，若尸。_LBC,求f的值；

（2）如图②，将APQC沿BC翻折至△PQC,当，为何值时，四边形QPCP为菱形？

【答案】（1）当r=2时，PQLBC

（2）当f的值为［时，四边形QPCP为菱形

【分析】（1）根据勾股定理求出4B,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.

（2）作PD_LBC于D,「岳14。于七，证明出A4BC为直角三角形，进一步得出A4PE和APBD

为等腰直角三角形，再证明四边形PEC。为矩形，利用勾股定理在RMPCE、RMPCQ中，

结合四边形QPCP'为菱形，建立等式进行求解.

【详解】（1）解：（1）如图①，

图①

：/ACB=90。，AC=BC=4cm,

：.AB^>JAC2+BC2=V42+42=4近(cm),

由题意得，AP=y[2tcm,BQ=tcm,

则BP=(4>/2-V2r)cm,

PQLBC,

：.ZPQB=90°,

；・NPQB=NACB,

APfiHAC,

乙BPQ=Z.BAC

Y乙BQP=乙BCA'

-*.△BPQBAC,

,BPBQ

..—=—i

BABC

•.•4V2-xV2t-—t,

4迎4

解得：f=2,

.•.当r=2时，PQLBC.

(2)解：作PDIBC于。，PELAC^E,如图,

AP=V2t,BQ—tcm,(0<t<4)

vZ.C=90°,AC=BC=4cm.

A4BC为直角三角形，

Z.A=Z.B=45°.

△力PE和APB。为等腰直角三角形，

PE=AE=—AP=tcm,BD=PD,

2

ACE=AC-AE=(4—t)cm,

•・•四边形PECO为矩形，

・•・PD=EC=(4—t)cm,

:.BD=(4—t)cm,

.•・QD=BD-BQ=(4—2t)cm,

在RtZkPCE中，PC2=PE24-CE2=t2+(4-t)2,

在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2=(4-t)24-(4-2t/,

•・•四边形QPCP'为菱形，

：・PQ=PC,

At2+(4-t)2=(4-t)2+(4-2t)2,

••・0=*三=4(舍去).

t的值为

【点睛】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂

直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键.

【例2】（2022•山东荷泽•中考真题）如图1,在△力BC中，4ABe=45。,4。18（?于点£）,在

D4上取点E,使OE=DC,连接BE、CE.

图1图2图3

（1）直接写出CE与A8的位置关系；

（2）如图2,将ABED绕点D旋转，得到△B'E'D（点B',E'分别与点B,E对应），连接CE，、AB',

在ABED旋转的过程中CE'与4B'的位置关系与（1）中的CE与A8的位置关系是否一致?请

说明理由；

⑶如图3,当4BED绕点。顺时针旋转30。时，射线CE'与AD.分别交于点G、F,若CG=

FG,DC=点,求AB'的长.

【答案】（DCELAB,理由见解析

（2）一致，理由见解析

（3）573

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得NABC=ND48=45。，ZDCE=ZDEC=ZA£W=45°,

可得结论；

（2）通过证明9WACCE"可得4DAB'=4DCE',由余角的性质可得结论；

（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得力=714。，即可求解.

【详解】（1）如图，延长CE交A8于”，

ZABC=45°,AD1BC,

，NADC=NAO8=90°,ZABC=ZDAB=45°,

'：DE=CD,

・・・ZDCE=ZDEC=ZAEH=45°9

：.NBHC=NBAD+NAEH=90。,

：.CE±AB；

(2)在△BED旋转的过程中CE'与力夕的位置关系与(1)中的CE与AB的位置关系是一致

的，理由如下：

如图2,延长CE'交AB'于

图2

由旋转可得：CD=DE\B'D=AD,

ZADC=ZADB=90°f

:•乙CDE'=乙ADB\

・.CD_AD_1

"DE'~DBf~，

：.4ADB'-ACDE'.

Z.DAB'=ADCE',

,：Z.DCE'+ZDGC=90°,ZDGC=ZAGH,

：.ZDAB'+ZAGH=90°,

：.NA”C=90。，

•••CE'LAB'；

(3)如图3,过点。作。见LAB'于点H,

图3

：△BED绕点。顺时针旋转30。，

."BOB'=30°,BD'=BD=AD,

•••/.ADB'=120°,/.DAB'=/.AB'D=30°,

"DHLAB',AD=B'D,

：.AD=2DH,AH=y[3DH=B'H,

•••AB'=y/3AD,

由(2)可知：4ADB'〜&CDE',

4DAB'=乙DCE，=30°,

'：ADLBC,CD=®

：.DG=1,CG=2DG=2,

，CG=bG=2,

vZ.DAB'=30°,DH1AB',

；.4G=2GF=4,

：.AD=AG+DG=4+1=5,

：.AB'=WAD=5V3.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，

相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键.

【例3】(2022•山东济南・中考真题)如图1,AA8C是等边三角形，点。在AA8C的内部,

连接40，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60。，得到线段AE,连接BC,DE,CE.

4AA

(1)判断线段8。与CE的数量关系并给出证明；

(2)延长ED交直线BC于点F.

①如图2,当点尸与点8重合时，直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为；

②如图3,当点尸为线段8c中点，且EZ)=EC时，猜想NBA。的度数，并说明理由.

【答案】(1)BD=CE,理由见解析

(2)①BE=AE+CE；®Z.BAD=45°,理由见解析

【分析】(1)利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到AABD三△ACE(SAS),再由全等

三角形的性质求解；

(2)①根据线段AD绕点A按逆时针方向旋转60。得到4E得到△力DE是等边三角形，

由等边三角形的性质和(1)的结论来求解；②过点A作AG，EF于点G,连接AF,根据等

边三角形的性质和锐角三角函数求值得到4BAF=^DAG,空=空，进而得到^BAD八

ADAB

FAG,进而求出乙4DB=90。，结合8。=CE,ED=EC得到BC=A。，再用等腰宜角三角

形的性质求解.

(1)

解：BD=CE.

证明：是等边三角形，

：.AB=AC,^BAC=60°.

•.•线段4。绕点4按逆时针方向旋转60。得到4E,

：.AD=AE,/.DAE=60°,

：.Z.BAC=4DAE,

：.^BAC-Z.DAC=4DAE-ADAC,

即ZB40=/.CAE.

在△48。和△ACE中

(AB=AC

\z.BAD=Z.CAE,

IAD=AE

：.△ABD三△4CE(S4S),

：.BD=CE；

(2)

解：①BE=AE+CE

理由：；线段4。绕点A按逆时针方向旋转60。得到4E,

；.△ADE是等边三角形，

：.AD=DE=AE,

由(1)得BD=CE,

：.BE=DE+BD=AE+CE；

②过点A作4G1E产于点G,连接AR如下图.

•.•△/WE是等边三角形，AGIDE,

1

：.Z.DAG=-Z-DAE=30°,

2

=cosZ-DAG=—.

AD2

:△ABC是等边三角形，点尸为线段8C中点，

:・BF=CF,AF1BCABAF=-Z-BAC=30°,

f2

.•皆=cos血尸=今

：.Z.BAF=乙DAG,AG__AF

AD~AB9

：.^LBAF+Z.DAF=4DAG+/-DAF,

^Z.BAD=iFAG,

/.△BADFAG,

A£.ADB=£.AGF=90°.

•：BD=CE,ED=EC,

：.BD=ADf

即△ABD是等腰直角三角形，

：./LBAD=45°.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直

角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答

关键.

【例4】（2022.内蒙古鄂尔多斯.中考真题）在△A3C中，AB=AC,ZBAC=90°fAO是△ABC

的角平分线.

v

⑴如图1,点E、F分别是线段3£＞、A。匕的点，B.DE=DF,AE与CF的延长线交于点M,

则AE与CF的数量关系是，位置关系是；

（2）如图2,点E、F分别在QB和DA的延长线上，且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.

①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；

②连接。M,求NEM。的度数；

③若。M=6&,ED=12,求EM的长.

【答案】（1）A£=CF,AELCF

（2）①成立，理由见解析；②45。；@6+6V3

【分析】（1）证明△AQE丝△CDF（SAS）,由全等三角形的性质得出AE=CF,ND4E=

ADCF,由直角三角形的性质证出NEMC=90。，则可得出结论；

（2）①同（1）可证△4。“丝△COFCSAS）,由全等三角形的性质得出AE=CF,ZE=

ZF,则可得出结论；

②过点。作。于点G,。/7，"1于点”，证明△。£6名4。尸”（445）,由全等三角

形的性质得出DG=DH,由角平分线的性质可得出答案；

③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案.

（1）；4B=4C,NB4C=9（）o,A。是△ABC的角平分线，.•.4£>=BO=C£>,AO_LBC,二ZADE

=ZCDF=90°,XVDE=DF,.♦.△ADE丝△CD尸（SAS）,：.AE=CF,NDAE=NDCF,

,：ZDAE+ZDEA=90°,：.ZDCF+ZDEA=90°,：.ZEMC=90°,：.AE1CF.故答案为：

AE=CF,AELCF；

（2）①（1）中的结论还成立，理由：同（1）可证△AQE丝△CQF（SAS）,：.AE=CF,

NE=NF,VZF+Z£CF=90o,AZE+ZECF=90°,AZEMC=90°,：.AE±CFi②过

EBD

点。作£>G_LAE于点G,DHLCF于点H,图2"：ZE^ZF,NDGE

=NDHF=90。,DE=DF,'△DEGm△DFH（AAS）,：.DG=DH,又DHLCF,

.♦.DM平分/EMC,又I,/EMC=90。，,NEM£>=；/EMC=45。：③；NEMD=45。,NDGM

=90°,：.ZDMG^ZGDM,：.DG^GM,又YDM=6&：.DG^GM^6,"：DE^12,：.EG

=y/ED2+DG2=V122+62=6>/3；.EM=GM+EG=6+6值.

【点睛】本题是三角形综合题，考杳了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角

形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

【例5】（2022•辽宁大连•中考真题）综合与实践

问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1,在AABC中，。是4B上一点，AADC=

Z.ACB.求证NACD=乙ABC.

独立思考：

（1）请解答王老师提出的问题.

实践探究：

（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.“如

图2,延长C4至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点G,，分别在BF,BC上，

BG=CD,乙BGH=LBCF.在图中找出与相等的线段，并证明.”

问题解决：

（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当NBAC=90。时，若给出△

ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，

请你解答.“如图3,在（2）的条件下，若NBAC=90。，4B=4,AC=2,求的长.”

【分析】(1)利用三角形的内角和定理可得答案；

(2)如图，在上截取BN=CF,证明△CEF三4BDN,再证明EF=DN/EFC=乙DNB,

证明△GHB=△CND,可得BH=DN,从而可得结论；

(3)如图，在8C上截取BN=CF,同理可得：BH=DN=EF,利用勾股定理先求解BC=

V224-42=2V5,证明△4DC〜△ZCB,可得4。=1,CD=V5,可得BG=CD=^5,证明△

BGHBCF,可得BF=2BH,而EF=GH,可得BE=3BH,再利用勾股定理求解BE,即

可得到答案.

【详解】证明：(1),.•乙4DC=Z.ACB./,A=乙4

而44CD=180°-/-A-/.ADC,^ABC=180°一一乙ACB,

・•.Z.ACD=乙ABC,

(2)BH=EFt理由如下：

如图，在8。上截取BN=CF,

・.・BD=CE,Z.ACD=Z-ABC,

・•・△CEF=△BDN,

・•・EF=DN/EFC=Z.DNB,

•・・乙BGH=(BCF,乙GBN=乙FBC,

・•・乙BHG=乙BFC,

♦:乙EFC=Z.BND,

BFC=LDNC,

:•乙BHG=Z.DNC,

•；BG=CD,

A△GHB=△CNDt

:.BH=DNf

・・・BH=EF.

(3)如图，在8c上截取BN=CF,

同理可得：BH=DN=EF,

••・BC=，22+42=2低

v乙DAC=Z.BAC,Z.ACD=Z.ABC,

ADCACB,

ADACCD

"AC~AB~BC'

AD2CD

"~=4=^'

AAD=1,CD=V5,

・•.BG=CD—y/5,

•・•（GBH=乙FBC,乙BGH=乙BCF,

**•△BGHBCF,

.BG_GH_BH_V5_1

••BC-CF-BF一2>/5-2*

・•・BF=2BH,而EF=GH,

・•・BE=3BH,

•・•AB=4fAD=ltBD=CE,

・・・BD=CE=3,

.-.AE=3-2=1,而/BAE=乙BAC=90。，

・•・BE=7AB2+g=V17,

V17

•**BH=———.

【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的

应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键.

26.（2022・山东烟台・中考真题）

AA

图1图2图3

(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△AOE都是等边三角形，连接8。，CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，ZABC^ZADE=90°.连

接B。，CE.请直接写出差的值.

(3)【拓展提升】如图3,△ABC和△4OE都是直角三角形，/ABC=/AOE=90。，且嚣=禁

连接50,CE.

4

①求穿的值；

CE

②延长CE交8。于点凡交4B于点G.求sin/BFC的值.

【答案】(1)见解析

⑶①/

【分析】(1)证明△A4D丝从而得出结论；

(2)证明△84/5sZ\CAE,进而得出结果；

(3)①先证明△ABCs^AQE,再证得△C4£S/\540,进而得出结果；

②在①的基础上得出/ACE=/ABO,进而/BFC=/84C,进一步得出结果.

【详解】(1)证明：:△ABC和ZV1QE都是等边三角形，

：.AD=AE,AB^AC,/D4E=NBAC=60。，

ZDAE-NBAE=NBAC-ZBAE,

:.NBAD=/CAE,

：.ABAD^/^CAE(SAS),

:.BD=CE：

(2)解：•.・△ABC和A4OE都是等腰直角三角形，

ADAD1

A—=—=ZDAE=ZBAC=45°

AEACV2f

：.ZDAE-ZBAE=ZBAC-/BAE,

：.ZBAD=ZCAE,

：./\BAD^^CAE,

BDAB142

二还=前=五=三；

(3)解:或=辞=京ZABC=ZADE=90°,

：./XABC^^ADE,

：.ZBAC=ZDAE,-=—=

ACAE5

；・NCAE=NBAD,

：.ACAE^/\BAD.

••-B-D=-A-D=一3;

CEAE5

②由①得：bCAEs△BAD,

：.ZACE=ZABDt

■:/AGC=/BGF,

：.ZBFC=ZBAC,

sinZBFC=-=-.

AC5

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手''模型及其变形.

满分训练.

一、解答题【共20题】

1.(2022・安徽•合肥市五十中学新校二模)△ABC和△4DE都是等腰直角三角形，AABC=

Z.AED=90°,F是BD的中点，连接CF、EF.

(1)如图①，当点D、E分别是线段4C、48上的点时，求NEFC的度数；

(2)如图②，当点E是线段4c上的点时，求证：EF=CF；

(3)如图③，当点A、E、F共线且E是4尸的中点时，探究SABCF和SAABF之间的数量关系.

【答案】(l)NEFC=90°

⑵见解析

(3)SA4F8=2S4BFC

【分析】(1)由直角三角形的性质可求/FEB=NFBE,4FBC=4FCB,由等腰三角形的性

质可求解；

(2)由“角边角”可证△CEF三可得EF=FH,DE=BH,由等腰直角三角形的性

质可求解；

(3)通过证明4AFB-△ADC,可得乙4FB=Z.ADC=135°,S^AFB=2ShADC,即可求解.

【详解】(1)••NDEB=Z.DCB=90。，点尸是BD的中点，

ADF=BF=EF=CF,

乙FEB=乙FBE,Z.FBC=乙FCB,

乙EFC=乙EFD+Z.CFD=2乙EBF+2Z.CBF=2乙ABC,

•••△4BC是等腰直角三角形，

乙ABC=45°,

乙EFC=90°；

(2)如图2,延长EF交BC于点”，

图2

vZ.AED=乙DEC=/.ACB=90°,

•­•DEWBC,

•••4EDF=4CBF,

又DF=BF,Z.DFE=乙BFH,

DEF=△BHF,

・•・EF=FH,DE=BH,

•:AC=BC,

/.CE=CH,

又・・,ZECH=90。，EF=FH,

:.CF=EF；

(3)如图，连接CD,

A

图3

•・・£是4尸的中点，

・•.AE=EF,

•・・△ADE是等腰直角三角形，

•••/.DAE=^ADE=45°,乙DEF=90°,AE=DE=EF,

•••AEDF=4EFD=45°=4DAE,

A/.ADF=90°,AD=DF,

-.AF=V2AD,

是等腰直角三角形，

/.BAC=Z.DAF=45°,AB=垃AC,

/.DAC=/.BAF,—=—=y/2,

ACAD

•••△AFB~△ADC9

・•・/LAFB=Z-ADC=135°,S&AFB=2s△.℃，

・・.乙CDF=45。=乙AFD,

.-.AFnCD,

**•S〉ADC=S>DCF，

•・・?是8。的中点，

S^BCF=S&DCF=S^ADC，

S&AFB=2S〉BFC・

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

2.（2022・上海・华东师范大学松江实验中学三模）如图所示，△BEF的顶点E在矩形4BCD对

角线4c的延长线上，8C=1,AB=a,4E与FB交于点G,连接4F,满足

其中4对应C,8对应凡F对应8

F.

⑴求证：Z.FAD=30°.

(2)若CE=/求tan/FEA的值.

【答案】(1)见解析

⑵竽

【分析】（1）由相似可得"AB=4BCE,再由矩形的性质得力0IBC,/.DAB=Z.ABC=90°,

从而可求得乙凡4。+4。48+4。4。=180。，则有4F/W=/B4C,即可求得乙凡4D的度数;

（2）结合（1）可求得4E=],再由相似的性质求得AF=36，即可求tcm/FEA的值.

（1）

•・•△ABFSACEB,

・•・Z.FAB=Z-BCE,

•・•四边形4BCD是矩形，

：.AD\\BC,^DAB=/.ABC=90°,

:.Z.DAC=Z.ACB,

v乙BCE+乙ACB=180°,

・•.Z.FAB+ADAC=180°,

^LFAD+乙DAB+Z.DAC=180°,

・•・/.FAD+90°+Z.DAC=180°,

/.Z.FAD+Z.DAC=90°,

•・,Z.DAB=90°,

・•・乙BAC+乙DAC=90°,

:.Z.FAD=Z.BAC»

在RtZkABC中，

.,E,“BC1V3

vtanZ-BAC=—==——，

ABW3

・・・LBAC=30°,

・・・乙FAD=30°；

（2）

由⑴得乙4BC=903ABAC=30%

:.AC=2BC=2x1=2,

I7

・・・AE=4。+CE=2+±々

33

ABFs^CEB,

.AF_AB

*'BC一CE'

即竺=%

1—

3

AF=3V3,

由（1）得：/.FAD+LDAC=90°,

贝此凡4E=90°,

在Rt△F4E中，tan4FEA=—=.

AE-7

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合

图形及相应的性质求得/凡4。=^BAC.

3.（2022•福建・厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）模拟预测）（1）

问题发现：如图1,△力"与4CDE均为等腰直角三角形，44CB=乙DCE=90°,则线段AE、

8。的数量关系为,AE,B。所在直线的位置关系为；

（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A,E,。在同一直线上，CM为AOCE中OE边上

的高，请判断乙4cB的度数及线段CM,AD,BD之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）4E=BD,AE1BD-,（2）^ADB=90°,AD=2CM+BD；理由见解析

【分析】（1）延长4E交8。于点从4H交BC于点O.只要证明A4CE三△BCD（SAS）,即可

解决问题；

（2）由AACE三ABC。，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题.

【详解】解：（1）如图1中，延长4E交BD于点”，4H交BC于点O,

•."AACB^OAOCE均为等腰直角三角形，入4cB=Z.DCE=90。,

：.AC=BC,CD=CE,

：.Z.ACE+乙ECB=乙BCD+乙ECB=90°,

：.^ACE=乙BCD,

：.^ACE三ABCD(SAS),

：.AE=BD,乙CAE=^CBD,

VZC71E+Z.AOC=90°,Z.AOC=乙BOH,

:•乙BOH+乙CBD=90°,

=90°,

：.AE1BD.

故答案为：AE=BDfAE1BD.

(2)Z,ADB=90°,AD=2CM+BD；

理由如下：如图2中，

・・・△/。8和4QCE均为等腰直角三角形，Z.ACB=（DCE=90°,

/.ZCDE=ZCFD=45°,

：.^AEC=180°一乙CED=135°,

由（1）可知：^ACEw2BCD,

：.AE=BD,Z-BDC=Z-AEC=135°,

：.Z.ADB=乙BDC-Z.CDE=135°-45°=90°；

在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边OE上的高，

：.CM=DM=ME,

：.DE=2CM,

：.AD=DE+AE=2CM+BD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键

是正确寻找全等三角形解决问题.

4.（2020•重庆市育才中学二模）（l）如图①,在四边形A8C。中,AB=A。，N8=/A。C=90。.E、

尸分别是3C、CQ上的点，且EF=BE+FD,探究图中NBAE、NFAD、NE4/之间的数量关

系.小王同学探究此问题的方法：延长尸。到点G,使。G=8£连接AG.先证明

△ABE^AADG.MilEAAEF^AAGF,可得出结论，他的结论应是.

【灵活运用】

、

（2）如图②，若在四边形A3CD中，AB=ADfZB+ZD=180°,FF分别是5C、CDk

的点.且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由.

【延伸拓展】

(3)如图③，在四边形ABC。中，ZABC+ZADC=ISO°,AB=AD.若点E在C8的延长线

上，点F在C。的延长线上，仍然满足EF=BE+F£>,请写出NE4F与ND48的数量关系，

并给出证明过程.

①②

【答案】ZBAE+ZFAD=ZEAF；仍成立，理由见详解：/.EAF=180°-|zD>4B

【分析】(1)延长尸。到点G,使DG=BE,连接AG,可判定AABEGZVIOG,进而得出

ZBAE=ZDAG,AE=AG,再判定可得出

ZEAF-ZGAF^ZDAG+ZDAF^ZBAE+ZDAF,据此得出结论；

(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定AABE丝△ACG,进而得出NB4E=ND4G,

AE=AG,再判定尸丝△4GF,可得出NE4F=NG4F=NOAG+NDAF=N8AE+/OAF；

(3)在QC延长线上取一点G,使得QG=8E,连接AG,先判定AAOG妾△A8E,再判定

△AE尸丝△AGF,得出/项E=N/=AG,最后根据/朋E+N"G+/G4E=360。，推导得到

2ZM£+ZDAB=360°,即可得出结论.

【详解】解：(1)ZBAE+ZFAD^ZEAF.理由：

如图1,延长到点G,使£>G=BE,连接AG,

G

图1

VZB=ZADF=90°,ZADG=ZADF=90°f

・•・N8=NAQG=90。，

又・・・AB=AD,

A/\ABE^/\ADG(SAS),

:・/BAE=/DAG,AE=AG,

'：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.AAEF^/\AGF(SSS),

:.ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

故答案为：NBAE+NFAD=NEAF；

(2)仍成立，理由：

如图2,延长初到点G,使QG=8E,连接AG,

G

图2

VZB+Z^DF=180o,NAOG+/AOb=180。，

：.ZB=ZADGf

又TAB二AD,

•••△A8/ZL4DG(SAS),

:./BAE=/DAG,AE=AGf

・：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AFf

：./\AEF^/\AGF(SSS),

ZEAF=ZGAF=ZDAG^ZDAF=ZBAE^-ZDAF；

⑶血尸=18。。-2g

证明：如图3,在QC延长线上取一点G,使得。G=BE,连接AG,

G

Ac/:\

E

图3

ZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

・•・/ADC=NABE,

又•・・AB=AD,

A(SAS),

：.AG=AEfNDAG=NBAE,

'/EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.AAEF^/\AGF(SSS),

.'.ZME=ZMG,

*.•ZME+ZMG+ZGy4E=360°,

：.2ZFAE+(NGA5+NBAE)=360°,

：.2ZFAE+(NGAB+NOAG)=360°,

即2ZME+ZDAB=360°,

：.AEAF=1800--ADAB.

2

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综

合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推

导变形.解题时注意：同角的补角相等.

5.(2022•北京市三帆中学模拟预测)已知四边形4BCO,〃=120°,ZC=60°,AB=AD,

CD#BC,AE是NBA。的角平分线，交射线BC于E,线段DC的延长线上取一点产使BE=DF,

直线EF,AB交于点G.

⑴补全图形；

(2)猜想AAEG的形状，并证明你的猜想;

(3)求AB与FG的数量关系.

【答案】(1)见解析

(2匕AEG是等边三角形，理由见解析

(3)FG=2AB,理由见解析

【分析】(I)根据要求画出图形即可；

(2)结论：AAEG是等边三角形；通过证明4E垂直平分线段。8,证得AAEC丝AAEB,再

证明40IEG,推出NG=90°,可得结论；

(3)结论：FG=2AB,过点4作AT||DF交EG于点T.证明四边形4DF7是平行四边形，推

出=再利用全等三角形的性质证明AC=7G,可得结论.

(1)

解：图形如图所示：

G

(2)

解：猜想△AEG是等边三角形.

理由如下：

如图，设AE交BD于点”，

."DAH=4BAH

在△4“。与

AD=AB

4DAH=/.BAH,

AH=AH

：.△AHD三△AHB(SAS),

."AHD=乙4HB=90°,DH=BH,

垂直平分线段D8,

•••ED=EB,

在A4E。和△AEB中，

ZD=AB

'：\AE=AE,

DE=BE

...△4ED^Zk4EB(SSS),

：.^ADE=^ABE.

VDF=BE,DE=BE,

：.DE=DFt

"DEF=乙DFE,

:•(EDF+2乙DFE=180°.

VZD71F=120°,Z.DCB=60°,

在四边形ADCB中，

;乙DAB+Z.ABC+乙BCD+Z.CDA=360°,

：.^LABCZ.CDA=180°,

":乙ABC=LADE.

：.^ADE-V^LCDA=180°,

：.2乙ADC+乙EDF=180°,

ADC=CDFE,

：.AD\\EG,

・・・2G+4DAB=180°,

^Z.DAB=120°,

AzG=60°.

U：z-EAB=-z.DAB=60°,

2

：.Z.AEG=LEAG=NG=60%

，△力EG是等边三角形.

(3)

解：FG=2ABf理由如下：

证明：如图，过点A作||DF交EG于点7.

U：AD||FT,AT||DF,

，四边形4。/▼是平行四边形,

：.AD=FT,

u

：AB=ADf

：.AB=FT,

9：AT||DF,

：.^ATG=乙DFG,

■:4DFT=4DEF+乙EDF,^ADE=/.EDF+AADC=Z.EDF+乙DEF,

：.Z.ATG=Z.ADE,

'：Z.DAE=4G=60°,AE=AG,

：.^AGT三△EAO(AAS),

：.TG=AD,

"：AD=FT,AB=AD,

：.TG=AB,

：.FG=2AB.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性

质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中

考压轴题.

6.(2022•北京市第十九中学三模)如图，在△ABC中，/.ACB=90°,AC>BC,。是4B的

中点，F是BC延长线上一点，平移4B到尸H,线段FH的中垂线与线段C4的延长线交于点E,

连接EH、DE.

(1)连接CD，求证：/-BDC=2LDAC-,

(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE,DF,E”之间的数量关系，并证明.

【答案】(1)见解析

(2)图见解析，结论：DE2+DF2=EH2,理由见解析

【分析】(1)利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题；

(2)图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2,想办法证明NEDF=90。即可.

(1)

证明：连接CD.

vZ.ACB=90°,AD=DB,

CD=AD=DB,

■■Z.DAC=Z.DCA,

・•・Z.BDC=Z.DAC+Z.DCA=2/.DAC；

(2)

解：图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2.

理由：连接EF,AH,取FH的中点7,连接4T,DT,ET.

•・•点E在FH的垂直平分线上，

AEF=EH,

,:AD=DB,HT=TF,AB=FH,

.・・AD=FT=HT,

-ADWFH,

・・・四边形4UTD,四边形4DFT是平行四边形，

/.AHWDT,ATWDF,

・•・乙FDT=AATD=HAH,

AHWBF,

・•・Z.HAC=Z.ACB=90°,

vEH=EF,HT=FT,

・・・ET1FW,乙TEH=乙TEF,

・•・Z.EAH=乙ETH=90°,

・・・四边形4E,H,T四点共圆，

・・・dAH=乙TEH,

:.Z.FDT=乙FET,

・・.E,D,F,丁四点共圆，

・・.Z.EDF+乙ETF=180°,

・・・乙EDF=90°,

・・・DE2+DF2=EH2.

【点睛】本题考查作图-平移变换，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰二角形的性质，

线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，圆周角的性质等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

7.(2022・安徽•合肥一六八中学模拟预测)知识呈现

图1图2图3

(1)如图1,在四边形力BCD中，4ABe与4ADC互余，我们发现四边形4BCC中这对互余的

角可进行拼合：先作再过点A作4E14D交DF于点E,连接EC后，易于发现CD,

DE,CE之间的数量关系是；

方法运用

(2)如图2,在四边形48co中，连接AC,NBAC=90。，点。是△4C0两边垂直平分线的交

点，连接。4,/-0AC=Z.ABC.

①求证：^ABC+Z.ADC=90°；

②连接BD,如图3,已知4D=m,DC=n,整=2,求8。的长(用含m,n的式子表示).

【答案】(1)CD2+DE2=CE2；(2)①详见解析；②BD="5旅+4十2

【分析】(1)利用勾股定理解决问题即可；

(2)①如图2中，连接OC,作△4DC的外接圆。。.利用圆周角定理以及三角形内角和定理，

即可解决问题；

②如图3中，在射线CC的下方作乙CDT=NABC,过点C作CT_LD7于7.利用相似三角形的性

质证明求出AT,可得结论.

【详解】(1)解：v/.ADC+/.ABC=90°,Z.ADF^Z.ABC,

：.“DE=4ADC+/.ADF=90°,

222

ACD+DE=CE.

故答案为：C£)2+DE2=CE2.

(2)①证明：如图2中，连接OC,作A/lDC的外接圆。0.

图2

•••点。是△ACD两边垂直平分线的交点,

.♦.点。是△4DC的外心，

・，・Z-AOC—2Z.ADC,

'-,OA=OC,

・・・Z,AOC+Z.OAC+Z-OCA=180°,Z.OAC=乙ABC,

・•・2Z.ADC+2乙48c=180°,

:.Z-ADC+乙ABC=90°.

②解：如图3中，在射线DC的下方作乙=过点C作CT_LDT于T.

v乙CTD=4CAB=90°,乙CDT=Z.ABC,

CTDs^CAB,

Z.DCT=Z.ACB,—,

CBCA

・・・也"，乙DCB=LTCA,

CTCA

•,△DCBsxTCA,

.BD_CB

=，

ATCA

AB.

v—=2,

AC

■■■AC：BA：BC=CT：DT：CD=1：2：V5,

.-.BD=V5AT,

•••ZLADT=/.ADC+Z.CDT=/.ADC+乙ABC=90°,DT=—n,AD=m,

5

:.AT=yjAD2+DT2-Jm2+(^n)2-Jm2+|n2.

BD=V5m2+4n2.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解

决问题，属于中考压轴题

8.(2022・浙江宁波•一模)若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三

角形叫做和谐三角形.

A

⑴己知A4BC是和谐三角形，AB=3,BC=4,请直接写出所有满足条件的4c的长；

(2)在AABC中AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2,连接AD,若△ABC为和谐三角形,

求AC的长；

(3)如图，在等腰A/IBC中4B=4C,。为4c的中点，且NOBC=N4E为AB上一点，满足

AE:E8=3:2,连接DE.求证：ZUED为和谐三角形.

【答案】⑴2或5或右

(2)4C的长为6；

(3)见解析.

【分析】(1)先确定出I<AC<7,再分三种情况，利用和谐三角形的定义求解即可；

(2)先求出2cAp<6,再分三种情况：①当AB+A£>=2BO时，AD^2BD-AB=0,不符

合题意；②当AB+8O=2A。时，\D=\(AB+BD)=3,过点A作4F_L8c于尸，利用勾

股定理求出。凡然后可求AC：③当8。+4。=248时，AD=2AB-BD=2^4-2=6,不符合

题意；

(3)设AE=6x,则EB=4x,进而表示出48=C=10x,4£)=C£)=5x,再判断出△ABC-△BDC,

得出比例式求出BD=BC=5y[2x,过点A作AM1BC于M,则BM=CM=^13C=^~,进

而求出4加=阻心过点。作OG_LBC于G,进而求出DG=—x,MG=—,BG=^^,

2444

过点£>作力于H,证明△4DH〜ABDG,可得券=鬻=需求出AH=六，DH=

乎x,再用勾股定理求出OE,即可得出结论.

4

(1)

解：根据三角形的三边关系得，l<AC<7,

,..△4BC是和谐三角形，

二①当AC+8C=2AB时，AC=2AB-BC=2^3-4=2,

②当AC+AB=26C时，AC=2BC-A8=2x4-3=5,

③当月8+8C=2AC时，AC=l(AB+BC)=|x(3+4)=|,

即满足条件的AC的长为：2或5或;；

(2)

解：在ZMBC中，AB=4,BC=8,

：.4<AC<\2,

在AACD中，CD=BC-BD=6,

•.•AB=4,BD=2,

根据三角形的三边关系得，2<AD<6,

4BD为和谐三角形，

，①当48+4。=28。时-，AD=2BD-AB=0,不符合题意；

②当A8+8£>=2Ao时，AD=|(AB+BD)x(4+2)=3,

如图，过点A作AF_LBC于R

在RS4DF中，AF2=AD2-DF2=9-DF2,

在RtAW中,AF2=AB2-BF2=16-(2+OF)2,

：.9-DF2=16-(2+DF)2,

：.DF^-,

4

rr135321

/.AF2=9-DF2=—,CF=6-

1644

在R(A4CF中，根据勾股定理得AC^yjAF2+CF2=J詈+答=6；

③当BZ)+AO=2AB时，AZ)=2AB-8C=2x4-2=6,不符合题意；

综上，AC的长为6；

(3)

证明：VAE：E8=3：2,

.•.设4E=6x,则EB=4尤，

：.AB^AE+EB=}Ox,

"：AB=AC,

.•.AC=10x,

•.•点。为AC的中点，

."£>=CD=Uc=5x,

2

VZDBC=ZA,ZC=ZC,

△ABC—△BDC,

.AB_AC_BC

••--=,

BDBCDC

・BC

..-1-0-X-=--1-O-X-=一,

BDBC5x

:.BD=BC=S网,

如图，过点A作AM_L8C于M,

则BM=CM=；BC=婴，

根据勾股定理得，AM=>jAB2-BM2=旭x,

2

过点。作OGJ_3C于G,

ADGHAM,

△CDG~&CAM,

U：AD=CD,

：.CD=-AC,

2

：.DG=^AM=^-x,A/G=：CM=学，

4

过点。作DHLABTH,

・・・ZAHD=90°=ZBGD,

,:ZA=ZDBC,

：.^ADH〜ABDG,

9AD_AH_DH

''BD~BG~DGf

・5x_AH_PH

"Syf2x~15g_5mJ

15

・AU-八〃5A/7

..AH=—x,DH=——x,

44

g

：.EH=AE-AH=-x

4t

在RSDHE中，根据勾股定理得，DE=y/