非线性理论第二章

非线性理论第二章第一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六

第二章分形理论基础

第二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六本章主要内容分形的起源分形的定义维数与规则分形容量维数与信息维数自然界的分形与计算机产生分形的方法产生分形的物理模型第三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六整数维（拓扑维或传统的维数）点——零维线——一维面——二维

体——三维

整数维第四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六规则分形

许多数学家从纯数学兴趣出发，构造出一批自相似的几何图形：科赫曲线采用分形理论分析，看出这些图形与正规几何图形之间存在直接联系。第五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六柯赫曲线（1）科赫曲线科赫曲线是具有相似结构的弯曲线段。将长度为1的直线段三等分，保留两侧，将中间一段改成夹角60度的两个等长直线。再将上次操作的四段边长1/3的线段三等分，每段长度为1/9，也将中间一段改成夹角60度的两直线。操作进行下去，得一条有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。第六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六长度的测量

Length(n=0)=1Length(n=1)=4/3Length(n=2)=16/9…………Length=lim(Length(n))=lim(4/3)n=∞第七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六面积的测量

Area(n1)=(1╳√3/6)/2=√3/12

Area(n2)=√3/12╳(4/9)Area(n3)=√3/12╳(4/9)2…………Area(n)=lim(√3/12╳(4/9)n)=0

第八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六Koch曲线在一维欧氏空间中的度量为∞Koch曲线在二维欧氏空间中的面积为0Koch曲线在传统欧氏空间中不可度量第九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六人类生活的世界是一个极其复杂的世界:例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、蜿蜒曲折的海岸线等等，都表现了客观世界丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法第十页，共六十四页，编辑于2023年，星期六分形的起源

“分形”是由美国曼德勃罗特（Mandelbrot)在1975年首次提出，其原义是“不规则的、分数的、支离破碎的”物体。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。

“分形理论”初步形成的标志是由Mandelbrot分别在1977年著“分形：形态、偶然性和维”及1982年著“自然界的分形几何学”。第十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六

分形理论的创始人曼德布罗特(Mandelprot)曾说过：“浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的，闪电永不会沿直线行进”，说的就是人们一般不应以简单的、理想的体系去对待实际体系。

第十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六自相似性大自然中存在的不规则的物体，可能存在不同尺度上的相似性，称为自相似性,即

-某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度看都是相似的-指某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。第十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六自相似（1）布朗微粒轨迹

皮兰（Perrin）于1908年用显微镜测量了布朗运动的轨迹，他每隔30秒记录一次某个微粒的位置，再将相继得到的两点位置连成直线，得到一幅由长短不等的直线段连接成的轨迹图。他又将测量时间间隔缩短为每隔3秒，画出的另外一幅微粒的轨迹图。将两图进行比较可以发现，两幅图虽不尽相同，它们具有同等的复杂程度。以不同尺度去测量都有相似结果说明，测量对象没有特征尺寸，它们具有尺度（标度）不变性。第十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六自相似（2）大自然中的自相似体不管漫步在海岸边以厘米量级观察，还是从人造卫星上以数千米跨度观察，海岸线的弯曲的复杂程度也可能是相同的。

大自然中的许多不规则物体，可能存在不同尺度上的相似性，称为自相似性。第十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六分形的定义Mandelbort1982

-AfractalisbydefinitionasetforwhichtheHausdorff-Besicovitchdimensionstrictlyexceedthetopologicaldimension.Mandelbort1986

-Afractalisashapemadeofpartssimslartothewholeinsomeway

-分形是其组成部分以某种方式与整体相似的图形，或者说：分形是指一类体形复杂的体系，其局部与整体具有相似性。第十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六分形的研究领域

分形的研究现已大大地超出了数学、物理学的范畴，它不仅广泛用于处理自然科学中相关问题，而且在扩展到生态、生命、经济、人文的许多领域。分形与系统的混沌运动是密切相关的，是非线性科学的一个重要分支。数学，这是分形的基础领域；物理学、化学等自然科学，如雷电、相变、聚合物生长、天文、地理地质、生态、生命等自然现象；非线性动力系统中的分形研究；人文、经济如股票涨落分析等；国民经济：如地震、气象的预报预测、石油的多次开采等领域。第十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六维数

与人们熟悉的规整形体的整数维不同，分形体的维数不一定是整数，它可取连续变化的各种数值，称为分形维数（简称分维）。根据分形体不同特征，分形维数的定义有多种，而且不同维数定义计算出的维数也有一些差别。第十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六维数与规则分形维数规则分形-康托尔点集-科赫曲线-谢尔宾斯基图形-模拟分形物质第十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六豪斯道夫维数（1）例.取长度为l的线段，放大2倍后的长度2l。边长为l的正方形，每边长放大2倍的面积为4

l2。边长为l的立方体，每边长放大2倍的体积为8

l3。

结果整理如下：一维图形（线段）21=2二维图形（正方体）22=4三维图形（立方体）23=8归结：取对数豪斯道夫维数第二十页，共六十四页，编辑于2023年，星期六豪斯道夫维数（2）推论：

对于正规几何图形，分子为分母整除，Df

为整数，是欧几里德维数。对非规则图形，分子与分母不总可整除，Df

一般是分数，称为分维。第二十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六自相似维数（1）换一个视角：把单位面积的正方形等分成九个小正方形，每个小正方形边长缩短为原来长度的1/3，即有：9×(1/3)2＝1指数2显然为正方形维数。该式表示局部与整体有相似关系。定义：假定某个几何体由N个局部组成，每个局部以相似比beta与整体相似，则客体的相似维数为：第二十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六自相似维数（2）

例：边长为2l的正方体，四等分得边长l的四个小正方形。小正方形边长与原正方形边长之比为＝1/2，局部与整体的相似比为：beta=l/2l=1/2，Ds

为:第二十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六规则分形

许多数学家从纯数学兴趣出发，构造出一批自相似的几何图形：康托尔点集科赫曲线谢尔宾斯基地毯等

采用分形理论分析，看出这些图形与正规几何图形之间存在直接联系。第二十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六康托集（1）康托点集

取一线段[0,1]将其三等分，各段长度为原线段的1/3。取走中间一段，保留两侧。将留下的两段再三等分并再取走中间一段，保留两侧其余两段。继续分割、取走，留下线段愈多则长度愈短。随着线段分为无穷多段，每段长度为零，总长度也为零，构成了由无穷个点组成的点集。第二十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六康托集（2）康托点集分维豪斯道夫维数

每次三等分后的一小段，将此放大三倍，把中间的1/3段舍去得到两个1/3段，在豪斯道夫维数公式中，L＝3，K＝2，因此有：相似维数

初始元线段长度为1，生成元为两个1/3，得局部与整体的相似比β＝1/3，N＝2：第二十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六康托集（3）康托点的长度生成元En由长度为(1/3)n

共有2n

区段，当n趋于无穷时，因此各点总长度多分集上面的组成中每次将线段一分为三，故称康托尔三分集。依此法则，可以生成四分、五分…等多种康托尔点集。如四分康托尔点集，将一线段四等分，舍去中间两段，保留两侧的两段，如此进行同样操作下去。第二十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六康托集（4）多分集维数康托尔四分点集的维数

康托尔n分点集的维数（把一线段进行n等分，舍去中间的n－2段，保留两侧两段）结论：当n→∞时，Df→0

各次多分集的Df

维数

第二十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六柯赫曲线（1）科赫曲线科赫曲线是具有相似结构的弯曲线段。将长度为1的直线段三等分，保留两侧，将中间一段改成夹角60度的两个等长直线。再将上次操作的四段边长1/3的线段三等分，每段长度为1/9，也将中间一段改成夹角60度的两直线。操作进行下去，得一条有自相似结构的曲线，称为三次科赫曲线。维数

三次科赫曲线由四个与整体相似的局部组成，相似比beta=1/3，因此相似维数第二十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六柯赫曲线（2）科赫雪花以三角形为源多边形，每一边作三等分并舍去中间1/3。类似科赫曲线生成规则。第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边按科赫曲线规则，得48条边图形，以后依此进行同样得操作，直至无穷，称为科赫雪花。极限情况下，科赫雪花上的折线演变成为曲线。科赫雪花周长

科赫雪花面积

维数与科赫曲线维数相等第三十页，共六十四页，编辑于2023年，星期六谢尔宾斯基图形（1）垫片取一个等边三角形，四等分得四个较小三角形。舍去中间小三角形，保留周围的三个。此后将这三个较小三角形按上述分割与舍去法则操作下去，得到一种介于线段与面之间的几何图形。维数

设想从一个小三角形开始，将每边扩大2倍，得与之相似的大三角形，面积为小三角形4倍。将中间一个小三角形舍去，实际面积为小三角形3倍。维数计算Df，由L＝2，K＝3

第三十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六谢尔宾斯基图形（2）地毯(1)

取正方形将其9等分，得9个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围8个小正方形。然后对每个小正方形再9等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。

维数从一个小正方形出发，将每边扩大三倍，由于舍去中间的正方形，在计算中，L＝3，K＝8，第三十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六谢尔宾斯基图形（3）地毯(2)

地毯2的构成方法是取边长为1的正方形按p:q:p的方法划分每边，并去掉中间q部分，留下四角。然后对四角小正方形进形类似的操作以至无限。它具有自相似性。

维数右图是p=0.45,q=0.1的地毯图。按Ds

维数计算公式，局部与整体相似比β＝2/9，N＝4，得：第三十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六谢尔宾斯基图形（4）海绵一个立方体的每边三等分，得27个小立方体。将体心和面心上七个小立方体舍去保留其余20个小立方体。再对每个小立方体进行同样操作，得到更小的20×20＝400个立方体，如此操作进行下去直至无穷。其局部与其整体具有严格自相似性，极限情况下它的体积趋于零，而表面积趋于无穷大。

维数用3维尺度测量时体积为零，用2维尺度测量时面积为无穷大，分维值介于2、3之间。从一个小立方出发，每边扩大3倍体积放大27倍，但舍去了7个体心和面心立方体。第三十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六模拟分形物质模拟分形物质这是由物理或化学家们构造出来的。构成方法：将一个半径为1的原子放在原点作为种子，在球的四个方向上结合四个原子，五个原子组成一个晶胞。再以这个晶胞为中心，在其四个原子的方向上结合四个晶胞，再在四个晶胞的方向上结合上由五个晶胞结合成的集团。这种模拟物质具有自相似性。

维数由图可见当线径放大L=3倍数时，其面积放大K=5倍数。第三十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六分形的几何特征自相似性便是局部与整体的相似。自仿射性自仿射性是自相似性的一种拓展。如果，将自相似性看成是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果的话，那么，自仿射性就是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果。前者称为自相似变换，后者称为自仿射变换。精细结构任意小局部总是包含细致的结构。第三十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六容量维数与信息维数容量维数信息维数第三十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六盒子计数法(boxcounting)

计算相似比复杂图形时，采用小方块(或圆片)去覆盖(或填充)被测对象，统计覆盖所需的方块数来计算其维数。如此方法计算的维数称为容量维数。现用长度为r尺子去测长度为L的线段，L与r之比为N。

N值的大小与r长短有关，r越小N越大：

对于平面：对于立方体：对于Dc

维物体：取对数得容量维数容量维数

大自然中存在大量的在统计意义下的自相似体，一般并不知道自相似比。为了解决这类物体的分维计算，发展了计算容量维数方法。第三十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六例子应用于物质模型。设晶胞重复结合了P次，物质的线径为

L=3p，包含原子数有:

N=5p

个用线径为r=1/3p-s

的小球覆盖：

第三十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六埃侬吸引子用边长1:1/2:1/4三种方块覆盖。边长1方块覆盖35块，边长1/2方块覆盖95块，边长1/4方块覆盖220块,可以用更短边长覆盖。实际计算得：

第四十页，共六十四页，编辑于2023年，星期六信息维数

通常，测量对象具有不均匀性，导致不同计数盒子有不同填充程度，但盒子计数法不能反映客体的不均匀分布。改进方法：(1)对每个覆盖盒子按填充程度（所含点多少）进行编号;(2)统计出分形结构落入第

i只盒子的几率Pi(r)：

得信息维数当各个盒子有同样填充程度：Pi(r)=1/N(r)

信息维数等于容量维数：Di=Dc，

一般情况下:

第四十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六自然界分形

大自然中普遍存在着分形体。山脉，树林，闪电，海岸线，都会包含各种形式自相似体。海岸线为什么是分形体？首先具有自相似性。如果以不同比例尺去测量，所得到的长度是不同的。我国海岸线全长一万八千余公里，是以1公里标尺测量的。1公里为单位：N=1.763x104

段，1厘米为单位：N=3.812x104

段，长度为381.2万公里，是地理书212倍。

第四十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六自然界的分形海岸线维数用不同r

方格去覆盖，统计出覆盖海岸线的格子数；在地图上以不同

r

的标尺去测量海岸线，得一组与标尺对应的段数。

两种方法都用容量维数将测量结果作logN～logr双对数图，如得负斜率直线，其绝对值就是维数。我国海岸线维数

用不同尺寸r测量，得不同的段数N，作logN～logr斜线。得斜线其方程为：系数1.267直线斜率，即海岸线分维值为第四十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六计算机产生分形分形树Julia集合Mandebrot集合第四十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六树设图形T0为一条单位长直线段，在T0第一个三等分点上各向两边450角的方向延伸出两条长1/2L0的线段，在中点处向左300以1/3L0延伸出长的线段，再在第二个三等分点处向右300方以1/3L0延伸出的线段。得到图形T1,将Tn的每5个分支做同样的变换，得到Tn+1。

第四十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六Julia集在复平面上任意取一个点，其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算：Zn+1=Zn2+C。就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。再把新的Z作为旧的Z，重复运算。不停地做，最后得到的Z值有3种可能性：

1、Z值没有界限增加（趋向无穷）

2、Z值衰减（趋向于零）3、Z值是变化的，即非1或非2第四十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子，很多点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。非趋向无穷和趋向于零的点是“Julia集合”部分，也叫混沌吸引子。第四十七页，共六十四页，编辑于2023年，星期六Julia集迭代公式中，给定复数C，如果n趋向于无穷时Zn有界，则Z0属于Julia集。第四十八页，共六十四页，编辑于2023年，星期六第四十九页，共六十四页，编辑于2023年，星期六第五十页，共六十四页，编辑于2023年，星期六Mandelbrot集Julia集和Mandelbrot集可以说是一对孪生兄弟。给定Z0为一个初始的复数，C为一个复常数。对Z进行这样的迭代：

如果n趋向于无穷时Zn有界，则C属于Mandelbrot集

第五十一页，共六十四页，编辑于2023年，星期六第五十二页，共六十四页，编辑于2023年，星期六第五十三页，共六十四页，编辑于2023年，星期六产生分形的物理模型扩散置限聚集(diffusion-limitedaggregation-DLA)模型元胞自动机

第五十四页，共六十四页，编辑于2023年，星期六(1)扩散置限聚集模型

DLA是针对生长过程出现无规分形提出的。该模型在计算机上模拟完成。生成过程这样：在一个二维点阵中心放上一棵种子，在点阵边缘引进一棵粒子让它在点阵上随机游荡。当粒子游动到点阵中心附近时，与位于中心点种子相结合(A粒子)后附着不动；当游动到点阵边缘就会消失(B粒子)。点阵上一旦失去游动粒子，从点阵边缘引进新的游动粒子。1981年，Witten和Sander提出扩散置限聚集(diffusion-limitedaggregation-DLA)模型，1983年研究了模型与扩散方程关系，完善了这个模型。第五十五页，共六十四页，编辑于2023年，星期六第五十六页，共六十四页，编辑于2023年，星期六

DLA模型可以说明许多物质生长现象。例如：铁丝表面镀锌，绝缘气体(SF6)中在玻璃板面上放电图象等。铁丝表面镀锌SF6气体中玻璃板上放电中心种子生长的细