量子力学用算符表达与表象变换

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量子力学用算符表达与表象变换第一页，共十四页，编辑于2023年，星期五4.1算符的运算规则1.算符定义：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。

2.线性算符算符

若成立，则是线性算符。

单位算符I，Iψ＝ψ，对ψ是任意函数成立。

•

算符相等：对任意函数Ψ，若成立，则.可观测的力学量算符都是线性算符。是态迭加原理反映。第二页，共十四页，编辑于2023年，星期五算符和、差满足交换律与结合律。3.算符和、差定义：

如哈密顿算符H4.算符之积定义

例如，算符之积满足结合律，但不满足交换律1)坐标与动量算符的一般对易关系：2)引入泊松括号：

－－坐标动量对易式第三页，共十四页，编辑于2023年，星期五称算符A、B对易。称算符A、B不对易。泊松括号有如下几个恒等式：

c为常数。

称雅可比(Jacobi)恒等式。

练习1。

第四页，共十四页，编辑于2023年，星期五3)角动量算符基本对易式

其他对易关系通过x,y,z轮换得到。

可统一写成：

或写成：（1）规定：

αβγ偶置换为1，奇置换为－1，任两个相同为0。称为Levi-Civita符号。注：（1）式右边ε、L下标相同的意味求和。第五页，共十四页，编辑于2023年，星期五其他重要的对易关系式：定义:，i=x,y,z

定义：练习2第六页，共十四页，编辑于2023年，星期五球坐标下的角动量算符形式：(推导见周世勋《量子力学教程》p62)第七页，共十四页，编辑于2023年，星期五2、P90，练习3；作业－10第八页，共十四页，编辑于2023年，星期五5.逆算符若成立，称是的逆算符。有公式：6.算符函数，（问）

第九页，共十四页，编辑于2023年，星期五补充知识：标识（或称内积）第十页，共十四页，编辑于2023年，星期五8.转置算符：9.厄米共轭算符7.

复共轭算符：是复共轭算符：例，有公式：

若算符满足：，其中ψ、φ是任意函数，则称是的厄米共轭算符，记为：。（与书上定义（41）式是一致）定义式为：第十一页，共十四页，编辑于2023年，星期五厄米共轭算符是互逆的。厄米共轭算符反映二个算符的一种对应关系。

厄米共轭算符的几个关系式：

V(r)+=V(r)

第十二页，共十四页，编辑于2023年，星期五10.厄米算符其中ψ、φ是任意函数，

厄米算符反映某一类算符的特性。

定理：体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。可测量的物理量算符一定为厄米算符。

逆定理也成立(证明见P93）。坐标、动量、角动量、哈密顿算符等都是厄米算符。

第十三页，共十四页，编辑于2023年，星期五1、P131，习题4－1；2、P132，习题4－7；3、P133,

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