连续时间系统的系统函数

连续时间系统的系统函数第一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五要点：1.梅逊公式2.零极点分布3.劳斯定理第六章连续时间系统的系统函数第二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五§6.1

梅逊公式第三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五§

梅逊公式第四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五§

梅逊公式

负反馈

正反馈

系统函数第五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五例6-1C(s)=R(s)1+1-G2G1G1G21+G1G2–G2G1

(1–

G2)=§

梅逊公式第六页，共二十七页，编辑于2023年，星期五§

梅逊公式ΣLiΣLiLjΣLiLjLzΔ=1––++···2．梅逊公式回路内前向通道和反馈通道传递函数的乘积。梅逊公式：回路传递函数：—特征式△—各回路传递函数之和。—两两互不相接触回路的传递函数乘积之和。—所有三个互不相接触回路的传递函数乘积之和。Φ(s)=Σnk=1PkΔkΔΣLiΣLiLjΣLiLjLzΣLiΣLiLjΣLiLjLz△k

—将△中与第k条前向通道相接触的回路所在项去掉之后的剩余部分，称为余子式。Pk—第k条前向通道的传递(系统)函数。第七页，共二十七页，编辑于2023年，星期五§

梅逊公式例6-1_G1+C(s)R(s)G2解:(2)L1L1=-G1G2L2L2=G2P1=G1Δ1=1-G2Δ=1+G1G2-G2C(s)R(s)1+G1G2–G2G1

(1–

G2)=第八页，共二十七页，编辑于2023年，星期五L1L2L3H1_+++G1+C(s)R(s)G3G2例6-2

求系统的闭环传递函数。解:L1=G3H1L2=–G1H1L3=–G1G2P1=G1G2Δ1=1–

G3H1Δ=1+G1G2+G1H1–G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1–G3H1G1G2

(1–

G3H1)=§

梅逊公式第九页，共二十七页，编辑于2023年，星期五G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)__+R(s)C(s)H2(s)求系统的传递函数解:L1L1=-G2H1L2L2=-G1G2H2P1=G1G2P2=G3G2Δ1=1Δ2=1R(s)C(s)=Σnk=1PkΔkΔΔ=1+G2H1+G1G2H21+G2H1+G1G2H2G2G1+G2G3

=例6-3§

梅逊公式第十页，共二十七页，编辑于2023年，星期五3.系统稳定性LTI系统稳定的充要条件是冲激响应绝对可积，即对因果LTI系统稳定性，用冲激响应绝对可积条件判断与用冲激响应衰减条件判断给出同一结果。§

稳定性第十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五tPi位于右半平面§

零、极点分布第十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五系统稳定性（1）极点分布对系统稳定性的影响因果系统稳定的充要条件是：所有极点都在s左半平面。当虚轴上没有重极点，并且s右半平面无极点时，系统临界稳定；当s右半平面有极点或虚轴有重极点时，系统不稳定。稳定系统的因果条件是所有极点都在s左半平面。系统零点只影响部分分式展开式中各分量的加权系数，因此它只影响冲激响应的各分量的幅度和相位，对系统稳定性无影响。各分量的幅度和相位要受到系统零极点的共同影响。§

稳定性第十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五求系统的零、极点，并绘制零、极点分布图，并判断系统的稳定性。例6-4解：系统的零点为：系统的极点为：系统的零、极点分布图为：§

稳定性第十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五例6-5第十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五解:第十六页，共二十七页，编辑于2023年，星期五4、根据稳定的充分与必要条件,求得特征方程的根,就可判定系统的稳定性.但对于高阶系统求解方程的根比较困难。劳斯稳定判据是根据闭环传递函数特征方程式的各项系数,按一定的规则排列成劳斯表，根据表中第一列系数正负符号的变化情况来判别系统的稳定性。下面具体介绍劳斯稳定判据的应用。§劳斯稳定判据第十七页，共二十七页，编辑于2023年，星期五根据特征方程的各项系数排列成劳斯表：设系统的特征方程为a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an=0

a0a2a4…a1

a3a5…b42

sn-3

……………s0

sn

sn-1

sn-2

b31

b32

b33

b31=

a1a2

-a0a3

a1

b41

b32=

a1a4

-a0a5

a1

b41=

b31a3

-b32a1

b31

b42=

b31a5

-b33a1

b31

b43

……

bn+1

系统稳定的条件：

(1)特征方程式各项系数都大于零。(2)劳斯表中第一列元素均为正值。第一列元素符号改变的次数等于不稳定根的个数。§劳斯稳定判据第十八页，共二十七页，编辑于2023年，星期五例6-6已知系统的特征方程，试判断该系统的稳定性。解：s4+2s3+3s2+4s+5=0劳斯表如下：

135s1

s0

s4

s3

s2

b31

b32

b41

b51

24

b31=

2*3

-1*4

2

=11

b32=

2*5

-1*0

2

=55

b41=

1*4

-2*5

1

=-6-6

b51=

-6*5

-1*0

-6

=55有两个正实部根，系统不稳定。§劳斯稳定判据第十九页，共二十七页，编辑于2023年，星期五例6-7已知闭环系统的特征方程式，试用劳斯判据判断系统的稳定性。(1)s3+20s2+9s+100=0解：劳斯表如下：s1

s0

s3

s2

19201004

100系统稳定。(2)s4+8s3+18s2+16s+5=0

1185s4

s3

816劳斯表如下：s2

165s1

216

16

s0

5系统稳定。§劳斯稳定判据第二十页，共二十七页，编辑于2023年，星期五例6-8

系统如图所示，试确定系统稳定放大倍数K的取值范围。Ks(0.1s+1)(0.25s+1)-R(s)C(s)闭环传递函数Ф(s)=s(0.1s+1)(0.25s+1)+KK特征方程:s3+14s2+40s+40K=0解：劳斯表:

140s3

s2

1440Ks1

b31

b31=

14*40

-1*40K

14

s0

b41

40K

系统稳定的条件:>0560-40K>040K>014>K>0§劳斯稳定判据第二十一页，共二十七页，编辑于2023年，星期五如果劳斯表中某行的第一个元素为零，表示系统中有纯虚根，系统不稳定。下面举例说明:该行中其余各元素不等于零或没有其他元素，将使得劳斯表无法排列。此时，可用一个接近于零的很小的正数ε来代替零，完成劳斯表的排列。§劳斯稳定判据第二十二页，共二十七页，编辑于2023年，星期五例6-9已知系统的特征方程，试判断系统的稳定性。劳斯表为:系统有一对纯虚根s3+2s2+s+2=0解：

11s3

s2

22s1

b31

=0

εs0

b41

2

通过因式分解验证:s3+2s2+s+2=0(s+2)(s2+1)=0s1=-2s2.3=±j

b31=

2*1

-2*1

2

(

ε

)

=2

b41=

-2*0

2*

εε不稳定§劳斯稳定判据第二十三页，共二十七页，编辑于2023年，星期五例6-10已知系统的特征方程,试用劳斯判据确定方程的根在s平面上的分布。解：s3-3s+2=0方程中的系数有负值，系统不稳定。劳斯表为:

1-3s3

s2

02s1

b31

b31=

s0

b41

2

ε通过因式分解验证:s3-3s+2=(s-1)2(s+2)=0s1.2=1s3=-2-∞ε-2-3εε→0

b31

→-

∞

=

-∞

第一列元素的符号变化了两次,有一对不稳定根。§劳斯稳定判据第二十四页，共二十七页，编辑于2023年，星期五如果劳斯表中某一行的元素全为零，表示系统中含有不稳定的实根或复数根。系统不稳定。下面举例说明:此时，应以上一行的元素为系数，构成一辅助多项式，该多项式对s求导后，所得多项式的系数即可用来取代全零行。同时由辅助方程可以求得这些根。§劳斯稳定判据第二十五页，共二十七页，编辑于2023年，星期五例6-11已知控制系统特征方程,判断系统稳定性。由为零上一行的元素组成辅助多项式：s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0解：劳斯表为:

182016s6

s5

21216s