《导数在研究函数中的应用函数的单调性与导数》（人教A版选修）

函数的单调性与导数求函数y=f(x)单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域.(2)求导数y′=f′(x).(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间.(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间.复习引入复习引入一、求含参数的函数的单调区间例1：求函数f(x)＝x+b/x(b≠0)的单调区间授新课练习：已知函数y=ax与=-b/x在（0，+∞）上都为减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间二、已知函数单调性求参数范围例2：若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上单调递增,求实数a的取值范围.授新课练习1：已知函数y＝ax3＋bx2＋6x＋1的单调递增区间为(－2,3),求a,b的值.练习2：设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)，则f(x)为R上的增函数的充要条件是()A.b2-4ac>0 B.b>0,c>0C.b=0,c>0 D.b2-3ac≤0:D若改为：f(x)在R上有三个单调区间，则a,b,c应满足的条件是什么？二、利用导数求参数的取值范围例3：若函数f(x)=x3-ax2-x+6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围为()A.a≥1 B.a=1C.a≤1 D.0<a<1A解：由已知得因为函数在（0，1]上单调递增归纳：1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“=”时是否满足题意.(2)先令f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“=”，看此时f(x)是否满足题意.2.恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.三、利用导数证明不等式例4：利用函数的单调性证明不等式sinx<x(0<x<∏)练习.已知函数f(x)=x2+lnx

求证：在区间(1,+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=2/3x3的图象的下方.设F(x)=g(x)-f(x)，即F(x)=当x>1时，从而F(x)在(1,+∞)上为增函数，所以F(x)>F(1)=>0,所以当x>1时,g(x)-f(x)>0，即f(x)<g(x)，故在区间(1,+∞)上，函数f(x)的图象在函数的图象的下方.归纳：利用导数证明不等式的解题技巧(1)构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值.(2)证明f(x)＞g(x),x∈(a,b)，等价转换为证明f(x)-g(x)＞0.如果(f(x)-g(x))′＞0，说明函数f(x)-g(x)在(a,b)上是增函数;如果f(a)-g(a)≥0，由增函数的定义可知，当x∈(a,b)时，f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x).备用练习：已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)e-x(x∈R,e为自然对数的底数)(1)若函数f(x)在(-1,1)内单调递减，求a的取值范围.(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由.【解析】(1)因为f(x)=(-x2+ax)e-x,所以f′(x)=［x2-(a+2)x+a］e-x,要使f(x)在(-1,1)上单调递减，则f′(x)≤0对一切x∈(-1,1)都成立，即x2-(a+2)x+a≤0对x∈(-1,1)都成立，令g(x)=x2-(a+2)x+a,则⇒解得a≤-.所以a的取值范围是(-∞,-].(2)①若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即［x2-(a+2)x+a］e-x≤0对x∈R都成立,从而x2-(a+2)x+a≤0对x∈R都成立,令g(x)=x2-(a+2)x+a,抛物线y=g(x)开口向上,不可能对x∈R,g(x)≤0都成立.②若函数f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0对x∈R都成立,从而x2-(a+2)x+a≥0对x∈R都成立,由于Δ=(a+2)2-4a=a2+4＞0,故f′(x)≥0不能对一切x∈R都成立,综上可知,函数f(x)不可能是R上的单调函数.1.f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)-f(x)≤0，对任意正数a，b，若a<b，则必有()A.af(b)<bf(a)B.bf(a)<af(b)C.af(a)<f(b)D.bf(b)<f(a)A2.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在区间［-1,2］上是减函数，那么b+c的最大值为______.A-15/23.函数f(x)=x3-3x2+1是减函数的区间为()A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-∞,0)D.(0,2)D4.若f(x)=lnx/x,e<a<b,则()A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1A5.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3在R上不是单调增函数，则