安徽省六安市第一中学2024学年高三数学第一学期期末监测模拟试题含解析

安徽省六安市第一中学2024学年高三数学第一学期期末监测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（）A． B．C． D．2．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）种.A．408 B．120 C．156 D．2403．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为A． B． C． D．4．设,则(

)A．10 B．11 C．12 D．135．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．6．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米7．已知数列为等差数列，且，则的值为（）A． B． C． D．8．中国的国旗和国徽上都有五角星，正五角星与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，且，则（）A． B． C． D．9．已知（i为虚数单位，），则ab等于（）A．2 B．-2 C． D．10．若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（）A． B． C． D．11．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．为得到y=sin(2x-πA．向左平移π3个单位B．向左平移πC．向右平移π3个单位D．向右平移π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知点P是直线y=x+1上的动点，点Q是抛物线y=x2上的动点.设点M为线段PQ的中点，O为原点，则14．已知复数z是纯虚数，则实数a＝_____，|z|＝_____．15．已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是__________．16．函数在内有两个零点，则实数的取值范围是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：.18．（12分）已知等差数列满足，.（l）求等差数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．（12分）如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.20．（12分）已知函数，函数.（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.21．（12分）已知与有两个不同的交点，其横坐标分别为（）.（1）求实数的取值范围；（2）求证：.22．（10分）等差数列的公差为2,分别等于等比数列的第2项，第3项，第4项.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足,求数列的前2020项的和．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

由图根据三角函数图像的对称性可得，利用周期公式可得，再根据图像过，即可求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.【题目详解】由图像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，，所以，，即，因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到，所以.故选：A【题目点拨】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.2、A【解题分析】

利用间接法求解，首先对6门课程全排列，减去“乐”排在第一节的情况，再减去“射”和“御”两门课程相邻的情况，最后还需加上“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻的情况；【题目详解】解：根据题意，首先不做任何考虑直接全排列则有（种），当“乐”排在第一节有（种），当“射”和“御”两门课程相邻时有（种），当“乐”排在第一节，且“射”和“御”两门课程相邻时有（种），则满足“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻的排法有（种），故选：．【题目点拨】本题考查排列、组合的应用，注意“乐”的排列对“射”和“御”两门课程相邻的影响，属于中档题．3、B【解题分析】

求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【题目详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B.【题目点拨】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4、B【解题分析】

根据题中给出的分段函数，只要将问题转化为求x≥10内的函数值，代入即可求出其值．【题目详解】∵f（x），∴f（5）＝f[f（1）]＝f（9）＝f[f（15）]＝f（13）＝1．故选：B．【题目点拨】本题主要考查了分段函数中求函数的值，属于基础题．5、C【解题分析】

根据双曲线的标准方程，即可写出渐近线方程.【题目详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为，故选：C【题目点拨】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.6、B【解题分析】

由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【题目详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，故导线长度约为63(厘米).故选：B.【题目点拨】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.7、B【解题分析】

由等差数列的性质和已知可得，即可得到，代入由诱导公式计算可得．【题目详解】解：由等差数列的性质可得，解得，，故选：B．【题目点拨】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．8、A【解题分析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问题．【题目详解】解：.故选：A【题目点拨】本题以正五角星为载体，考查平面向量的概念及运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．9、A【解题分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求解．【题目详解】，，得，．．故选：．【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是基础题．10、B【解题分析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．11、B【解题分析】

分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限.【题目详解】因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.【题目点拨】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.12、D【解题分析】试题分析：因为，所以为得到y=sin(2x-π3)的图象，只需要将考点：三角函数的图像变换．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、3【解题分析】

过点Q作直线平行于y=x+1，则M在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.【题目详解】如图所示：过点Q作直线平行于y=x+1，则M在两条平行线的中间直线上，y=x2，则y'=2x=1，x=1点M为线段PQ的中点，故M在直线y=x+38时距离最小，故故答案为：32【题目点拨】本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.14、11【解题分析】

根据复数运算法则计算复数z，根据复数的概念和模长公式计算得解.【题目详解】复数z，∵复数z是纯虚数，∴，解得a＝1，∴z＝i，∴|z|＝1，故答案为：1，1．【题目点拨】此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.15、【解题分析】∵，∴，∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点，∴方程f(x)−g(x)=0有四个解，即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点，，作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下，，结合图象可知，<b<2，故答案为.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．16、【解题分析】

设，，设，函数为奇函数，，函数单调递增，，画出简图，如图所示，根据，解得答案.【题目详解】，设，，则.原函数等价于函数，即有两个解.设，则，函数为奇函数.，函数单调递增，，，.当时，易知不成立；当时，根据对称性，考虑时的情况，，画出简图，如图所示，根据图像知：故，即，根据对称性知：.故答案为：.【题目点拨】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）令，，利用可求得数列的通项公式，由此可得出数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法求得，进而可得出结论.【题目详解】（1）令，，当时，；当时，，则，故；（2），.【题目点拨】本题考查利用求通项，同时也考查了裂项相消法求和，考查计算能力与推理能力，属于基础题.18、(1)；(2).【解题分析】试题分析：（1）设等差数列满的首项为，公差为，代入两等式可解。（2）由（1），代入得，所以通过裂项求和可求得。试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由题意可得，解得.所以.（2）因为，所以.所以.19、（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解题分析】

（Ⅰ）取的中点为，连结，易证四边形为平行四边形，即，由于，为的中点，可得到，从而得到，即可证明平面，从而得到；（Ⅱ）易证，，两两垂直，以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，即可得到答案．【题目详解】解：（Ⅰ）取的中点为，连结.由是三棱台得，平面平面，从而.∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵，为的中点，∴，∴.∵平面平面，且交线为，平面，∴平面，而平面，∴.（Ⅱ）连结.由是正三角形，且为中点，则.由（Ⅰ）知，平面，，∴，，∴，，两两垂直.以，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，，，，∴，，.设平面的一个法向量为.由可得，.令，则，，∴.设与平面所成角为，则.【题目点拨】本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题．20、(1)故函数在上单调递增，在上单调递减;(2).【解题分析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得对任意，恒成立，构造函数，则有对任意，恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．试题解析：（I）由题意得，，∴.当时，，函数在上单调递增；当时，令，解得；令，解得.故函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（II）由题意知.，当时，函数单调递增．不妨设，又函数单调递减，所以原问题等价于：当时，对任意，不等式恒成立，即对任意，恒成立.记，由题意得在上单调递减.所以对任意，恒成立.令，，则在上恒成立.故，而在上单调递增，所以函数在上的最大值