2021-2022学年重庆肖家中学高三数学文联考试题含解析

2021-2022学年重庆肖家中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，在区间上为增函数的是（

）

参考答案：A2.已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（） A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】空间向量的夹角与距离求解公式． 【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞=可得答案． 【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1）， 所以， 所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=， 所以cos＜，＞==， ∴的夹角为60° 故选C． 【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题 3.复数＝（A）－1（B）1（C）－（D）参考答案：C4.如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E的面积为A.

B.

C.

D.参考答案：D故选D.5.

给出计算

的值的一个程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是（

）．

A．

B．

C．

D．参考答案：A6.用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为

（A）cm2

（B）cm2

（C）cm2

（D）20cm2参考答案：B7.为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=cos2x的图象(

) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度参考答案：B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据诱导公式进行化简，再由左加右减上加下减的原则可确定函数y=sin（2x﹣）到y=cos2x的路线，确定选项．解答： 解：∵y=sin（2x﹣）=cos=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos，∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度．故选B．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．注意变换顺序．8.已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是

.参考答案：略9.复数（i为虚数单位）的共轭复数等于

（

）

A．1+3i

B．1-3i

C．-1+3i

D．-1-3i参考答案：A10.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10参考答案：B【考点】83：等差数列；87：等比数列．【分析】利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．【解答】解：∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1?a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（平面几何选讲）如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=72°， 圆0过A，B且与BC切于B点，与AC交于D点， 连BD．若BC=2，则AC=

．参考答案：12.若角终边落在射线上，则

。参考答案：13.对于函数，有下列5个结论：①，，都有；②函数在[4,5]上单调递减；③，对一切恒成立；④函数有3个零点；⑤若关于x的方程有且只有两个不同的实根，，则.则其中所有正确结论的序号是.参考答案：①③⑤.14.如果等比数列的前项和，则常数参考答案：-1略15.已知a，b，c是锐角△ABC的内角A，B，C所对的边，，且满足，则a+c的取值范围是

．参考答案：∵∴由正弦定理可得，即∵∴∵B为△ABC的内角∴∵∴根据正弦定理可知∴∵△ABC是锐角三角形∴∴a+c的取值范围为故答案为

16.若6x2+4y2+6xy=1，x，y∈R，则x2﹣y2的最大值为．参考答案：【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】令x2﹣y2=t，条件式两边同乘t，得到关于的方程，根据方程有解列不等式得出t的范围．【解答】解：设x2﹣y2=t，则6tx2+4ty2+6txy=x2﹣y2，即（6t﹣1）x2+6txy+（4t+1）y2=0，若y=0，则x2=，此时t=，若y≠0，则（6t﹣1）（）2+6t?+（4t+1）=0有解∴6t﹣1=0或36t2﹣4（6t﹣1）（4t+1）≥0，解得﹣≤t≤，当且仅当x+3y=0且y2=时，t取得最大值．故答案为．17.已知数字发生器每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则连续输出的4个数字之和能被3整除的概率是

．参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是连续输出的4个数字，算出所有结果，满足条件的事件是连续输出的4个数字之和能被3整除，列举出的结果，最后根据概率公式得到结果．解答： 解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是连续输出的4个数字，每次等可能地输出数字1或2中的一个数字，则有2×2×2×2=16，共有16种结果，满足条件的事件是连续输出的4个数字之和能被3整除，即连续输出的4个数字中有两个1和两个2，表示为1，1，2，2；1，2，1，2；1，2，2，1；2，1，1，2；2，2，1，1；2，1，2，1．可知有6种结果，∴根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：．点评：本题考查古典概型，是一个典型的古典概型问题，本题可以列举出试验发生包含的事件，也可以列举出满足条件的事件，是一个基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在如图所示的四边形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2，设∠ACB=θ，点C到AD的距离为h．（1）当θ=15°，求h的值；（2）求AB+BC的最大值．参考答案：【考点】解三角形．【专题】数形结合；转化思想；解三角形．【分析】（1）由θ=15°，可得∠BAC=45°．由AB⊥AD，可得∠D=75°，过点C作CE⊥AD，垂足为E点．在△ACD中，由正弦定理可得：AC．即可得出h=ACsin45°．（2）在△ABC中，可得∠BAC，于是可得∠DAC=30°+θ．θ∈（0°，60°）．可得∠D=90°﹣θ．在△ACD中，由正弦定理可得：AC=4cosθ．在△ABC中，由正弦定理可得：AB，BC，化简即可得出．【解答】解：（1）∵θ=15°，∴∠BAC=180°﹣120°﹣15°=45°，∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠D=180°﹣60°﹣45°=75°，如图所示，过点C作CE⊥AD，垂足为E点．在△ACD中，由正弦定理可得：=，∴AC=+．∴h=ACsin45°=+1．（2）在△ABC中，∠BAC=60°﹣θ，∴∠DAC=30°+θ．θ∈（0°，60°）．∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠D=180°﹣60°﹣（30°+θ）=90°﹣θ．在△ACD中，由正弦定理可得：=，解得AC=4cosθ．在△ABC中，由正弦定理可得：，∴AB==，BC=2﹣．∴AB+BC=+2﹣=sin（2θ+60°）+2≤+2，∵θ∈（0°，60°），∴（2θ+60°）∈（60°，180°），∴当2θ+60°=90°，即θ=15°时，AB+BC取最大值+2．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、直角三角形的边角关系、三角形内角和定理、三角函数的单调性、倍角公式、诱导公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖．（I）已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％，70％，90％．记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望；(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求．参考答案：解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。

(Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为ξ50％70％90％p则Εξ=×50％+×70％+90％=.（Ⅱ）解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=.由题意得η～（3，）则P（η=2）=()2(1-)=.20.已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．（1）当a=﹣时，求函数f（x）的单调区间和极值．（2）若g（x）=f（x）+a（x﹣1）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）当a=﹣时，求导，令f′（x）＞0求得函数的单调递增区间，f′（x）＜0即可求得函数的单调递减区间，即当x=时，f（x）取极值；（2）求出个零点x1，x2，得到x1+x2=+=．构造函数h（t）=t﹣﹣2lnt，（0＜t＜1），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）当a=﹣时，f（x）=lnx+x+，（x＞0），求导，f′（x）=+﹣=，令f′（x）=0，解得：x=或x=﹣1（舍去），当f′（x）＞0，解得：x＞，当f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴函数的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，），∴当x=时，函数取极小值，极小值为2﹣ln3；（2）证明：根据题意，g（x）=f（x）+a（x﹣1）=lnx+﹣a，（x＞0），因为x1，x2是函数g（x）的两个零点，∴lnx1+﹣a=0，lnx2+﹣a=0，两式相减，可得ln=﹣，即ln=，故x1x2=．那么x1=，x2=令t=，其中0＜t＜1，则x1+x2=+=．构造函数h（t）=t﹣﹣2lnt，（0＜t＜1），则h′（t）=，∵0＜t＜1，h′（t）＞0恒成立，故h（t）＜h（1），即t﹣﹣2lnt＜0，则＞1，故x1+x2＞1．21.（本大题满分15分）省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作．（Ⅰ）令，，求t的取值范围；（Ⅱ）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？参考答案：（Ⅰ）当x=0时，t=0

当0<x≤24时，

故t的取值范围是

……4分（Ⅱ）当时，记则……8分∵在上单调递减，在上单调递增，且．故.

……10分∴当且仅当时，.故当时不超标，当时超标．

……15分22.（本题满分15分）如图，已知四棱锥P–ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．

参考答案：（Ⅰ）如图，设PA中点为F，连接EF，FB．因为E，F分别为PD，PA中点，所以EF∥AD且EF=AD，又因为BC∥AD，BC=AD，所以EF∥BC且EF=BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB．（Ⅱ）分别取BC，AD的中点为M，N，连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别为PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ//CE由△PAD为等腰三角形得PN⊥AD由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD．所以AD⊥平面PBN，由BC//AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN．过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH．MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．设CD=1．在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，在△PBN中，由PN=BN=1，P