广东省梅州市梅北中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析

广东省梅州市梅北中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合，则A．

B．

C．

D．参考答案：D

依题意；化简集合，，利用集合的运算可得：.故选D.2.已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，若为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为

(A)

(B)

(C)或

(D)参考答案：C略3.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．2 B． C．1 D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥（也可以看成是一个四棱锥与三棱锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面S=（1+2）×1=，高h=1，故体积V==，故选：D也可以看成是一个四棱锥与三棱锥的组合体，同样得分．【点评】本题考查的知识点是棱锥的表面积和体积，简单几何体的三视图，难度中档．4.如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③；④．中恒成立的为（

）（A）①③

（B）③④

（C）①②

（D）②③④参考答案：A5.下列函数中既是奇函数，又在区间（－1,1）上是增函数的为（

）A、y＝|x＋1|B、y＝sinxC、y＝D、y＝lnx参考答案：6.若两条异面直线外的任意一点，则（）Ａ．过点有且仅有一条直线与都平行Ｂ．过点有且仅有一条直线与都垂直Ｃ．过点有且仅有一条直线与都相交Ｄ．过点有且仅有一条直线与都异面参考答案：答案：B解析：设过点P的直线为，若与l、m都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误。由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确。对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线l，为直线m;若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误。若P在P2点，则由图中可知直线均与l、m异面，故选项D错误。7.

如图所示的曲线是函数的大致图象，则等于（

）A．

B．C．

D．参考答案：C8.已知{an}是公差d不为零的等差数列，其前n项和为Sn，若成等比数列，则A. B.C. D.参考答案：B∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC的长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点O；③连接AP，交BC于点E．若CE＝3，BE＝5，则AC的长为()A.4 B.5 C.6 D.7参考答案：C【分析】直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD，再利用勾股定理得出AC的长．【详解】过点E作ED⊥AB于点D，由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，∵EC⊥AC，ED⊥AB，∴EC=ED=3，在Rt△ACE和Rt△ADE中，，∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），∴AC=AD，∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，∴BD=4，设AC=x，则AB=4+x，故在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，即x2+82=（x+4）2，解得：x=6，即AC的长为：6．故选C．【点睛】此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键．10.已知集合，，则（

）A.(－1,2)

B.(1,2)

C.(0,2)

D.(－1,1)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}的前n项和为Sn，且=，a2=5，则S6=．参考答案：722【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】=，可得an+1+1=3（an+1），利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴an+1+1=3（an+1），∴5+1=3（a1+1），解得a1=1．∴数列{an+1}是等比数列，公比为3，首项为2．∴an+1=2×3n﹣1，解得an=2×3n﹣1﹣1，则S6=﹣6=722．故答案为：722．12.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为___________参考答案：13.如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E．若EB=6，EC=6，则BC的长为

．参考答案：2考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连接OC，由弦切角定理推导出OC∥AD．由AD⊥DC，得到DC⊥OC，由切割线定理得到EC2=EB?EA．再由已条件推导出△ECB∽△EAC，由此能求出BC长．解答： 解：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴点C在⊙O上．连接OC，由弦切角定理得∠OCA=∠OAC=∠DAC，∴OC∥AD．又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC．∵OC为⊙O半径，∴DC是⊙O的切线．∵DC是⊙O的切线，∴EC2=EB?EA．又∵EB=6，EC=6，∴EA=12，AB=6．又∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴==，∴AC=BC．又∵AC2+BC2=AB2=36，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理、相似三角形等知识点的合理运用．14.垂直于直线x+2y-3=0且经过点(2，1)的直线的方程_________.参考答案：略15.已知函数，将的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，若函数在上至少含有个零点，则的最小值为

参考答案：16.计算：参考答案：略17.如图，该程序运行后输出结果为_________．

参考答案：16

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.（1）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.①求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n的函数解析式；②求当天的利润不低于600元的概率.（2）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？参考答案：（1）①②．（2）该制作17个生日蛋糕.【分析】（1）①讨论需求量和17的关系可得分段函数；②由柱状图可得需求量不低于个的频率，进而可得概率；（2）分别求出制作16个和17个蛋糕的平均利润，即可得解.【详解】（1）①当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：②设“当天利润不低于600”为事件A，由①知，“当天利润不低于600”等价于“需求量不低于15个”，所以当天的利润不低于600元的概率为．（2）若一天制作个蛋糕，则平均利润为：；若一天制作个蛋糕，则平均利润为：；，蛋糕店一天应该制作17个生日蛋糕.【点睛】本题主要考查了统计的实际应用问题，理解题意是解题的关键，并能用统计的思想计算平均数，属于中档题.19.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求；（2）若，，求b.参考答案：(1)(2)或5.【分析】（1）利用降幂公式和正弦定理可把题设条件转化为，从而得到，再根据同角的三角函数的基本关系式可求.（2）利用余弦定理渴求b.【详解】解：（1）由题意知，化简得，由正弦定理得，因为，所以，且为内角，即.（2）由余弦定理得，所以，所以，所以或5.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.20.（14分）已知函数．

（Ⅰ）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值，总有不等式成立，则称函数为区间D上的

“凸函数”.试证当时，为“凸函数”.参考答案：解析：（Ⅰ）由，得.

………………2分

由函数为上单调增函数，得在上恒成立，

即不等式在上恒成立.

也即在上恒成立.

……………4分令，上述问题等价于．而为在上的减函数，则．于是为所求.

……………6分（Ⅱ）证明：由，得．．

而

．

①

∵，∴.

……………9分

又，

∴．

②

……………11分

∵

，∴.

∴.

③

……………13分

由①、②、③，得

.

即，从而由凸函数的定义可知函数为凸函

数.

……………14分

21.已知椭圆的离心率，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为3．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆交于A,B两点，在平面上是否存在定点P，使得当直线PA与直线PB的斜率均存在时，斜率之和是与m无关的常数？若存在，求出所有满足条件的定点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：(1