广东省揭阳市普宁城西中学高三数学理模拟试题含解析

广东省揭阳市普宁城西中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图,不规则图形ABCD中：AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线⊥AB于E，当从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE=，左侧部分面积为，则关于的大致图象为参考答案：D2.在中，解A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值是A. B.或 C.或 D.参考答案：B由得，根据余弦定理得，所以，即，即，所以或，选B.3.从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为

(A)224

(B)112

(C)56

(D)28参考答案：B略4.定义两种运算：则函数（

）

A.

是奇函数

B.是偶函数

C.既是奇函数又是偶函数

D.既不是奇函数又不是偶函数参考答案：【知识点】函数奇偶性的判断.

B4【答案解析】A

解析：根据题意得：，由得这时，所以因为，是奇函数，所以选A.【思路点拨】先利用新定义把f（x）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f（x）与f（-x）的关系得结论．5.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（

）A. B.

C. D.参考答案：A6.设全集U=R，A=，则右图中阴影部分表示的集合为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：B7.已知函数的图像关于直线对称，则实数的值为(

)A. B.

C.

D.参考答案：B略8.若向量,则下列结论中错误的是

A．

B．

C． D．对任一向量，存在实数，使参考答案：C因为，所以；又因，所以；与为不共线向量，所以对任一向量，存在实数，使.故选C.9.复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i参考答案：D考点： 复数的基本概念．专题： 数系的扩充和复数．分析： 利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答： 解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评： 本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．10.《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（

）A.1．5尺 B.2．5尺 C.3．5尺 D.4．5尺参考答案：B【分析】由等差数列的性质可得，，可得，，计算出公差d，再利用通项公式即可得出所求．【详解】设这十二个节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则，所以，由题知，所以，所以公差，所以，故选B.【点睛】本题考查了等差数列的性质、通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知三个球的半径，，满足，则它们的体积，，满足的等量关系是_______________________．参考答案：12.设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则

参考答案：（后面提供答案好像有误）因为函数为奇函数，所以，即，所以。所以13.用数字0，1，2，3，4，5，可以组成

个没有重复数字的6位偶数。（用数字作答）

参考答案：312略14.已知函数f（x）=ax3+bx+1，若f（a）=8，则f（﹣a）=．参考答案：﹣6【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式f（﹣x）与f（x）的关系，从面通过f（﹣a）的值求出f（a）的值，得到本题结论．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx+1，∴f（﹣x）=a（﹣x）3+b（﹣x）+1=﹣ax3﹣bx+1，∴f（﹣x）+f（x）=2，∴f（﹣a）+f（a）=2．∵f（a）=8，∴f（a）=﹣6．故答案为﹣6．15.已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C的离心率为________.参考答案：【分析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；当时,,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:【点睛】本题考查求双曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.16.已知正数x、y满足，则的最小值为____________.参考答案：17.=

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（为常数）.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数有两个不同的极值点，求实数a的取值范围.参考答案：（1）见解析；（2）(0,1)【分析】（1）函数的定义域为，其导数，对分类讨论即可得出单调性．（2），其导函数．令，可得，令，令，列出表格即可得出单调性，结合图象即可得出．【详解】（1）函数的定义域为，其导数①若，则，函数上单调递增；②若，令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减．（2），其导函数，令，，令，则，由，x（0，1）1+0-取极大值

又因为时，恒成立，于是函数的图像如图所示要使有两个不同的极值点，则需，即的取值范围为．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知抛物线（）的准线与轴交于点．（Ⅰ）求抛物线的方程，并写出焦点坐标；（Ⅱ）是否存在过焦点的直线（直线与抛物线交于点，），使得三角形的面积？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：解法一：（Ⅰ）由已知得：，从而抛物线方程为，焦点坐标为．

……4分（Ⅱ）由题意，设，并与联立，

得到方程：，

…………………6分设，，则，．…7分

∵，∴，……9分又，∴……10分解得， ………………11分故直线的方程为：．即或．…12分解法二：（Ⅰ）（同解法一）（Ⅱ）当轴时，，，不符合题意．

……………5分

故设（），并与联立，

得到方程：，

……………6分设，，则，．

…7分，点到直线的距离为，

………………9分∴，

…………10分解得，

…………11分故直线的方程为：．即或．

………12分

略20.已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求切线方程可得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a，b；（2）由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx﹣m（x﹣），求出导数，对m讨论，分①当m=0时，②当m≤﹣1时，③当﹣1＜m＜0时，④当0＜m＜1时，⑤当m≥1时，判断h（x）在x≥1时的单调性，由恒成立思想即可得到m的范围．解答： 解：（1）f（x）=ax+，导数f′（x）=a﹣，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0，可得f′（1）=2，f（1）=0，即a﹣b=2，a+b=0，解得：a=1，b=﹣1；（2）f（x）=x﹣，由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx﹣m（x﹣），则h′（x）=﹣m（1+）=，①当m=0时，h′（x）=＞0恒成立，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；若m≠0，令△=4﹣4m2=4（1+m）（1﹣m），②当m≤﹣1时，△≤0恒成立且﹣m＞0，即有﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立即h′（x）≥0恒成立，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；③当﹣1＜m＜0时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），由韦达定理得x1?x2=1＞0，x1+x2=＜0，即x1＜x2＜0，即有当x≥1时，﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立，即h′（x）＞0恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；④当0＜m＜1时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），0＜x1=＜1，x2=＞1即有0＜x1＜1＜x2，即h（x）在（1，x2）单调递增，即有当x∈（1，x2）时，h′（x）＞0则h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；⑤当m≥1时，△≤0且﹣m＜0，即有h′（x）≤0恒成立，h（x）在[1，+∞）上单调递减，则h（x）≤h（1）=0，合题意．综上所述，当m∈[1，+∞）时，g（x）≤mf（x）恒成立．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和求单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和二次方程的韦达定理及求根公式是解题的关键．21.（本小题满分14分）已知函数（其中，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）若，试判断函数在区间上的单调性；（Ⅱ）若，当时，试比较与2的大小；（Ⅲ）若函数有两个极值点，（），求k的取值范围，并证明．参考答案：从而在为增函数，故． 8分22.四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠DAB=135°，BC=2，SB=SC=AB=2，F为线段SB的中点．（1）求证：SD∥平面CFA；（2）求面SC