江苏省无锡市南京师范大学实验中学2022年高三数学理模拟试题含解析

江苏省无锡市南京师范大学实验中学2022年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△中，，，，则（A）

（B）（C）

（D）

参考答案：C略2.已知则（）A. B. C.3 D.2参考答案：C，选C.3.设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x－7x+2b（b为常数），则f(－2)=（

）A．6

B．－6

C.4

D．－4参考答案：A∵，∴．∴，∴．选A．

4.已知函数的定义域是，则函数的定义域为A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.某校开设9门课程供学生选修，其中3门由于上课时间相同，至多选1门。若学校规定每位学生选修4门，则每位学生不同的选修方案共有（

）

A.15种

B.60种

C.150种

D.75种参考答案：D略6.2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2014棵树所在的点的坐标是（

）

A.(9,44)

B.(10,44)

C.(10.43)

D.(11,43)参考答案：B7.已知集合则（

）A．

B．Ｃ．Ｄ．参考答案：B8.已知某几何体的三视图如左上所示，则这个几何体的外接球的表面积等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.若则下列结论正确的是A.

B.

C.

D.参考答案：A10.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，若直线y=﹣（x+）与椭圆交于点M，满足∠MF1F2=∠MF2F1，则离心率是（）A． B．﹣1 C． D．参考答案：B【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：∠MF1F2=，∠MF2F1=，∠F1MF2=90°．根据三角形的关系即可求得丨MF1丨+丨MF2丨=2a=（+1），根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率．【解答】解：如图所示，由直线y=﹣（x+），由tanα=﹣，则α=．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则∠MF2F1=，则不满足三角形的内角和为π，∴∠MF1F2=，∠MF2F1=，∠F1MF2=90°．在Rt△F1MF2中，由丨F1F2丨=2c=2，丨MF1丨=丨F1F2丨=，丨MF2丨=丨F1F2丨=，由丨MF1丨+丨MF2丨=2a=（+1），∴该椭圆的离心率e===﹣1，椭圆的离心率e=﹣1，故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数的最小值为3，则实数b的值为

。参考答案：12.若将边长为的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于

.参考答案：13.在直角三角形中,,点是斜边上的一个三等分点,则_______________.参考答案：414.如图，在中，分别是上一点，满足，若，则的面积为

参考答案：过点作于，如图所示．由，知，再由，得．设，则．又，得，，．于是勾股定理，得．又由余弦定理，得．又，所以，所以，解得或（舍去），所以＝．15.当n为正整数时，定义函数N(n)表示n的最大奇因数．如N(3)＝3，N(10)＝5，….记S(n)＝N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．则(1)S(3)＝____；(2)S(n)＝____.参考答案：22；。由题设知，N(2n)＝N(n)，N(2n－1)＝2n－1.又S(0)＝N(1)＝1.(1)S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋40＋S(0)＝22.(2)S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)]＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n－1)]，∴S(n)＝4n－1＋S(n－1)(n≥1)，∴S(n)＝4n－1＋4n－2＋…＋41＋40＋1＝.16.设为锐角，若

▲

.参考答案：17.已知关于x的不等式x2-ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________.参考答案：．恒成立，即，易得.0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。（1）求证AM//平面BDE；

（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°。参考答案：（1）见解析

（2）60°

（3）P是AC中点(1)记AC与BD的交点为N,连接NE,∵N.M分别是AC.EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形ANEM是平行四边形，

∴AM∥NE。∵平面BDE，平面BDE，

∴AM∥平面BDE。（2）建立如图所示的空间直角坐标系。则点N.E的坐标分别是（.（0,0,1）,∴=(,又∵点A.M的坐标分别是（）.（∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF。∴为平面DAF的法向量。又∵=（·=0，∴=（·=0∴为平面BDF的法向量。∴cos<>=

∴与的夹角是60o。即所求二面角A—DF—B的大小是60o。（3）设P(t,t,0)

(0≤t≤)得

=（，0，0）又∵PF和CD所成的角是60o

∴解得或（舍去），即点P是AC的中点。19.已知点M为椭圆C：3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1．即可得出离心率与焦点坐标；（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立可得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△＞0．由于直线MA与直线MB斜率之积为，可得=，把根与系数的关系代入可得：m2﹣2km﹣8k2=0，解得m=4k或m=﹣2k．分别讨论解出即可．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C的方程可化为，则a=2，b=，c=1．故离心率e==，焦点坐标为（﹣1，0），（1，0）．（Ⅱ）由题意，直线AB的斜率存在，可设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0．∴x1+x2=，x1x2=，∵直线MA与直线MB斜率之积为．∴=，∴4（kx1+m）（kx2+m）=（x1﹣2）（x2﹣2）．化简得（4k2﹣1）x1x2+（4km+2）（x1+x2）+4m2﹣4=0，∴++4m2﹣4=0，化简得m2﹣2km﹣8k2=0，解得m=4k或m=﹣2k．当m=4k时，直线AB方程为y=k（x+4），过定点（﹣4，0）．m=4k代入判别式大于零中，解得．当m=﹣2k时，直线AB的方程为y=k（x﹣2），过定点（2，0），不符合题意．故直线AB过定点（﹣4，0）．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立、斜率计算公式，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．20.（本小题满分12分）为等腰直角三角形，，，、分别是边和的中点，现将沿折起，使面面，、分别是边

和的中点，平面与、分别交于、两点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求的长．参考答案：(Ⅰ)因为、分别是边和的中点，所以，因为平面，平面，所以平面因为平面，平面，平面平面所以又因为，所以.

……4分(Ⅱ)如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，，，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，，令，解得，，则设平面的一个法向量为，则，，令，解得，则，所以二面角的余弦值为

……………8分（Ⅲ）法（一），设则，解得，

…12分法（二）取中点，连接交于点，连接，与相似，得，易证，所以……………12分21.已知函数，其中且，若，在处切线的斜率为．（1）求函数的解析式及其单调区间；（2）若实数满足，且对于任意恒成立，求实数的取值范围．参考答案：(1）的单调递减区间为，单调递增区间为;（2）．（2）当时，取，则，由于在上单调递增，则，不合题意，故舍去；当时，由抽屉原理可知，则，若，由于在上单调递减，则成立；若，，则，故，由于，则，（当且仅当时取“=”）故（当且仅当时取“=”）由于，故上式无法取“=”，因此恒成立，．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22.已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若函数的图象在点处的切线的斜率为1，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？参考答案：（1）当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）.【分析】（1）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数；②解（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），（2）点处的切线的斜率为1，即，可求值，代入得的解析式，由，且在区间上总不是单调函数可知：g′(1)＜0，g′(2)＜0，g′(3)＞0，于是可求m的范围．【详解】（1）由知：当时，函数的单