2022-2023学年河南省商丘市榆厢中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022-2023学年河南省商丘市榆厢中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数(

)（1）f（x）的图象过点（0，）

（2）f（x）的一个对称中心是（）（3）f（x）在[]上是减函数（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象． A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：C考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的周期求出ω，再由图象关于直线x=对称结合φ的范围求得φ，则函数解析式可求．①求得f（0）=说明命题①错误；②由f（）=0说明命题②正确；③求出原函数的减区间，由[]是一个减区间的子集说明命题③正确；④通y=Asin（ωx+φ）图象的平移说明命题④错误．解答： 解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，∴ω=2，又图象关于直线x=对称，则2×φ=kπ+，即φ=，k∈Z．∵﹣＜φ＜，∴取k=1得φ=．∴f（x）=3sin（2x+）．①∵f（0）=3sin=．∴f（x）的图象过点（0，）错误；②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．∴f（x）的一个对称中心是（）正确；③由，得：．取k=0，得．∵[]?，∴f（x）在[]上是减函数正确；④∵φ=＞0，∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx向左平移个单位得到，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=3sinωx的图象．∴命题④错误．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了复合函数的单调性的求法，是中档题．2.已知集合A={},B={},则A∩B=(

)A.{}

B.{}

C.{}

D.参考答案：答案：B3.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（

）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：A4.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120° B．150° C．180° D．240°参考答案：C【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，可得圆锥的母线是底面半径的2倍，进而得到圆锥侧面展开图的扇形的圆心角．【解答】解：∵圆锥的侧面积为：πrl，圆锥的底面面积为：πr2，∴若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥的母线l是底面半径r的2倍，即l=2r，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为α，则2πl=2πr，即α=180°，故选：C【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥中，侧面展开图的扇形的圆心角α满足：α：360=r：l=S底：S侧是解答的关键．5.设函数g（x）=x2f（x），若函数f（x）为定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），对任意实数x满足x2f′（x）＞2xf（﹣x），则不等式g（x）＜g（1﹣3x）的解集是（）A． B．（0，） C． D．参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．【专题】函数思想；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】由题意和乘积的导数可得奇函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，可化原不等式为x＜1﹣3x，解之可得．【解答】解：由题意可得函数g（x）=x2f（x）为R上的奇函数，∵x2f′（x）＞2xf（﹣x），∴x2f′（x）+2xf（x）＞0，∴g′（x）=x2f（x）=2xf（x）+x2f′（x）＞0，∴奇函数g（x）=x2f（x）在R上单调递增，∴不等式g（x）＜g（1﹣3x）可化为x＜1﹣3x，解得x＜故选：C【点评】本题考查函数的单调性和导数的关系，涉及函数的奇偶性，属基础题．6.已知命题，命题，则命题是命题成立的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B

考点：1充分必要条件;2不等式.7.在等差数列中，，则的前5项和=

A.7

B.15

C.20

D.25

参考答案：B因为，，所以，所以数列的前5项和,选B.8.已知ABC外接圆O的半径为1，且，从圆O内随机取一个

点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则ABC的形状为

A．直角三角形

B．等边三角形

C．钝角三角形

D．等腰直角三角形参考答案：B9.已知双曲线的右焦点F，直线与其渐近线交于A，B两点，且△为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是

A.（） B.（1，） C.（） D.（1，）参考答案：D略10.若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点)，则k的值为()A. B.

C.或－ D.和－参考答案：C【分析】直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由对称性可知k=±．故选C．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某产品连续4个月的广告费（千元）与销售额（万元）（），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①；②广告费用和销售额之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程中的.那么广告费用为6千元时，则可预测销售额约为

万元.参考答案：4.7因此

12.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是

．参考答案：﹣1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：设出曲线上的一个切点为（x，y），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alna﹣a，再求导，求最值即可．解答： 解：设出曲线上的一个切点为（x，y），由y=alnx，得y′=，∵直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，∴y′==1，∴x=a，∴切点为（a，alna），代入y=x+b，可得b=alna﹣a，∴b′=lna+1﹣a=0，可得a=1，∴函数b=alna﹣a在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴a=1时，b取得最小值﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．13.（本小题满分10分）选修；不等式选讲设函数．（I）解不等式；

（II）求函数的最小值．参考答案：（Ⅰ）令，则．．．．．．．．．．．．．．．3分作出函数的图象，它与直线的交点为和．所以的解集为．（Ⅱ）由函数的图像可知，当时，取得最小值．14.在棱长为2的正四面体P-ABC中，M，N分别为PA，BC的中点，点D是线段PN上一点，且，则三棱锥的体积为

．参考答案：由题得,由题得AN=所以.所以三棱锥M-BDC的高为.因为所以

15.若等边的边长为，平面内一点M满足,则________.参考答案：-2解析：合理建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设这样利用向量关系式，求得M，然后求得，运用数量积公式解得为-2.16.若x，y满足约束条件，则的最大值为______________.参考答案：作出可行域，如图内部（含边界），，，表示可行域内点与的连线的斜率，，因此最大值为．

17.设变量x，y满足约束条件：则的最大值为________．参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)=ex+ax-1(e为自然对数的底数).(I)当a=1时,求过点（1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；(II)若f(x)x2在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案：解：（1）当a=1时，f(x)=ex+x-1，f(1)=e，=ex+1,=e+1,函数f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程为y-e=(e+1)(x-1),即y=(e+1)x-1设切线与x轴、y轴的交点分别为A、B.所以A，B（0，-1），所以所以过点（1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为.（2）由f(x)x2得令h(x)=，，令因为x-1<0,x2>0,所以，所以h(x)<h(1)=2-e,所以略19.（本小题满分12分）已知的角A、B、C所对的边分别是，设向量,

,（Ⅰ）若∥，求证：为等腰三角形；（Ⅱ）若⊥，边长，，求的面积.参考答案：证明：(Ⅰ)∵∥，

∴，由正弦定理可知，，其中R是外接圆的半径，∴.因此，为等腰三角形.

…6分

（Ⅱ）由题意可知，，即由余弦定理可知，即，(舍去)∴.

…12分

略20.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．（１）求证：BF∥平面A′DE；（２）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．参考答案：(1)略(2)21.

已知抛物线，直线y=kx+2与C交于A、B两点，且，其中O为原点。

(I)求抛物线C的方程：

(II)点P坐标为（0，-2），记直线PA，PB的斜率分别为，证明：为定值．参考答案：略22.某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（Ⅰ）写出的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率.参考答案：解：（Ⅰ）由题意可知，．……4分（Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为，第5组共有2人，记为．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有，共15种情况．……………