2021年浙江省杭州市大学附属中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021年浙江省杭州市大学附属中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设数列{an}的前n项和为Sn，点（n，）（n∈N*）均在函数y＝x＋的图象上，则a2014＝（

）A．2014

B．2013

C．1012

D．1011参考答案：A试题分析：点（n，）（n∈N*）均在函数y＝x＋的图象上，所以，即，考点：数列与函数的综合运用，以及等差数列的通项公式和等差关系的确定2.已知R，且复数R，则ab等于

（

）A．0

B．

C．2

D．1参考答案：D3.在ΔABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asinA+bsinB<csinC，则ΔABC的形状是(A)锐角三角形

（B)直角三角形(C)钝角三角形

（D)正三角形参考答案：C略4.函数y＝(-＜x＜的图象是（

）参考答案：A5.已知集合,则

A. B.

C.

D.参考答案：C【知识点】集合的运算A1

解析：根据已知得,所以,故选B.【思路点拨】根据已知得到集合A,B,然后再求交集.6.函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数图象的平移得到，再由函数为奇函数及φ的范围得到，求出φ的值，则函数解析式可求，再由x的范围求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）图象向左平移个单位得，由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又|φ|＜π，∴，得，∴，由于，∴0≤2x≤π，∴，当，即x=0时，．故选：A．7.某旅游公司带领游客参观世博园中的五个场馆中的四个，其中场馆必须参观且第一个参观，场馆如果参观，则不能在最后一个参观，那么不同的参观顺序有（

）高考资源网

A．48种

B．36种

C．24种

D．18种参考答案：D略8.中，角A、B、C对边a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c=2a，则=()A.

B.

C.

D.参考答案：A9.下列四个结论：①若是真命题，则可能是真命题；②命题“”的否定是“”；③“且”是“”的充要条件；④当时，幂函数在区间上单调递减.其中正确结论的个数是（

）（A）0个

（B）1个

（C）2个

（D）3个参考答案：B①若是真命题，则和同时为真命题，必定是假命题；②命题“”的否定是“”；③“且”是“”的充分不必要条件；④，当时，，所以在区间上单调递减.选B．10.已知集合，，则（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：B,，所以, 选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我校在科艺节时进行高一数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m＝________参考答案：135略12.若满足且的最大值为4，则的值为

;.参考答案：考点：线性规划因为可行域如图，当时，不合题意，当时，在取得最大值

故答案为：

13.盒中装有形状、大小完全相同的7个球，其中红色球4个，黄色球3个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于．

参考答案：14.在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n=________时，Sn取得最大值.参考答案：略15.若x，y满足约束条件，则的最大值为______．参考答案：10【分析】作出不等式组表示的平面区域，利用线性规划知识求解。【详解】作出不等式组表示的平面区域如下：作出直线，当直线往下平移时，变大，当直线经过点时，【点睛】本题主要考查了利用线性规划求目标函数的最值知识，考查作图及计算能力，属于基础题。

16.若关于的方程的两个根满足则实数的取值范围是

▲

．参考答案：略17.已知，函数，若存在，使得，则实数a的最大值是____.参考答案：【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得，使得令，则原不等式转化为存在，由折线函数，如图只需，即，即的最大值是【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA1平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（1）证明：AE⊥PD‘

（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为求二面角E-AF-C的余弦值参考答案：（1）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为

E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又

BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.因为PA∩AD=A，所以

AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.

所以AE⊥PD.（2）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（1）知

AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，所以

当AH最短时，∠EHA最大，即

当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时

tan∠EHA=

因此

AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以

PA=2.解法一：因为

PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，

所以

平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，

过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,

又

在Rt△ESO中，cos∠ESO=

即所求二面角的余弦值为解法二：由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以

设平面AEF的一法向量为,则因此取,则因为

BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以

BD⊥平面AFC，故

为平面AFC的一法向量.又

=（-），所以

cos＜m,＞=因为

二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为19.已知公差不为零的等差数列{a}的前n项和为Sn，若S5=20，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}满足bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a7成等比数列及S5=20列式求得首项和公差，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn=，然后利用裂项相消法求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a1，a3，a7成等比数列，得，即，得，∵d≠0，∴a1=2d，①∵，得a1+2d=4，②联立①②得：a1=2，d=1，∴an=2+（n﹣1）×1=n+1；（Ⅱ）∵bn==，∴Tn=b1+b2+b3+…+bn==．20.如图，已知与圆相切于点，，交与点.

（I）求证：=；

（II）若圆的半径为3，，求的长.参考答案：证明：（1）可证：;

(2).略21.在平面直角坐标系中，从曲线上一点做轴和轴的垂线，垂足分别为，点（为常数），且（）（1）求曲线的轨迹方程，并说明曲线是什么图形；（2）当且时，将曲线绕原点逆时针旋转得到曲线，曲线与曲线四个交点按逆时针依次为，且点在一象限①证明：四边形为正方形；②若，求值．参考答案：解（1）设，所以，由得①当时，曲线是焦点在轴的双曲线；②当时，曲线是焦点在轴的椭圆；③当时，曲线是圆；④当时，曲线是焦点在轴的椭圆；

………6分（2）①当且时，曲线是椭圆，曲线方程为,设所以两曲线四个交点坐标，所以四边形为正方形；

………9分②设，当时，且解得．

………12分略22.已知函数在点处的切线与直线平行，且函数f(x)有两个零点.（1）求实数a的值和实数b的取值范围；（2）记函数f(x)的两个零点为，求证：（其中e为自然对数的底数）.参考答案：