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文档简介

2023年教师资格《初中数学学科知识与能力》模拟真题二

..1cosx~_()

1[单选题]r2sinr*

A.T

B.0

C.1

D.8

正确答案:A,

参考解析:利用换元法及等量代换得她

..1-cos/1・21

lim:----=Iim------=-

o/sin/f-*ot•/2c

2[单选题]已知田中的一组基为a1=(1,1,0)T,a2=(1,0,1)T,a3=(0,1,

1)T,则向量a=(2,0,0尸在基al,a2,下的坐标是()。

A.(-1,1,1)T

B.(1,-1,1)T

C.(1.1.-1)T

D.(1,1,1)T

正确答案:C

参考解析:

,%+y=2,

设向量a在基ot\,a2,a?F的坐标为(x,y,z),,即a=xa^ya1^zay,则有<x+z=0,解得

,y+z=0,

•x=1,

,y=】,故本题选C0

.Z=-1c

3[单选题]

围棋盒子中有许多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率是:,都是白子的概率喘

则,中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()

A.T

12

B.35

17

C.35

D.1

正确答案:C

参考解析:设“从中取出2粒都是黑子”为事件A,“从中取出2粒都是白子”

为事件B,“任意取出2

粒恰好为同一色”为事件C,则C=.4且凄件A

与8互斥.由题意知。(4)叶,。(8)互(C)

17

=P(.4)+P(=—~o

■12-1

2-1―1

.31-2

4[单选题]已知方程组L%」有无穷多解,则有()。

A.入=0

B.X=1

C.x=-i

D."1

正确答案:B

参考解析:因为非齐次线性方程组有无穷解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩

阵的秩小于未知

数的个数场以根据题意对增广矩阵做初等行变换为

A-l=0,即A=1时满足题意。故本题选B。

5[单选题]以下科学家与之相研究的领域不匹配的是()

A.笛卡尔一解析几何

B.帕斯卡一概率论

C.康托尔一集合论

D.祖唯之一复数论

正确答案:D

参考解析:由数学史可知,笛卡尔创立了解析几何;帕斯卡创立了概率论;康

托尔创立了集合论;祖睢之研究了圆周率而不是复数论。故选D。

6[单选题]

若P("诙)=1迅松训)=1-%其中即〈诙,则P(阳40)等于()

A.(1-a)(1-B)

B.1-(a+B)

C.1-a(l-B)

D.1-3(1-a)

正确答案:B

参考解析:由分布列的性质得。(/小£W.q)=

叼)+。(经祈)-I=(1-6)+(1-a)-

1=1-(a+6)o

7[单选题]在世界数学史上,()第一次将圆周率(R)值计算到小数点后6位,

即3.1415926到3.1415927。

A.刘徽

B.赵爽

C.祖冲之

D.秦九韶

正确答案:c

参考解析:在世界数学史上,祖冲之第一次将圆周率的值计算到小数点后六位。

22355

他提出约率7等和密率113,这-密率值是世界上最早提出的,比欧洲早iioo

年,所有人主张叫他“祖率”。

8[单选题]《义务教育数学课程标准(2022年版)》中所提到的“推理能力”,

其中“推理”一般包括()。

A.逻辑推理和类比推理

B.逻辑推理和演绎推理

C.合情推理和演绎推理

D.类比推理和合情推理

正确答案:c

参考解析:推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思

维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。

9[简答题]

『y(1+ye")dxdy

计算''其中平面区域D由直线y=X,y=T及x=l所围成。

参考解析:

2n

积分区域〃如图所示,,y(I+ye*)dxdy=Jydxdy+Jyedxdyo

DDD

根据图像分别计算二重积分如下:

Jydxdy=jdyfydx=fy(1-y)dy=(—y2-—y-)2

3

因为Jdy=Jyde*=ye'

|ye,2dy=-y-Je,2dy:=0.所以J",2e"drdy=2o

综上可得

10[简答题]

,1ar01-

A=-I川当a,b为何值时,存在矩阵c使得AC-CA=B,并求所

设110

有矩阵c。

参考解析:

斯町-z2+ax3一5%+曲

由题意可知矩阵C为2x2阶矩阵,故可设C=,则由AC-CA=B,即

々-ox.

F+aij=o,

011一”|+4+%=i,

,可得线性方程组,①

1b.X|-X)-X4=lt

x2-ax5=60

求所有矩阵C,即求出方程组①的通解.对方程组①的增广矩阵进行初等行变换:

•0-1a0O-■10-1-1r■10-1-1I•0-1-11・

-a10a1-a10ai()1-a0l+a01-fl0l+a

T—►一

10-1-110-1a000-1a000000l+a

.01-a0b..01-a0b..01-a0b..00006-1-a.

由于方程组①有解,故有1+。=0,卜1-。=0,即。=-1炉0,

「0a001■i0r

0a00o工产啕,

从而有],故有,其中为任意实数,从而

0100000

.00b..00000.

巾|+年1

有。=

k1

11[简答题]

已知关于X的一元二次函数f(x)=ax2•-4bx+lo

(1)设集合P={1,2,3},Q={—1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一

个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+8)上是增函数的概率;(3分)

(2)

.X+y-8W0,

设点(*6)是区域卜>0,

I>0

内的随机点,记人={丫=乳分有两个零点,其中一个大于1,另一个小于1},求事

件A发生的概率。(4分)

参考解析:已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2—4bx+lo

(1)设集合P={1,2,3},Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个

数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+8)上是增函数的概率;

(2)

.x+y-8S0,

设点(a,6)是区域L>0,内的随机

I>0

点,记A={丫=乳制有两个零点,其中一个大于1,另一个小于1},求事件A发生

的概率。

(1),函数f(x)=ax2—4bx+l的图象的

对称轴为*=—,要使/(*)=a?-4H+1在区

a

间[1.+8)上为增函数,则需a>0,且劲W1,

a

即a>0,且26Wa.若a=】,贝lj6=-1;若a=2,则

b=-1或1;若。=3,则6=-1或1,记8={函

数,=/(4)在区间[】,+8)上是增函数一则第

件8包含的基本事件的个数是1+2+2=5,P

(幻=/=9

⑵依条件可知试验的全部结果所构成的区域为

fl=<(at6)a>0,卜其面积S“:

,I6>0,)

--x8x8=32。

2

事件4构成的区域4:

1o+b~8WO,,

1a>0,

<《a,b)|,=

6>0,

、i/(1)<0-

r|a+b-8wO,'

a>0,

<《a.6)>>

[6>0.

lIa-46+1<0^

由a+b-8=0a-4b+l=0,得交点坐标为(2,g),作图可知趋于区域A的顶点分别

为(?,1),(0,:),(。,8),

/.SA=2x(8-三二%,

2,4,540

事件A发生的概率P(Q=白=鬻

3。IJrVV

12[简答题]

已知函数z=z(x,y)由方程z=xy+ez-3确定。

(1)

求偏导数关■及Z的全微分;

⑵求曲面z=z(x,y)在点(2,1,0)处的切平面方程。(4分)

参考解析:已知函数z=z(x,y)由方程z=xy+ez—3确定。

(1)

求偏导数靠■及z的全微分;

⑵求曲盘z=z(x,y)在点(2,1,0)处的切平面方程。

(1)设F(x,y,z)=ez-z+xy-3.

户=e*-1,

dx__'ay_/,,一]_/,

(lz=-'-dx+---dy0

111✓0

1t-pI-p

(2)

由(1)可知.『,(2.1,0)=1,尸,(2,1.0)=

2,尸“2.1,0)=00

所以曲面在点(2,1.0)处的切平面的法向肽为

(1,2,0),

故所求切平面的方程为(4-2)+2()-1)=0,即

x+2y-4=0

13[简答题]

如何理解数据分析观念,请举例说明怎样培养学生的数据分析观念?

参考解析:数据分析观念包括:“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查

研究,收集数据,通过分析做出判断,体会数据中的蕴涵信息;了解对于同样的

数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分

析体验随机性,一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同,另一方面只

要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。”

第一,设计问题情境,使学生体会到生活和工作需要收集数据,需要分析数据,

需要从数据中获取新信息,对问题做出决策。如:统计同学们的身高、体重、生

日、爱吃的水果,统计商店里每个月空调的销售情况、一定时间内通过十字路口

的车辆情况、本地区的用电量、六一开展什么活动等例子,都是和我们生活息息

相关的重要的相关数据。这些内容都可以从不同的方面吸引学生主动开展统计活

动,通过对数据的收集整理分析,了解到周围的人和事物的相关信息,体验到统

计的价值所在,从小培养统计观念。

第二,创设活动情境,让学生感受数据,形成数据意识。教师应该根据不同年级

的学生设置学生喜欢的数据,从中体会数据蕴涵的信息,感受数据的作用,形成

遇到问题能想到收集数据、获取信息的意识。比如:统计“我们最爱吃的水果”,

可创设情境:元旦联欢会上,要为同学们准备一些水果,每种水果准备多少比较

合适呢?要是知道同学们喜欢吃什么就好了?以此激发学生想到可以通过数据统

计知道同学们喜欢吃水果的情况,让学生带着愉快的心情自主投入学习。这实际

上就是培养学生的一种数据意识,是小学阶段统计学的最核心的问题。

第三,引导学生经历统计活动的全过程,发展学生的数据分析观念。观念的建立

是人们不断地通过亲身经历而获得。要使学生逐步建立统计观念,最有效的方法

是让他们真正投入到统计活动的全过程中去:调查研究、收集数据、整理数据、

分析数据、获取信息、做出决策、进行交流、评价与改进。这种活动将有利于发

展学生的发现能力和创新精神。

第四,数据分析观念的培养需要贯穿整个教学的始终。在小学阶段,每个年级的

教材中都编排了整章节的统计与概率的内容,这是培养数据分析观念的良好载体。

可其他章节中的内容如“圆周率的求证、质数和合数的认识”等等,都可以通过

数据分析来获得。教学中老师要善于把握教学内容,不断应用强化数据分析的方

法,发展学生的数据分析观念。

第五,开展实际活动,积累数据分析应用的例子,增强统计观念和统计能力。在

教学中,教师要通过实际活动,让学生通过观察和独立思考,对提供的数据进行

符合其认识水平的分析和解释,做出一些简单的判断和推理,从而锻炼其提出问

题和解决问题的能力,培养其独立思考能力、实践能力和创新精神,进一步体会

统计的价值,增强统计观念。

总之,在现实教学中,还可以让学生收集报纸、杂志、电视中公布的数据,分析

它们是否抽样得当,有没有提供数据来源,来源是否可靠等,这样能提高学生分

析问题、解决问题的能力,促使学生更好地认识世界。同时学生不仅学到了统计

知识,还把统计的意义落到了实处,增强了统计观念,达到学生数据分析观念的

培养目的。数据分析观念的培养对学生的发展具有重要意义。理解了数据分析观

念的含义,这不但可以增强学生的数据意识,而且能够通过调查研究、收集数据、

分析数据、获取信息、做出决策,使学生认识到数据的作用,从而形成用数据统

计分析思考解决有关问题的意识和策略,还可以让学生从个别现象去了解整体规

律,学会归纳推理,培养学生的创造精神,增强学生的成就感。

14[简答题]、

,x=r+1,

已知曲线乙的方程为,,

.y=4/-t2

(1)讨论曲线L的凹凸性;(3分)

⑵过点(T,0)引L的切线,求切点(x0,y0),并写出切线的方程;(4分)

⑶求⑵中切线与L(对应于xWxO的部分)及x轴所围成的平面图形的面积。(3

分)

,x-r+1,

已知曲线〃的方程为,

参考解析:*二4一广

(1)讨论曲线L的凹凸性;(3分)

⑵过点(T,0)引L的切线,求切点(x。,y。),并写出切线的方程;

⑶⑴求⑵中切线与L(对应于xWx。的部分)及x轴所围成的平面图形的面积。

虫4-2/2,

案子一小强乂年),士二-3

当”0时.白<0.故曲线L是凸的。

nr*

(2)

当1=0时,x'(0)=0,y1(0)=4,x(0)=1.

y(0)=0,半=为,

则/=0时4在对应点处切线方程为工=I,不符

合题意.故设切点(而,为)对应的参数为%>0,则

L在(飞,九)处的切线方程为y-(4,0-4)=

(--1)<.r-rj-】),令*=y=0,

得4+/0-2=0,解得%=1或%=-2(舍去),

由卜=】知,切点为(2,3),且切线方程为y=x+la

(3)

令>=4,-J=0,得A=0出=4,对应曲线L

与X轴的2个交点为(1,0)和(17,0),由以上讨论知曲线L和所求切线的图象大致入图所

示,故所求平面图形的面积为S=£6c+dx-f^ydx=^-八1Ct-FldCt2+

15[简答题]

不等式|x-11<3有几种解题方法?什么是解题方法多样化?解题方法的多样化有什

么用?

参考解析:(1)不等式|xTl<3有两种解法,一种是不等式两边平方后,解一元

二次不等式;另-种是根据绝对值的几何意义解不等式。

(2)解题方法多样化是指在问题的解决过程中鼓励学生独立思考,鼓励学生用自

己的方法解决问题,这样在学生群体中就出现了多样化的解题方法。因此,解题

方法多样化的实质就是指学生独立思考,从而达到学生群体解题方法的多样化,

并非学生个体解题方法多样化。

⑶解题方法多样化要求学生通过自身的独立思考获得问题解决的方法与策略,

既可以发展学生的自主学习能力,而在其后各自方法的交流中,学生通过对各自

方法的比较、汇报,又可以促进学生之间的合作与交流。因而解题方法多样化有

利于学生转变学习方式,从而培养学生的发散性思维和创造性思维,打破解题方

法单一的思维定势;有利于培养学生多角度分析问题、解决问题的能力,促进学

生形成遇到问题从不同角度思考的数学思维品质;有利于学生开阔思路,发现数

学不同知识点之间的内在联系,从而激发学生对数学学习的兴趣和探究欲望。通

过经历一道题目用两种或多种方法解答的思维过程,学生不再是只关注“把题目

做出来”的结果,而是学着关注“有几种方法可以解这道题”的过程。

16[简答题]

案例:在学习“二次函数的图象与性质”,探究二次函数y=ax2有哪些性质时,

两位教师进行了如下设计:

设计1:

活动⑴请画出二次函数y=x,y=2x2,y=3x?的图象和二次函数y=-x\y=-2x2,

y=-3x2

的图象。

活动⑵从图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性五个方面来研究

它们的性质有什么共同特点。

学生分组交流、展示。

设计2:

教师运用课件投影展示二次函数y=x?,y=2x2,y=3x?和y=-x\y=-2x2,y=-3x?的

图象,给学生讲解图象的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性的特征。

问题:

(1)分析设计1的教学设计意图;(5分)

(2)结合本案例分析自主探究与合作交流的意义,简述教学过程中如何引导学生

进行自主探究和合作交流;(7分)

(3)对比分析这两个教学设计的理念。(8分)

参考解析:(1)通过让学生自己画图,经历二次函数图象的形成过程,感知图

象的形状,为探究其图象的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性打下基础,

使抽象的知识变得直观,既降低了学习的难度,又锻炼了学生的学习能力:通过

合作交流的学习方式让学生进行思维的碰撞,在交流过程中体会合作的乐趣,培

养学生的合作意识,符合《义务教育数学课程标准》(2022年版)的理念。

(2)《义务教育数学课程标准》(2022年版)指出,认真听讲、积极思考、动手实

践、自主探索、合作交流都是学习数学的重要方式。教学活动是师生积极参与、

交往互动、共同发展的过程,有效的教学活动是学生学与教师教的统一,学生是

学习的主体,教师是学习的组织者、引导者和合作者。学生的学习应当是一个生

动活泼的、主动的和富有个性的过程。

自主探究就是引导学生自主学习以促使学生进行主动的知识建构的一种学习方

式。自主学习不是让学生漫无目的的学习,而是在问题的引领下,让每个学生都

积极主动地去探索,去学习,自主学习能力可以说是学生学会求知、学会学习的

核心,它是一种在教师的科学指导下学生制订有效的学习计划和学习策略,调节

和控制各种行为的创造性学习活动。

合作交流是基于自主学习的一种学习方式,通过小组合作把问题的答案进行总结

提升,把不会的问题弄明白,小组合作交流学习更能突出学生的主体地位,培养

学生主动参与的意识,激发学生的求知欲;小组合作学习能为学生提供一个较为

轻松、自主的学习环境,提高学生的创造性思维能力;小组合作学习的方式强化

了学生的责任感。合作交流就是让学生由被动变为主动,发挥学生的主体作用,

组内成员相互合作,小组之间合作、竞争,激发学习热情,挖掘个体学习潜能,

增大信息量,可以使学生在互补促进中共同提高。

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