2023年广东春季高考学考数学知识点归纳总结（复习备考）

2023广东春季高考知识点总结

广东省春季高考(学考)数学知识点归纳总结

第一章集合

一、集合的基本概念

(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号e或e表示.

(3)常见数集集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

的记法

符号NN+(N*)ZQR

(4)集合的分类

若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分

为点集，如：〃=｛(xM|x+y=l｝、数集，如：N=｛_y|x+y=l｝,等.特别注意空集是

一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集

用符号“0，，表示.

理解集合的意义一抓住集合的代表元素。如:数集｛x|产f(x)｝表示产f(x)的定义域，数

集｛y|y=f(x)｝表示y=f(x)的值域，点集｛(x,y)|y=f(x)｝袤示y=f(x)的图像：

(5)集合相等

如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是

/的元素)，则称这两个集合相等.

二、.集合间的基本关系

文字语言符号语言

相等集合力与集合8中的所有元素都相同A=B

集合间

的基子集A中任意一个元素均为B中的元素A=B

本关系

A中任意一个元素均为8中的元素，且8中至少

真子集AWB

有一个元素不是4中的元素

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空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

A是B的子集=AUB=BoAnB=A,

对于含有〃个元素的有限集合子集数目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集

的个数依次为2n,2n-l,2n-l,2n-2；若A集合有m个元素，B集合有n个元素，且

A=M=B,则这样的集合M有2*m个.(0是任何集合的子集，条件为/三8时不要

忘了4=0的情况).

三、集合的表示：列举法、描述法、图示法.

理解集合的意义，如:数集｛x|产f(x)｝表示尸f(x)的定义域，数集｛y[y=f(x)｝表示

y=f(x)的值域，点集｛(x,y)|y=f(x)｝表示y=f(x)的图像；

四、集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

图形语言掇

AUBADB

符号语言/U8={x|xGN或xG8}CM=且X生/}

注意：已知集合A、B,当Zc8=0时，你是否注意至『，极端，，情况：0rl8=0；求

集合的子集时不能忘记0

五、全称量词与存在量词命题

⑴全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；

全称量词命题p：它的否定石€此/)(外，

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用"”表示；

存在量词命题P：女eM.尸⑶，它的否定iP：VxeM.i(x)

(3命题-真假与P相反.

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六、充分必要条件

（1）如果p=q,则0是a的充分条件,〃是的必要条件;

（2）如果p=q,q=p,则p是q的充要条件.

（3）若p=q,且qtp,则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；

若poq,则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件；

若p/q,且则p是q的既不充分也不必要条件，同时q也是p的既不充分也

不必要条件.

七.充分必要条件的两种判断方法

（1）定义法：同上；

（2）集合法：根据p、夕成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

建立与p、q相应的集合，即0:4={x|p（x）成立},q:8={x|q（x）成立}.

若则p是4的充分条件，若4妥B,则p是夕成立的充分不必要条件；

若8=4,则p是4的必要条件，若8基4,则P是q成立的必要不充分条件；

若力=8,则夕是q成立的充要条件；

若A0B且B®A,则p是q成立的既不充分也不必要条件.

第二章不等式

一、不等式的基本性质：

（1）基本性质

①a>bob<a（对称性）②a>b,b>cna>c（传递性）

③a>bna+c>b+c（加法单调性）

④a>b,c>0=>ac>bc,a>b,c<0=>ac<bc（乘法单调性）

（2）运算性质

①a>b,c>dna+c>b+d（同向不等式相加）②a>b,c<d=>a—c>b—d（异向不等

式相减）

③a>b>0,c>d>0=ac>bd（同向不等式相乘）④a>b>0,0<cVdn0>2（异向

cd

不等式相除）

⑤a>b>0nV^>标（neZ,且n>l）（开方法则）⑥a>b>0na，bn（neZ,且n>

1）（乘方法则）

注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法、绝

对值法。

（2）不等式两边同时乘以负数要变号！！

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（1）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。

二、重要的不等式：

（1）a2+b2>2ab,当且仅当a=6时，等号成立。

（2）a+622而（a/eR"）,当且仅当a=6时，等号成立。

（3）若则湖4（等j（当且仅当a=6时取“=”）

注：色吆（算术平均数）（几何平均数）；例：若x>0,则x+』22（当且仅

2x

当x=l时取“=”）若x<0,则x+，4—2（当且仅当x=—1时取"="）；若ab>0,

X

则jq+2z2（当且仅当a=b时取

ba

三、一元二次不等式的解法

（1）保证二次项系数为正

（2）分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根：

（3）定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。

2

（4）设相应的一元二次方程ax+bx+c-0（a力0）的两根为孙x2Kx,<x2,

△=〃-4ac,则不等式的解的各种情况如下表:

A>0A=0A<0

y=ax2+bx+cy=ax2+6x+cy=ax2+bx+c

二次函数d!yL1\

y=ax2+bx+ctr

（a〉0）的图象

o工cu

一元二次方程有两相等实根

有两相异实根

ax2+bx+c=0b

XpX（x,<x）X\=X2=一丁无实根

（a>0力勺根222a

2

ix+hx+c>Qb

(x|x<X］或X>x2}<xxw--->

&>0)的解集2aR

ax2+bx+c<0

卜k<x<x)

20

伍>0)的解集0

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四、绝对值不等式的解法

1)形如|ax+b|N|cx+d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式

求解.

2)单绝对值不等式冈〉a与|x|<a的解集

不等式。〉0a=0a<0

1<a{jr|-a<Zx<Za}00

I才|{1z|z>a或—a}{8R

3)|ax+b|<c(c>0)和|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法|ax+b|<c0一cWax+bWc(c>0),

|ax+b|>c=ax+b>c或ax+b<-c(c>0).

4)双绝对值不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解.

例:l2x+3l-2o-2W2x+3<2,|3x-2|22=3x-222或3x-2W-2

(口诀)大于取两边，小于取中间。

五、分式不等式的解法：

分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分变成标准型再

g(x)

转化为整式不等式f(x)g(x)>0求解，注意最高次项的系数要为正，分母是否有等

于。

1)标准化：移项通分化为细>0(或细<0)：区220(或软<0)的形式，

g(x)g(x)g(x)g(x)

2)转化为整式不等式(组)/⑴>0o/(x)g(x)>0：/(''。。产内⑸上。

g(x)g(x)[g(x)#0

9Y—35—x

例：———-<0o(2x-3)(x+l)<0;------>0<=>(5-x)(x-1)，。且

x+1x-1

x-1#0

第三章函数

一、函数

1、定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则/，对A内任一个元素x,在B

中总有一个且只有一个值y与它对应,则称/是集合A到B的函数，可记为:/:A-B,或

/:x—y.其中A叫做函数/的定义域.函数/在x=a的函数值，记作/(〃),函数值的全体

构成的集合C(CUB),叫做函数的值域.

2、函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。

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注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。

3、函数的三要素：定义域、值域、对应法则

(1)定义域的求法：使函数(的解析式)有意义的x的取值范围

(2)常见函数定义域的求法

(1)分式函数中分母不等于零，0指数累的底数不为0.

(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域为R.

(4)对数y=logax,(a>0且a*l),x>0的真数要大于0,底数大于0且不等于1；

(5)y=r(a>0且存1)，y=sinx,y=cosx,定义域均为R.

(6»=tanx的定义域为{邓印析+工左GZ}.

(7)实际问题满足实际意义。

例：求函数/(x)=J-~-+A/6-X-X2+log2(x-2)的定义域;

Vx+1

(3)值域的求法：了的取值范围

1、一次函数y=依+6(。N0)的定义域为R,值域为R；

2、二次函数了=/+6x+c(a/0)的定义域为R,

i

〃>耐，值域是[也~—/+oo);a<OHt,值域是(-<»,也~—]

4a4a

3、反比例函数〉=勺4#0)的定义域为{x|xNO},的值域为N|"0,且yeR}

4、指数函数1，=d(。>。也力)的值域为(0,+8)。

5、对数函数^=10&工(4>0目^a1)的值域为区；

6、分式函数J,=M的值域为卜|了片氏且yeR}。

7、另求值域的方法：配方法、性质法、换元法、不等式法、数形结合法、函数的

单调性等等。

(4)解析式求法：在求函数解析式时可用代入法、换元法、构造法、待定系数法等。

二、函数的单调性：

增函数：函数值随自变量的增大而增大，减少而减小。

减函数：函数值随自变量的增大而减小，减少而增大。

①正比例函数/(x)=b(&¥0),当k>0时为增函数，当k<0时为减函数；

②一次函数府)=丘+6(原0),当上0时为增函数，当k<0时为减函数；

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③反比例函数外)=：(原0),当k>0时，函数在区间(-8,0)和(0,+8)上是减函数，当k<0

时，函数在区间(-8,0)和(0,+8)上是增函数；

④二次函数的单调性：对函数/(x)=ax?+bx+c(aN0),

当a〉0时函数/\x)在对称轴x=-2的左侧单调递减，右侧单调递增；

2a

当a<0时函数/(x)在对称轴x=~—的左侧单调递增，右侧单调递减；

2a

⑤对数函数y=k>g/(a>0且存1),当0<。<1时，函数为减函数，当时，函数为

增函数.

⑥指数函数^=/(。>0,且“#1),当0<。<1时，函数为减函数，当心1时,函数为

增函数.

1、定义的等价命题：设x”X2e［a,“

(1)♦如果八"一口小>0(X|WX2),则函数在［a,可是增函数

X\~X2

♦(Xj-^2)［/(XI)-/(x2)］>0则函数在［a,可是增函遨

♦对于任意的机，都有/(加+1)>/(阳)，则函数在［a,用为增函数。

(2)♦如果/(：)：［(“2)<0(工产芍)，则函数在［凡可是遮函数

♦(石一》2)［/(芭)一/(》2)］<0=/(x)在可是减函数。

♦对于任意的"?，都有/(〃?+1)</(〃?)，则函数在［a,用减函数。

2、增+增=增减+减=减增-减=增减-增=减。

3、复合函数的单调性：同增异减

三、函数的奇偶性：

奇函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相反。图象关于原

点对称。

偶函数：定义域关于原点对称，自变量取相反值时函数值与原函数值相同。图象关于y

轴对称。

1)、定义域关于原点对称；偶函数关于y(即x=0)轴对称，奇函数关于(0,0)对称,

2)、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=Q,」也=±1

/(-x)

3)、若奇函数的定义域为全体实数R,则/(0)=0；

4)、/(x)±g(x)：奇±奇=奇、偶土偶=偶；y=/(x)-g(x)：同偶异奇；

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5）、奇函数的在对称区间上的单调性相同；偶函数的在对称区间上的单调性相反;

6）、复合函数的奇偶性（口诀：内偶即偶，内奇同外）。

7)、常见的偶函数：/(x)=x2n,/(x)=|x|,/(x)=cosx,/。)=/+尸等等。

常见的奇函数：/'(x)=x2,,+l,/(x)=kx,f(x)=—,/(x)=sinx,/(x)=ax-a~x,

X

四、函数图像的变换

（1）平移（左加右减、上加下减）

向左平移向右平移

y=/(x)>=/(x)一y=/(x-a)

〃个单位a个单位

向上平移向下平移

V=/(x)fV=/(x)+ay=/(x)-^y=f(x)-a

a个单位a个单位

（2）翻折

轴

y=/(x)—V=一/(x)

上、下对折

,=保留X轴上方图像

,（X）下方翻折到上方一歹=1/(x)|

五、二次函数

（1）二次函数的三种解析式

①一般式：/(x)=ax2+bx+c(a*0)

②顶点式：/（x）=a（x-k）2+h（。工0）,其中（左,〃）为顶点

③两根式：f（x）=a（x-）（x-x2）（。工0）,其中X|、巧是/（x）=0的两根

（2）图像与性质

二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：

1开口a>0->开口向上a<0->开口向下

2对称轴：x=~—顶点坐标：（-—,4qC~62）与y轴交点坐标（0,c）

2a2a4a

3增减性

①当a>0时，对称轴左侧x<-2,y随着x的增大而减小，在对称轴的右侧

2a'

x>-—,丁随x的增大而增大；

2a

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②当。<0时，对称轴左侧x<-2,y随着X的增大而增大，在对称轴的右侧

2a

y随X的增大而减小；

A>0->有两交点

4△与X轴的交点：，△=()一有1交点④根与系数的关系：(韦达定理)

A<0->无交点

b

X)+=--

a

a

⑤/(x)=ax2+6x+c为偶函数的充要条件为6=0

⑥二次函数(二次函数恒大(小)于0)

y(x)>o<=>—°=图像位于x轴上方

A<0

/(X)<0=，"<°=图像位于x轴下方

A<0

⑦若二次函数对任意X都有/(/-x)=/(/+x),则其对称轴是x=f。

第四章指数函数与对数函数

一、指数塞的性质与运算

(1)根式的性质：

①〃为任意正整数，而)"=a②当〃为奇数时，叱="；当〃为偶数时，

行=|a|

③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。

(2)零次塞：a0=1(a#0)

(3)负数指数惠：晨"=?(arO,〃eN*)

tn__

(4)分数指数塞：a"='-x[a^"(a>0,阳,〃eN+且”>1)

(5)实数指数塞的运算法则：(a〉O,〃?,〃eH)

①，②③(al)"=a"

1.幕运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小

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的一个数的〃次方。

c宜飞蟠/当a>0时，y=x"在（0,+oo）上单调递增

当a<0时，y=x"在（0,+8）上单调递减

3.指数与对数的互化：ah=N<^log,,N=b（°>0且。*1）、（N>0）

loe,,A

4.对数基本性质：①log“a=1②loga1=0③a=N

④log“a"=N

⑤logab与log；,。互为倒数olog“b-log；,a=1olog„b=--------

log〃a

@10g„b"=—logb

mfl

5.对数的基本运算：

M

log“(M-N)=logM+log„Nlog„—=log„M-log„N

aN

6.换底公式：log“N=N(b>0且力w1)

log/,Q

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哥(次)或用换底公式或是利用中间值0，1来过渡。

9.指数方程和对数方程：①指数式和对数式互化②同底法③换元法④取对数法

注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

5、反函数：原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域。图象

关于直线y=x轴对称。

设函数y=f(x)的定义域是D,值域是f(D)。如果对于值域RD)中的每一个y,在D

中有且只有一个y使得g(y)=x,则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把

该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为

x=rHvhlGf(D),即：4X)=/-“X),X€/(D),£-1(X)=f(X),X€D；

(1)对数函数y=log“x与指数函数y=/(a>0,且a丰1)互为反函数。

(2)原函数的定义域是其反函数的值域；反函数的定义域是原函数的值域；

反函数的性质：

1.函数y=F(x)的图象和它的反函数y=f'(X)的图象关于直线y=x对称；

2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的单调性。

3.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数.

4.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的反函数就是它本身.反之

也成立。

5.点P(a,b)关于直线y=x对称的点是Pi(b,a).

第五章数列

等差数列等比数列

每一项与前一项之差为同一个常数每一项与前一项之比为同一个常数

a-a=a-a=...=a-a_=d

定2x32nnx"=&=…=2=q①H0)

%42%

注：当公差d=0时，数列为常数列注：等比数列各项及公比均不能为0；

义

当公比为1时，数列为常数列

通

a“=a+(n-l)d1

项t%=

公f5,(〃=1)5,(〃=1)

式a=va„=«

"lSn-Sn-Xl\(n>2)/S“-S“T(«>2)

/7—a

(1)d="(1)厂

推n-m

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(2)an=am+{n-m)d(2)%=W

论

(3)若加+〃=p+q,则。加+*=Qp+%(3)若〃?+〃=p+q,则。所/二。〃%

三个数a、氏c成等差数列，则有三个数a、b、c成等比数列，则有

项

公2b=a+cob="+'b2=ac

式2

前nn(a^n(n-^

s=dS("1)

"212“\-q\-q

第六章三角函数

1.弧度和角度的互换

180"=万弧度1°=2弧度“0.01745弧度1弧度=(二)°”57。18,

180

2.扇形弧长公式和面积公式

=\a\-r5扇=|a|•/(记忆法：与S

3.任意三角函数的定义:

22对边邻边x

r=y]x+y，sina=

斜边rC0Sa=Mii=7

4.特殊三角函数值

角度0030,45°60°90°120。135°1500180。270”360°

角

71TC717127r37573冗

a弧度02万

~67yTT~6T

J旦V3V3

sina0i也0-10

22TVV2

V3J_V2_V|

cosa1也0-101

TT~2

角2

不

函存_V3不存

tana0i-V3-i00

数在

33在

值

不

存不存不存

cotaV3i迫0-i-V30

在~T在在

5.三角函数的符号判定

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(1)口诀：一全二正弦，三切四余弦。(三角函数中为正的，其余的为负)

(2)图像记忆法

6.三角函数基本公式

(1)平方关系：sin'(z+cos2a=1。sin2a=1-cos2acos2a=1-sin2a

zy(a。—Fk?rrkez)9nAy

(2)商数关系：----二tana2cosa=-------

cosatana

(3)应用公式时注意方程思想的应用：对于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa

这三个式子，利用(sin。土cosa)2=l±2sinacosa,可以知一求二.

(4)sina,cosa的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于sina,cosa的齐次式,

sina-3cosa

利用陋3=tana可以实现南a的弦切互化如：sina+cosa分子与分母同时除以

cosa

♦22

cosa变成只有tana的式子；或含有sm-a,cos〃及sinacosa的式子求值时，可

将所求式子的分母看作T,利用“sin?a+cos2a=1”代换后转化为“切，，后求解.

如：sin,a+sinacosa=然后分子与分母同时除以cos%变

sin:a+cos2a

成只有tana的式子.

7.诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。

TT

解释：指左.七+Q(左£Z),若左为奇数，则函数名要改变，若％为偶数函数名

2

不变。

(l)sin(2〃)+a)=sina,cos(ikrc+a)=cosa,tan(2Z;r+a)=tana(AeZ).

(2)sin(+cif)=-sincr,cos(〃+a)=-cosa,tan(乃+a)=tana.

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

(4)sin(万一a)=sina,cos(乃一a)=-cosa,tan("一a)=-tana.

口诀：函数名称不变，符号看象限.

cos-+a二-sina.

(2J

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.

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8、已知三角函数值求角a:

(1)确定角a所在的象限;(2)求出函数值的绝对值对应的锐角优；(3)写出满足条件的

0〜2万的角；(4)加上周期(同终边的角的集合)

9、和角、倍角公式

⑴和角公式：sin(cr±/3)=sinacosP±cosasinp注意正负号相同

cos(a±(3)=cosacos夕干sinasin0注意正负号相反

tana±tan

tan（6z±/?）

1+tanatan0

⑵二倍角公式sin2。=2sinocos。

c2tana

cos2a=cos2a-sin2a=l-2sin2a=2cos2tan2a=--------「

1一tarr。

「2a

]+co5ct=2cos2-1-cosa.=2sm—

22

(3)半角公式：si吟=±4|1-cosa

9.三角函数的图像与性质

y=sinxy=cosxy=tanx

k

yy

图象\Jt2/2/

-o014

TV%

*7C

定义域RRxwk兀〜——，攵GZ>

2J

值域Hl][T,I]R

当x=+{kGZ）当x=2k兀（左£Z）时，

Znax=1；

时，J』T；既无最大值也无最小

最值当x=2左乃+乃

当x=24乃-5（%EZ）时,值

（左WZ）时,%=T-

•Vmin二一1.

周期性2zr2万兀

奇偶性奇函数偶函数奇函数

_.7V_.TV在［2左"一乃］(4wZ)在(171;乃）

单调性在2k7r----,24江+一K7C----.K7T+—

22_上是增函数；22）

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(kGZ)上是增函数；在［22肛22万+句(4eZ)上是增函数.

^\lk7t+-,2k7r+—(斤eZ)上是减函数.

.22.

/eZ)上是减函数.

对称中心对称中心

(k兀,0)(kGZ)(左万+5,0)(左GZ)对称中心

仁，。卜eZ)

对称性对称轴

对称轴

(兀+无对称轴

x=1/(keZ)x=k兀(keZ)

7.正弦函数了=Zsin(qr+9)(A>0,(y>0)

(1)定义域A,值域［-4图

(2)周期：T=竺27r

CO

(3)注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x的系数提出来，再

看是怎样平移的。

(4)y=asinx+6cosx+/sin(x+°)

8.正弦定理

-^—=L=-^=2R(火为A48c的外接圆半径)

sinAsinBsinC

其他形式：(1)a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC(注意理解记忆，可只记

一个)

(2)a:6:c=sin/：sin8:sinC

9.余弦定理

a2=b2+c2-2hccosAncosA="(注意理解记忆，自己写出

2bc

另外4个公式)

10.三角形面积公式

S..=—aZ>sinC=—&csinA=—acsinB(注意理解记忆，可只记一个)

MBB。C222

11.海伦公式：So=1P(P-a)(P-b)(P-c)(其中P为ZU5C的半周长，

pi>。)

2

第七章平面向量

1.向量的概念

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（1）定义：既有大小又有方向的量。

（2）向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A,终点为B的向量表示为茄。

（3）向量的模（长度）：|翡|或㈤

（4）零向量：长度为0,方向任意。

单位向量：长度为1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。

反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。

2.向量的运算

（1）图形法则

加法：AB+BC=AC减法：AB-AC=CA

（3）运算律：加法交换律、结合律注：乘法（内积）不具有结合律

3.数乘向量：（1）模为：|4||。（2）方向：4为正与1相同；2为负与々相

反。

4.刀的坐标：终点B的坐标减去起点A的坐标。AB^（xB-xA,yB-yA）

5.向量共线（平行）：三唯一实数2,使得1=（可证平行、三点共线问题等）

6.平面向量分解定理：如果1是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上

的任一向量a,都存在唯一的一对实数天,》2,使得a=再与+。

7.注意A48c中，重心（三条中线交点）、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、

内心（内切圆圆心：三角平分线交点）、垂心（三高线的交点）

8.向量的内积（数量积）

（1）向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围［0,加。

（2）内积公式：a-=|a||61cos<a,b>

9.向量内积的性质：

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—►-•n•h—-»-•一

（1）cos<a,b>=-二二-（夹角公式）（2）a.Lba-b=0

\a\\b\

（3）a•>=|a［或|a|=Ji•a（长度公式）

10.向量的直角坐标运算：（1）AB=（x8-xA,yB-yA）

（2）设。=区,必）花=（'2/2），贝1J。±芯二区±%2,必土歹2）4"（回,肛）

a-b=%］X2+y1y2

11.中点坐标公式：若A（x”必）,BO2,必），点M（x,y）是线段AB的中点，则

12.向量平行、垂直的充要条件：设。=（项,必）［=（/,％），则

3〃刃=%="（相对应坐标比值相等）

夕2

aLboa-Z=0=xtx2+必％=0（两个向量垂直则它们的内积为0）

11.长度公式

（1）向量长度公式：设a=（x,y）,则|a|=Jx2+/

（2）两点间距离公式：设点工区,必）,8（X2,%），则I4B|=—xj2+（%—%产

第八章平面解析几何

1.曲线C上的点与方程2x/）=0之间的关系：

（1）曲线C上点的坐标都是方程/（x/）=0的解；

（2）以方程尸（x,y）=0的解（xj）为坐标的点都在曲线。上。

则曲线C叫做方程尸（x,y）=0的曲线,方程尸（x,历=0叫做曲线C的方程。

2.求曲线方程的方法及步骤：（1）设动点的坐标为（x,y）；（2）写出动点在曲线上的

充要条件；（3）用xj的关系式表示这个条件列出的方程；（4）化简方程（不需要

的全部约掉）；（5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解

变形的话第五步可省略。

3.两曲线的交点：联立方程组求解即可。

4.直线：

（1）倾斜角a：一条直线/向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾

斜角。其范围是［0,万）

（2）斜率：①倾斜角为90°的直线没有斜率；②左=tana（倾斜角的正切）

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③经过两点6区,必),鸟(万2，%)的直线的斜率K=上匹(X尸》2)

x2-Xj

(3)直线的方程

1两点式：之二21=33②斜截式：y=kx+b

乃一必X2-%)

③点斜式：y~y0=k(x-x0)④一般式：Ax+By+C=0

设直线方程的一些常用技巧：

令知直线纵截距6,斜率存在时常设其方程为丁=履+6；

令知直线横截距x。，常设其方程为x=〃?y+x.(它不适用于斜率为0的直线)；

令知直线过点(%,%),当斜率％存在时，常设其方程为y=k(x-/)+为，当斜率左不

存在时，则其方程为x=x0；

令与直线/:Ax+By+C=0平行的直线可表示为Ax+By+Cx=0；

令与直线/:4r+By+C=0垂直的直线可表示为Bx-Ay+CX-Q.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。

注：求直线的方程最后要化成一般式。

(4)两条直线的位置关系

/,：4%+用工+。1=0/:Jx+Bx+C=0

:y=k[X+4：V=k2x+b22222

4与平行k}=公且Awh2

4B2C2

人与乙重合k[=左2口力i=b?

A=A=£L

“2C2

士

4与，2相交k、wk2-4-丰-B-\

a星

川k}-k2——144+B、B>=0

注：系数为0的，情况可画图像来判定。

5.距离公式

(1)平面上的。百点PGi,yi).2(X2,闻间的距离公式尸典=

q(xi-X2)2+(JL/)2.

(2)点P(xo,y°)到直线/：Zx+8y+C=0的距离

(3)两条平行多戈Ax-\-By-\-C\=G与Ax+By-\-C2=0间的距离为