三角函数的图像和性质

【课题】5.6三角函数的图像和性质【教学目标】知识目标：理解正弦函数的图像和性质；理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法；了解余弦函数的图像和性质．能力目标：认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数；会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图；通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力．【教学重点】(1)正弦函数的图像及性质；(2)用“五点法”作出函数y=sinr在［0,2π］上的简图.【教学难点】周期性的理解．【教学设计】(1)结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数；(2)利用诱导公式，认识正弦函数的周期；(3)利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像；(4)观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质；(5)观察类比得到余弦函数的性质．【教学备品】课件，实物投影仪，三角板，常规教具．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学过 程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题5.6三角函数的图像和性质*创设情景兴趣导入问题介绍介绍了解问题引起学生教 学教师学生教学时过 程行为行为意图间观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个■的^小时后，显示的时间是多少呢？再经过12个小时后，显示的奇心时间是多少呢？…….解决质疑思考每间隔12小时，当前时间2点重复出现.引导推广提问学生类似这样的周期现象还有哪些？引导领会思考5*动脑思考探索新知概念对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T，当X取思考周期定义域D内的每一个值时，都有x+T∈D,并且等式讲解性比f(x+T)=f(x)成立，那么，函数y=f(x)叫做周期函数，常理解较抽象注数T叫做这个函数的一个周期.引导重引由于正弦函数的定义域是实数集R,对α∈R,恒有分析导学α+2kπ∈R(k∈Z),并且sin(α+2kπ)=sinα(k∈Z),因此正弦领会生不函数是周期函数，并且2π,4π,6π，…及-2π,-4π,■■断用都是它的周期.通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍说明实例用T表示.今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期.因强调记忆理解领悟此，正弦函数的周期是2π.10*构建问题探寻解决说明介绍了解渗透由周期性的定义可知,在长度为2π的区间(如[0,2π],[-2π,0],[2π,4π])上，正弦函数的图像相同，可以通过平移认知化繁强调为简的思想和[0,2π]上的图像得到.因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[0,2π]上的图像.问题方法用“描点法”作函数y=SinX在[0,2π]上的图像.质疑思考解决教 学过 程教师行为学生行为教学意图时间把区间［0,2只］分成12等份，并且分别求得函数y=SinX在建立各分点及区间端点的函数值，列表如下：(见教材)分析领会描点以表中的X,y值为坐标，描出点(%»)，用光滑曲线依次联引导作图结各点，得到y=SinX在［0,2π］上的图像.(见教材)步骤推广演示将函数y=SinX在［θ,2π］上的图像向左或向右平移2π,4π，…，就得到y=SinX在(∞,+∞)上的图像，这个图汇总理解像叫做正弦曲线.(见教材)20*动脑思考探索新知概念正弦曲线夹在两条直线y=-1和y=1之间，即对任意的角X，都有卜inx∣1成立，函数的这种性质叫做有界性.一般地，设函数y=f(X)在区间(〃力)上有定义，如果讲解思考充分利用图像存在一个正数M,对任意的X∈(a,b)都有If(X)∣M，那么函讲解数y=f(X)叫做区间(a,b)内的有界函数.如果这样的M不存说明理解分析在，函数y=f(X)叫做区间(a,b)上的无界函数.函数显然，正弦函数是R内的有界函数.性质归纳引导领会正弦函数y=SinX的定乂域是实数集R.具有下面的性质：分析(1)是R内的有界函数，其值域为L1,11.当X=π+2kπ(k∈Z)时，y=1；当X=-π+2kπ(k∈Z)2 max 2时,y=-1.min体会归纳理解数形结合(2)是周期为2∏的周期函数.数学(3)是奇函数.思想(4)在每一个区间(-π+2kπ,π+2kπ)(k∈Z)上都是增函2 2强调记忆的应数，其函数值由-1增大到1；在每一个区间用(π+2kπ,3π+2kπ)(k∈Z)上都是减函数，其函数值由1减小2 2教过学程教师行为学生行为教学意图时间到1.^30*动脑思考探索)观察发现，正弦键点：(0,0),描出这五个点形状就基本上确)描出这关键的五，而得到正弦函数彳法”新知网数3k2后，皂了.卜点，生［0,yy=SinX在［0I (π,D/正弦函数y=Si因此，在精确,然后用光滑的2∏］上的简图.；,2π］上的图像中有五个关’3-,", (2-,0)∙I2 7nX,在［0,2π］上的图像的度要求不高时，经常首先曲线把它们联结起来，从这种作图方法叫做“五点质疑引领总结观察思考体会五点可以教给学生自我发现总结35*巩固知识典型例题例1利用“五点法”作函数y=1+SinX在［0,2π］上的图像.分析y=SinX图像中的五个关键点的横坐标分别是0,-,2-,2,2π，这里要求出y=1+SinX在五个相应的函数值，2从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像.解列表说明讲解观察思考主动求解安排与知识点对应例题巩固新知X0∏2∏3∏22π注重SinX^01^0-10画图y==1+SinX12101引领时对以表5-6中每组对应的X,y值为坐标，描出点(X,y)，用光滑的曲线顺次联结各点得到函数y21IT=I÷sfrι工质疑分析归纳理解细节的强调和引领不等式的求解过程y=1+Si例2已解因为nX在-口SinJSinX八、，I 0［0,2n］上的图像. TC=a-4,求a的取值范围.≤1,所以Ia-4∣≤1,即Γπ3π2π2X讨论求解教 学过 程教师行为学生行为教学意图时问—1a—41,可以解得 3a5.≤≤故a的取值范围是［3,5］.≤≤例3求使函数y=sin2X取得最大值的元的集合，并指出最大值是多少.强调启发思考领会教给学生独立完成分析将2X看作正弦换.解设U=2X，则使函函数中的自变量，因此需要进行变量替数y=sinU取得最大值1的集合是引导明确引导学生体会1uπ.iJu=—+2kπ,k∈Z>,2 J换元由 2X=得 X二u=—+2kπ,2π7—+kπ.4讲解理解数学方法思想50故所求集合为“X=4+kπ,k∈ZJ,函数y=sin2X的最大值是L*运用知识强化练习教材练习5.6.11.利用“五点法”作函数y=—sinX在［0,2π］上的图像.提问动手关注.利用“五点法”作函数y=2sinX在［o,2∏］上的图像..已知Sinα=3—a,求a的取值范围..求使函数y=sin4X取得最大值的X的集合，并指出最大值是多少？巡视指导求解交流学生知识掌握情况55*构建问题探寻解决渗透余弦函数的定义域是R.由于对X∈R恒有X+2kπ∈R(k∈Z)并且cos(X+2kπ)=CoSX,可知余弦函数是周期函数，其周期是2π.问题介绍强调了解认知化繁为简的思用“描点法”作出余弦函数y=CosX在［0,2π］上的图像.解决质疑思考想和方法教 学过 程教师行为学生行为教学意图时间把区间［0,2π］分成12等份，并且分别求得函数y=cosX在各分点及区间端点的函数值，列表(见教材).以表中的X,y值为坐标，描出点(%»)，用光滑曲线顺次联结各点，得到函数y=CoSX在［0,2π］上的图像(见教材).推广将函数y=CoSX在［0,2π］上的图像向左或向右平移2π,4π，…，，就得到余弦函数y=CoSX在(-*+8)上的图像(见教材).这个图像叫做余弦曲线.引导演示总结领会主动求解理解注意图像细节处理65*动脑思考探索新知归纳余弦函数y=cosX(XWR)的定义域是实数集R,余弦函数有如下性质：⑴是有界函数，其值域为Ll,l］.当X=2kπ(kGZ)时，y=1；当X=(2k+1)π(kGZ)时，y=—1.max min⑵是周期为2π的函数.⑶是偶函数.⑷在区间((2k—1)π,2kπ)(kGZ)内是增函数，函数值从—1增加到1；在区间(2kπ,(2k+1)∏)(kGZ)内是减函数，函数值从1减少到—1.讲解引导分析归纳强调思考理解领会记忆充分利用图像讲解分析函数性质类比正弦函数70*巩固知识典型例题例4用“五点法”作出函数)=—CoSX在［0,2π］上的图像.分析y=cosX图像中的五个关键点的横坐标分别是0,-,π,23π生，2π,这里要求出y=-cosX在这五个关键点上的相应函2数值，从而得到五个点的坐标，最后用光滑的曲线联结这五个点，得到图像.解列表质疑说明引领讲解观察思考主动求解强调五点的特占八、、注意作图的步X0∏2∏3∏22π教 学过 程教师行为学生行为教学意图时间CoSX 1 0 -1 0 1汇总总结理解领悟骤和方法75y=—coSX -1 0 1 0 -1以表中的X,y值为坐标，描出点(X,y),然后用光滑的曲线顺次联结各点，得到函数)=-cosX在［0,2π］上的图像1y=-cosXI I .~δπ3τ?K―兀 X*运用知识强化练习教材练习5.6.2用“五点作图法”作