高一数学人教版两角和与差正弦余弦正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）年级：高成套一的课件成套的教案成套学的试题科成：套的数微学专题（尽在人高教中A版）主讲人：杨数学震同涛步资源大全QQ群55学251146校8也：可联北系微京信市fjm一ath加零入九中学百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）年 级：高

一主讲人：杨震涛学 科：数 学（人教A版）学 校：北京市一零九中学5.5

三角恒等变换3p

2cos(a

-)

=，cos(a

-2kp)

=.cosa-sin

a2知识回顾：形如诱导公式（一）sin(a

+

2kp)

=

sina

,cos(a

+

2k

p)

=

cosa

.这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换.利用诱导公式化简(k

˛

Z):cos(

p

-

b

)

=

sin

b，cos(p-

b)

=

_-

cos

b

,cos(-b)

=

_cos

b，3p

2cos(a

-)

=，cos(a

-2kp)

=.cosa-sin

a2从化简的结果发现：都与任意角α（β）的正弦或余弦有关.利用诱导公式化简(k

˛

Z):cos(

p

-

b

)

=

sin

b，cos(p-

b)

=

_-

cos

b

,cos(-b)

=cos

b观察本组练习的结构特征：两角差的余弦;2特殊角kp与任意角α（β）的差.cos(p-

b

)

=

-cos

b𝛼

=

π2𝛼

=

π𝛼

=

0cos(0

-

b)

=

cos

b𝛽

=

3π2cos(a

-

3p)

=

-sina2𝛽

=

2𝑘πcos(a

-2kp)

=

cosa2cos(

p

-

b

)

=

sin

b思考：

cos(α－β)的展开公式可能与哪些值有关?cos(a

-

b

)差角的余弦我们用到哪些知识探究cos(α－β)与sinα、cosα、sinβ、cosβ间的关系？以往经验：诱导公式（一）sin(a

+

2kp)

=

sina

,cos(a

+

2k

p)

=

cosa

.三角函数的定义、单位圆、圆的特殊对称性.公式推导：利用三角函数定义，动手作图：以x轴非负半轴为始边,任取两角α、β,两角终边分别交单位圆于A1，P1.利用三角函数定义，动手作图：以x轴非负半轴为始边,任取两角α、β,令α്

𝛽

൅2𝑘π（𝑘∈

Z），终边分别交单位圆于A1，P1.如图任意角a、b,且（0,2p）内与a终边相同的角大于（0,2p）内与b终边相同的角.如图任意角a、b,且（0,2p）内与b终边相同的角大于（0,2p）内与a终边相同的角.如图a

,b都在第一象限,且（0,2p）内与a终边相同的角大于（0,2p）内与b终边相同的角.令角α，β为锐角，且α>β.A1

(cos

b,

sin

b

),P1

(cosa

,

sin

a

).思考：如何找到与cos(α－β)相关的点P？令角α，β为锐角，且α>β.A1

(cos

b,

sin

b

),P1

(cosa

,

sin

a

).思考：如何找到与cos(α－β)相关的点P？P(cos(a

-

b

),

sin(a

-

b

)).AP

=

A1

P1.1

1,1

1.AOP

@A

OP如何发现cos(α－β)与sinα、cosα、sinβ、cosβ间存在的等量关系？在单位圆中找到与α-β相关的等量关系.—

AOP

=

—

A1OP1

=

a

-

b，

AP

=

AP证明：线段A1P1=AP.法1扇形AOP绕着点o旋转β角，则点A、P分别与A1、P1重合，则AP

=A1P1.所以AP

=A1P1.证明：线段A1P1=AP.法2—

AOP

=

—

A1OP1

=

a

-

b，在单位圆中AOP

@A1OP1，所以AP

=A1P1.平面上任意两点

A(x1

,

y1

),

B(x2

,

y2

),AB2

=

BC2

+

AC2=

(x

-

x

)2

+(

y

-

y

)2

,1

2

1

2AB

=

(x

-

x

)2

+(

y

-

y

)21

2

1

2（两点间距离公式）以AB为斜边，构建直角ACB,利用两点间距离公式表示线段AP与A1P1，推导cos(α－β)公式.AP2

=[cos(a

-b)-1]2

+sin2

(a

-

b)，A

P2

=

(cosa

-

cos

b

)2

+

(sin

a

-

sin

b

)2，1

1[cos(a-b)-1]2

+sin2(a

-b)

=(cosa

-cosb)2

+(sina

-sinb)2.\

cos2(a-b)-2cos(a

-b)

+1+sin2

(a

-b)=cos2

a

+cos2

b

-2cosa

cos

b

+sin2

a

+sin2

b

-2sina

sin

b，\

-2

cos(a

-

b)

+

2

=

2

-

2

cosa

cos

b

-

2

sin

a

sin

b，\

-2

cos(a

-

b

)

=

-2

cosa

cos

b

-

2

sin

a

sin

b.P(cos(a

-

b

),sin(a

-

b

)),A1(cos

b,sin

b),

P1

(cosa

,sina

),

A(1,

0).cos(a

-

b

)

=

cos

a

cos

b

+

sin

a

sin

b

.当α=𝛽+2𝑘π

𝑘∈𝑍

，左式=cos

2

k

p=1，右式=cos

2

b

+sin

2左式=右式，

上式成立.b

=1，1

11

1AP=A

P

.如图任意角a、b,且（0,2p）内与a终边相同的角大于（0,2p）内与b终边相同的角.仍有—AOP=—AOP，cos(a

-

b

)

=

cos

acos

b

+

sin

asin

b

.cos(a

-

b

)

=

cos

a

cos

b

+

sin

asin

b

.如图任意角a、b,且（0,2p）内与b终边相同的角大于（0,2p）内与a终边相同的角.扇形AOP绕着点o旋转β角，由圆的旋转对称性得，则点A、P分别与A1、P1重合，则AP

=AP

.1

1所以AP

=A1P1.任意角a、b，都有AP=A1P1.cos(a

-

b

)

=

cos

a

cos

b

+

sin

a

sin

b

.公式理解对于任意角α，β有cos(a

-

b

)

=

cos

a

cos

b

+

sin

a称为差角的余弦公式，简记作C(α-β).1.式中的α，β为任意角;2.左边的角是α-β，右边的角是α，β;3.同名相乘，符号相加.sin

b

.典例剖析例1.利用公式C(α-β)证明:（1）

cos(

p

-a

)

=

sin

a；2（2）

cos(p-a)

=-cosa.2

2

2pp解：（1）cos(

p

-a

)

=

cos cosa

+sin sin

a=

0

+1·sin

a

=

sin

a；（2）cos(p

-a

)

=

cos

pcosa

+sin

psin

a=

-1·cosa

+

0

·sin

a=

-cosa

.发现上述诱导公式与差角的余弦公式间的联系.例2.已知sin

a

=4

,a

˛

(p

,p),cos

b

=-5

,b是第三象限角，5

2

13求cos(a

-b).解：由sin

a

=

4

,a

˛

(

,5

225p

p),得

cosa

=-

1-

sin2

a

=

-

1-(

4)

=-53，13又由cos

b

=-5

,b是第三象限角，得13

13sin

b

=-

1-

cos2

b