第五节函数极值与最大值最小值

第五节 函数的极值与最大值最小值（二）一、最值的求法二、应用举例三、小结 思考题一、最值的求法⑴最值问题：在工农业生产、工程技术和科学实验中，常常会遇到在一定的条件下，怎样使“成本最低”、“利润最大”、“用料最省”、“效率最高”等问题，这类问题一般可化为求某一函数(称为目标函数)的最大值或最小值问题。⑵最值定义：设f

(x)在区间D上有定义,若存在x0

˛

D,使得对D上的一切x,恒有f

(x)£

f

(x0

)(或f

(x)‡f

(x0

)),则称f

(x0

)是f

(x)在D上的最大值(或最小值).函数的最大值与最小值统称为最值，使函数取得最值的点称为最值点。⑶最值与极值的区别：①极值是对极值点的某个邻域，最值是对整个定义区间。②极值只能在区间内取，最值可在端点或区间内取得。ob

xo

ay

y

yab

x

o

a

b

x若f

(x)˛

C[a,b]，除个别点外处处可导，且至多有有限个导数为零的点，则f

(x)在[a,b]上的最大值与最小值存在.从以上几段曲线可以看出：最值可以在开区间(a,b)内点处取得，即极值点，也就是有限个驻点与导数不存在的点，同时最值也可以在整个区间的端点处取得。由此可按以下方法进行求最值。【闭区间上的连续函数求最值的步骤】求驻点和不可导点;求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较2中诸值的大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;【注意】在实际问题，如果开区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)二、应用举例【解】x

˛

[-3,1]

[2,4]2

x

˛

(1,2)x

˛

(-3,1)

(2,4)x

˛

(1,2)f

(

x)

=2-

x

+

3

x

-

x2

-

3

x

+

2【例1】求函数y

=x

2

-3

x+2

在[-3,4]上的最大值与最小值.-

2

x

+

3f

¢(

x)

=

2

x

-

3驻点为

x

=

3

不可导点有两个为：x

=

1

,

22最大值f

(-3)=20，比较得最小值f

(1)=f

(2)=0.由于f

(-3)

=

20

,f

(2)

=

0

,f

(1)

=

0

,f

(4)

=

6

,f

(3)

=

1

,2

4xyo12y

=

x2

-

3

x

+

2【注意】

y

=

x在x

=0

点不可导y

=x

x

在x

=0

点可导故y

=x

-a

在x

=a

点不可导y

=

(

x

-

a)

x

-

a在x

=a

点可导由此得y

=x2

-3

x

+2

=x

-1

x

-2

在x

=1,2

处不可导敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？点击图片任意处播放\暂停【例2】【解】(1)建立敌我相距函数关系设t

为我军从B处发起0.5公里追击至射击的时间(分).敌我相距函数(0.5

+

t

)2

+

(4

-

2t

)2s(t

)

=4公里BAs(t

)s(t

)s

(t

)

=.(0.5

+

t

)2

+

(4

-

2t

)25t

-

7.5令s

(t

)=0,得唯一驻点t

=

1.5.故得我军从B处发起追击后1.5

分钟射击最好.0.5公里4公里BAs(t

)s(t

)

=

(0.5

+

t

)2

+

(4

-

2t

)2(2)求s

=s(t

)的最小值点.【特别注意】若函数在一个区间（有限或无限、开或闭）内可导且只有一个驻点 ，且这个驻点是函数的极值点，则这个极值就是函数在这个区间内的最值（如下图示）.xyo

abx0xbx0o

ay常利用此性质证明不等式：如《高数学习指导》P78

3（9）

①

—⑧【实际问题求最值应注意】建立目标函数;求最值;若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最值．【例3】某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？

10【解】

设房租为每月x元，租出去的房子有50

-

x

-套18，0

每月总收入为

10R(

x)

=

(

x

-

20)

50

-

x

-

180

10

R(

x)

=

(

x

-

20)

68

-

x

10

10

5R¢(

x)

=

68

-

x

+

(

x

-

20)

-

1

=

70

-

xR(

x)

=

0x

=350

（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.10

最大收入为R(x)=(350

-20)

68

-350

=10890(元)处的切线与直

线y

=0

及x

=8所围成的三角

形面积最大．【例4】由直线y

=0，x

=8

及抛物线y

=x

2

围

成一个曲边三角形，在曲边y

=x

2

上求一点，使曲线在该点点击图片任意处播放\暂停【解】

如图,设所求切点为P(x0

,y0

),则切线PT为y

-

y0

=

2

x0

(

x

-

x0

),

y

=

x2

,0

020\

A(1

x

,

0),B(8, 16

x

-

x2

)0

0C

(8,

0),TxyoPABC1

12

22000(8

-

x

)(16

x

-

x

)\

S

=DABC0(0

<

x

£

8)+

16

·16)

=

0,14020(3

x

-

64

x¢令

S

=解得30x

=16(舍去).0x

=

16

,16

s¢( )

=

-8

<

0.3为极大值.2716

4096\

s(

3

)

=故s(16

)=4096

为所有三角形中面积的最大者.3

27三、小结注意最值与极值的区别.实际问题求最值的步骤.【思考题】若f

(a)是f

(