耦合电感的伏安关系

耦合电感的伏安关系第一页，共六十九页，编辑于2023年，星期五耦合电感和理想变压器是电路中的两种元件，同属于磁耦合元件，它们在实际中有着广泛的应用。所谓磁耦合，是指载流线圈通过彼此的磁场而相互关联的现象。但耦合电感和理想变压器又有各自的特点，耦合电感是动态元件，能够储存能量，而理想变压器既不储存能量也不消耗能量，只是按照一定的变比传递能量。本章主要介绍互感现象、耦合电感的同名端、耦合系数；耦合电感的电压电流关系；含有耦合电感的电路的分析。最后简单介绍空心变压器、理想变压器及其应用。第八章耦合电感与理想变压器第二页，共六十九页，编辑于2023年，星期五依法拉第电磁感应定律，线圈两端的感应电压与磁链的关系为：8.1耦合电感的伏-安关系图8-1匝数为N的自感线圈感应电压与线圈电流的关系为：其中，

，在这里L称为自电感。第三页，共六十九页，编辑于2023年，星期五当具有自电感L1、L2的两个线圈紧密靠近时，如图8-2(a)所示。N1、N2是线圈1、2的匝数。当两个线圈都有电流时它们的磁场相互关联的。为简化分析，先让线圈2的电路开路。8.1耦合电感的伏-安关系图8-2线圈1在线圈2产生的互感图(b)是为了说明线圈2的感应电压极性与线圈的绕向有关。第四页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

8.1耦合电感的伏-安关系设电流i1在线圈1中产生的自感磁链为11，在线圈2中产生的互感磁通为21。线圈1的总磁通1为：当1随时间变化时，线圈1的感应电压为：

因为只有磁通21经过线圈2，所以线圈2的感应电压为：第五页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

8.1耦合电感的伏-安关系M21称为线圈1对线圈2的互感系数，简称互感，单位H。通常M的值取正。第六页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

同理，若在线圈2中通以交变的电流，线圈1的电路开路，如图8-3所示。8.1耦合电感的伏-安关系图8-3线圈2在线圈1产生的互感线圈2的总磁通2为：第七页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

8.1耦合电感的伏-安关系当2随时间变化时，线圈2的感应电压为：

因为只有磁通12经过线圈1，所以它的感应电压为：第八页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

总结：互感M的大小表明一个线圈在另一个线圈中产生感应电压的能力。M越大，产生的感应电压越大。8.1耦合电感的伏-安关系其中，M12称为线圈2对线圈1的互感系数。当两个线圈在同样的环境下时，可以证明，M21=M12。因此当两线圈有耦合作用时，可省去下标，用M表示互感。第九页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

在耦合电赶的伏-安关系中，因自电感的电流与感应电压都是对同一个线圈，感应电压的实际方向与线圈中的电流符合关联参考方向。而互感是衡量一个线圈的电流在另一个线圈中产生感应电压的能力，因此感应电压的极性与另一个线圈的绕向有关。绕向不同，互感磁通可能会削弱自感磁通，也可能增强自感磁通。8.1耦合电感的伏-安关系在分析电路时耦合线圈一般用电路符号表示，不能具体表示出元件的内部结构，实际的互感元件也看不见线圈的绕向，因此，常在电路图中的互感线圈上标注互感电动势极性的标记，这就是同名端的标记。第十页，共六十九页，编辑于2023年，星期五是各取耦合线圈的一端，标上“•”或“*”号，这一对端子称为同名端。它们之间的关系是：若设一端是产生互感电压的电流的流入端，则另一端的是互感电压的“+”端。反之，若一端是产生互感电压的电流的流出端，则另一端是互感电压的“-”端。8.1耦合电感的伏-安关系同名端定义：在变压器和互感器出厂时，厂家已用同名端的标记符号在它的外壳上标示出线圈的相对绕向。当然，可以根据同名端的定义，也可以用实验的方法确定同名端。第十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

图8-4用同名端标识耦合电感的电路模型8.1耦合电感的伏-安关系图8-2可简化为图11-4（a）的电路模型，图中1、2端互为同名端，或1＇、2＇端互为同名端。图8-4(b)、(c)、(d)给出的是另外三种情况的电路模型。第十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期五例8-1求图8-5(a)，(b)中耦合电感的端电压u1,u2。图8-5耦合电感的电路模型8.1耦合电感的伏-安关系解：（a）电路，电流i1从1端流入，根据同名端的定义，在线圈2中产生的互感电压极性一定是3端为正。因此，电流i1在线圈2中引起的互感电压与线圈2的端口电压u2方向是一致的，第十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

因此有：同理可得：8.1耦合电感的伏-安关系对图（b）电路，线圈2同名端的位置与图(a)中相反，而端口电流、电压的定义方向一致，因此互感电压的极性一定与式（a）的u1和u2一定相反。端口的伏安关系：第十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

图8-6耦合电感的相量电路模型8.1耦合电感的伏-安关系耦合电感元件可用相量模型表示：对应的伏-安关系表示为：第十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期五8.1耦合电感的伏-安关系用受控电压源等效的方法表示电路中耦合线圈的互感作用：等效经过这样的转换，两线圈之间不再有耦合关系。

相量表示第十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期五因为通常情况下，

21<11，12

<22，所以k的值是介于0和1之间。

工程上用它来描述两线圈的耦合程度。即：

8.1耦合电感的伏-安关系耦合系数定义：将两线圈的互感磁通与自感磁通的比值的几何平均值。即：第十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

8.1耦合电感的伏-安关系若21

=11，12

=22，即：每个线圈产生的磁通全部通过另一线圈，则k=1：称两线圈是全耦合。k=0，两线圈无耦合。k值的大小反映了耦合的程度，它与线圈的结构、相互位置及周围的介质有关。(a)松耦合(b)紧耦合图8-8耦合电感的耦合程度示意图当k<0.5时，称为松耦合，当k>0.5时，称为紧耦合，如图8-8所示。第十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期五8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路

一、耦合电感的串联一对耦合电感的串联有两种方式：顺串和反串。顺串是将两线圈的异名端相联，如图8-9(a)所示。根据同名端的定义与互感电压极性的关系，可得到用受控源表示的电路，如图8-9(b)所示。图8-9耦合电感的顺串第十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

图8-9耦合电感的顺串因此得到：8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路顺串后的等效电感。等效为无互感的电路：第二十页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

反串是将两线圈的同名端相联，如图8-11(a)所示。同样可得到用受控源表示的电路，如图8-11(b)所示。8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路图8-11耦合电感的反串因此有：第二十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期五8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路反串后的互感对磁通起“削弱”作用。图8-12无互感的反串等效电路反串后的等效电感等效为无互感的反串电路：第二十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路顺串时的等效阻抗：反串时的等效阻抗：结论：串联的两个电感若有互感时，等效阻抗不仅与自电感阻抗有关，还与互感阻抗和串接方式有关。第二十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期五耦合电感并联的连接方式有两种，如图8-13所示。（a）是同名端连接在同一节点上，称为同侧并联电路；

(b)是非同名端连接在同一节点上，成为异侧并联电路。图8-13耦合电感的并联电路8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路二、耦合电感的串联第二十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期五对同侧并联电路，有：因为

，所以有：同侧并联电路的等效电感为：8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路第二十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

对异侧并联电路，同理可得到等效电感为：8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路三、去耦等效电路在分析含有耦合电感的电路中，常常会有图8-14（a）所示的部分。在计算时常用等效电路模型来代替，以方便计算。8-14(a)同名端连在公共端点上第二十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期五下面推导它们之间的转换关系：去耦等效电路8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路(a)同名端连在公共端点上

(b)去耦等效电路

图8-14同名端相连的耦合电感及其去耦等效电路

对(a),由同名端的定义与互感电压极性的关系，可得：第二十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

对(b)电路，依据KVL有:8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路(a)同名端连在公共端点上

(b)去耦等效电路

图8-14同名端相连的耦合电感及其去耦等效电路

第二十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

将两式的系数进行比较，可以得到：

若改变同名端的位置，如图8-15(a)所示，可以得到8-15(b)所示的去耦等效电路图。

(a)异同名端连在公共端点上(b)去耦等效电路图8-15耦合电感及其去耦等效电路8.2耦合电感的串并联和去耦等效电路第二十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期五对含有耦合电感的电路，若是正弦稳态电路，可用相量法进行分析，也可在时域内进行分析。在列电压方程，要注意耦合电感上有互感电压。也可灵活应用上一节中得到的结论进行分析。在这一节中主要通过几个实例来分析含有耦合电感的电路。8.3对含耦合电感的电路分析第三十页，共六十九页，编辑于2023年，星期五图8-16例8-2电路8.3对含耦合电感的电路分析例8-2求图8-16(a)所示电路的输入阻抗。解：利用去耦T形等效变换，得到图1(b)的等效电路。

容易得到电路的输入阻抗为：第三十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期五图8-17例11-3电路8.3对含耦合电感的电路分析例8-3试列出求解图8-17电路中的电流方程。

解：利用去耦模型，得到图8-18的等效电路。

图8-18图8-17电路的去耦等效电路第三十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

图8-18图8-17电路的去耦等效电路

依KVL列两个回路的电压方程，依KCL定律列节点a的电流方程，得到：8.3对含耦合电感的电路分析第三十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期五例8-4电路如图8-19所示。已知L1=L2=10，M=5，R1=R2=6，Us=6V，求其戴维南等效电路。图8-19例11-4电路8.3对含耦合电感的电路分析解：依据同名端的定义，电感L2和电阻R2的电压方向如图8-19所示。首先计算电路的开路电压。第三十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期五用去耦等效电路求，将电压源短路，得到如图所示的去耦等效电路。则：8.3对含耦合电感的电路分析计算从ab端看进去的等效阻抗Zo：电路的戴维南等效电路如图下所示。第三十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期五例8-5用受控电压源法和去耦等效法，求图8-21中耦合线圈的去耦等效电路。图8-21例8-5电路8.3对含耦合电感的电路分析解：用两种方法对图8-21的耦合电感去耦，可使含有它们的电路计算更简单明了。但要注意，要一对一对线圈去耦。第三十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

用受控电压源法得到的等效电路如图8-22所示。图8-22受控电压源法得到的等效电路8.3对含耦合电感的电路分析第三十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

图8-23T变换得到的去耦等效电路8.3对含耦合电感的电路分析用T变换去耦法得到的去耦等效电路如图8-22所示。第三十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期五变压器是电子、电力和电器设备中常用的器件。如：在电力系统中，输送一定功率的电能。在电力系统中，输送一定功率的电能时，使用变压器可以减少线路上的电能损失，并减小导线截面，节约有色金属。在发电站的交流发电机因绝缘的问题发出的电压不能太高，要用升压变压器将发电机发出的电压升高，然后再输送出去。在用户方面电压又不宜太高，太高就不安全，所以又须用降压变压器把电压降低，供给用户使用。

8.4空心变压器通常用电设备所需的电压数值是多种多样的。例如：机床用的三相交流电动机，一般用220V的电压；机床上的照明灯，一般使用36V的安全电压。这就需用变压器把电网电压变换成适合各种设备正常工作的电压。第三十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期五在实际工作中，除用变压器变换电压外，在各种仪器、设备上还广泛应用变压器的工作原理来完成某些特殊任务。例如焊接用的电焊变压器；冶炼金属用的电炉变压器；整流装置用的整流变压器；输出电压可以调节的自耦变压器、感应调压器；供测量高电压和大电流用的电压互感器、电流互感器等。在电子电路中，变压器还用来变换阻抗。不同种类的变压器，机构形状虽然各有特点，但其工作原理基本上是一样的。

8.4空心变压器第四十页，共六十九页，编辑于2023年，星期五变压器通常由两个耦合线圈围绕在同一个芯子上利用电磁感应原理制作而成。其中一个线圈与电源相连，称为初级线圈，另一个线圈与负载相连，称为次级线圈。8.4空心变压器一、空心变压器的电路模型空心变压器的芯子是由非铁磁性材料做成，例如塑料、木材、或心子是空的，只有空气。这类变压器常作为收音机和电视中的元件。第四十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

图8-24空心变压器的电路模型在正弦稳态下，对图中的两网孔列KVL方程，得到：8.4空心变压器图8-24中，设初级线圈的输入电压是正弦电压，R1，R2是线圈的电阻，ZL是负载设Z11=R1+jL1，为初级回路自阻抗，Z22=R2+jL2+ZL，为次级回路自阻抗，ZM=jM，由上面的方程可到：第四十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

8.4空心变压器第四十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

从电源端看进去的输入阻抗为：令

ZR是次级回路的阻抗通过互感反映在初级回路中的等效阻抗，称为反映阻抗。

8.4空心变压器二、变压器的反映阻抗第四十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

由上式可以得到：反映阻抗与耦合电感的同名端无关。若次级回路是闭合的，初级回路中除了Z11自阻抗外，还增加了反映阻抗。即：次级回路对初级回路的影响是由反映阻抗来体现的，它是很重要的一个性质。图8-25是初级回路的等效电路。图8-25空心变压器的初级等效电路模型8.4空心变压器第四十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期五例8-6在图8-26的电路中，试计算初级回路的输入阻抗和电流。已知Z1=60-j100，Z2=30+j40，ZL=80+j60。图8-26例11-7图8.4空心变压器解：第四十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期五初级回路的电流为：8.4空心变压器图8-26例11-7图第四十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期五将实际变压器理想化，要满足的三个条件：8.5理想变压器理想变压器是实际铁心变压器的理想化模型。设变压器电路的初级线圈的匝数为N1，次级线圈的匝数为N2N1/N2=n变压器的变比1、初级和次级线圈无电阻损耗，即R1=0=R2；2、耦合系数k=1，即全耦合；3、线圈的感抗为无限大，即L1、L2、M。第四十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期五图8-27是理想变压器的电路模型如图所示：图8-27理想变压器的电路模型8.5理想变压器现分析它的回路电流、电压之间的关系：初、次级线圈的伏安关系：第四十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期五得：8.5理想变压器图8-27理想变压器的电路模型因为是全耦合，k=1，所以

，因此有：第五十页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

因为理想变压器器是全耦合。全耦合磁通分布如图8-28所示，有：11=21，22=12。8.5理想变压器图8-28全耦合示意图

因为在初级和次级线圈端口感应电压与磁通的关系为：

第五十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

因此初、次级端口电压的关系：且有：8.5理想变压器因为：得到：因为，所以有：

第五十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期五8.5理想变压器总结:

(1）若次级线圈回路中是开路的，则初级线圈回路也没有电流。这与空心变压器是不同的。（2）理想变压器是只通过一个常数参数n（变压器变比或匝数比）描述的电路，而不是通过L1、L2和M参数，因此理想变压器是一静态元件。第五十三页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

若理想变压器的同名端的配置如图8-28所示，则变压器的电流、电压关系为：图8-29理想变压器的电路模型8.5理想变压器注意：初级线圈回路和次级线圈回路的端口参考电压、电流的定义方向不同，同名端的配置不同，得到的电压、电流的关系表达式是不同的。给出上述两种情况，其他情况自己思考。第五十四页，共六十九页，编辑于2023年，星期五由上面的式子可以得到：即：理想变压器既不消耗能量也不储存能量。若次级线圈回路的能量是通过初级回路输出的，则初级线圈输入的功率通过变压器可全部传送给次级回路的负载。8.5理想变压器第五十五页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

图8-29的理想变压器，次级回路接有负载ZL时，从初级端看的等效阻抗为：8.5理想变压器图8-29理想变压器的电路模型可见理想变压器除还有改变阻抗的性质。利用这一性质可使变压器次级端接的负载得到最大功率。例如，在收音机中将变压器接在功率放大器和扬声器之间，利用的就是变压器的变阻抗性质。第五十六页，共六十九页，编辑于2023年，星期五图8-30例11-7图8.5理想变压器和输出电压。例8-7在图8-30所示电路中，求电流解：次级回路的电阻折合到初级中的等效电阻为：第五十七页，共六十九页，编辑于2023年，星期五从电源端看的输入电阻为：电流：8.5理想变压器依据理想变压器的性质，得到：第五十八页，共六十九页，编辑于2023年，星期五例8-8已知由理想变压器组成的电路如图8-31所示。求输入等效阻抗。图8-31例8-8图8.5理想变压器解：依据理想变压器的性质，可得：负载的电流为：次级线圈的电流为：第五十九页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

初级线圈的电流为：电路的等效电阻为：8.5理想变压器图8-31例8-8图第六十页，共六十九页，编辑于2023年，星期五例8-9图11-32是用理想变压器给家庭供电的电路示意图。已知负载的分布是：100W的灯泡照明8个，350W的电视和15KW的厨房电器。若次级线圈匝数是72，计算初级线圈的匝数和初级线圈的电流Ip。图8-32例8-9图8.5理想变压器解：依据理想变压器的性质，得初级线圈的匝数为：因为变压器不消耗和储存能量，所以有：第六十一页，共六十九页，编辑于2023年，星期五若将变压器耦合系数近似为k=1，但电感L1、L2和M是有限值，称这样的变压器为全耦合变压器。8.6全耦合变压器如前所述，在要求不高或允许存在误差的情况下，可将实际铁心变压器抽象为理想变压器。例如电子设备中的电源变压器。对全耦合变压器，仍有：因为：所以：第六十二页，共六十九页，编辑于2023年，星期五

由上式：初级线圈的电流分为两部分，一部分是电感不为无穷大时产生的电流，相当于变压器负载开路时在初级线圈里的