结构力学弹性力学部分

结构力学弹性力学部分第一页，共八十页，编辑于2023年，星期五结构力学教程一、弹性力学基础

弹性力学是固体力学的一个分支学科，它研究弹性体在外力和其它外部因素作用下所产生的变形和内力。二、结构力学结构力学是工程力学的一个分支，它研究结构(杆系结构、薄壁结构等)在外力和其它外部因素作用下所产生的变形和内力。结构力学第二页，共八十页，编辑于2023年，星期五三、研究方法对比结构力学教程数学方法位移法应力法应变函数法等工程方法力法静定结构静不定结构位移法等结构力学第三页，共八十页，编辑于2023年，星期五基本假定

基本方法基本概念弹性力学第一部分基本方程基本解法基本问题能量原理第四页，共八十页，编辑于2023年，星期五1、研究内容研究对象：材料力学研究杆状弹性体在拉伸、压缩、剪切、弯曲和扭转作用下的变形和内力。弹性力学研究的对象则没有形状的限制。

第一章弹性力学础

第一章：弹性力学基础第一节引言

第五页，共八十页，编辑于2023年，星期五1、研究内容研究方法：材料力学除了采用一些基本假设外，还引进一些关于变形状态或应力分布的补充假设。弹性力学并不需要引进这样的假设。［例如］

第一章：弹性力学基础弹性力学的研究方法更为严密，所得的结果也比材料力学精确。

第一章弹性力学础

第一节引言

第六页，共八十页，编辑于2023年，星期五连续性假设——

认为构成物体的材料是密实无间隙的连续介质。因此，物体中的应力、应变、位移等物理量就可以看成是连续的，在数学上可以用连续函数来表示。第一章：弹性力学基础材料的匀质和各向同性假设

——

匀质指物体内各处材料的力学性质都相同，与各点的空间位置无关。各向同性指在物体内任一点处材料在各个方向的物理性质都相同。因此，反映这些物理性质的弹性系数不随坐标和方向而改变。2、弹性力学的基本假设

第七页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础2、弹性力学的基本假设

完全弹性假设——

假设材料是完全弹性的，且服从虎克定律定律，物体在外力作用下变形，除去外力后，物体完全恢复原状，没有任何剩余变形。同时应力与应变成正比。小变形假设——

假设物体在外力作用下引起变形而产生的位移，与物体最小特征尺寸相比是很微小的。这样，在研究物体受力后的平衡状态时，可不考虑物体尺寸的变化，而应用变形前的尺寸，这样就使得弹性力学的微分方程成为线性的。

第八页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础外力——作用在物体上的外力可分为体力和面力。体力：是分布在物体整个体积内的力，如重力、惯性力等。大小的表示、方向的表示、量纲为[力]／[长度]－3。面力：是作用于物体表面上的力，如流体压力、接触力等。大小的表示、方向的表示、量纲为[力][长度]－2。

3、弹性力学中基本概念应力—物体受到外力作用会在其内部引起应力。第九页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础应变——弹性体受力后，它是形状和尺寸都要改变，这种改变可以归结为长度的改变和角度的改变。3、弹性力学中基本概念各线段每单位长度的伸、缩称为正应变，用ε表示。

每两线段之间直角的改变称为剪应变，用γ表示。第十页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础位移

——

物体受力后，它内部各点将发生位置的移动。物体内任一点的位移用它在x、y、z三坐标轴上的投影u、v、w来表示，沿坐标轴正方向为正，反之为负。这三个投影称为该点的位移分量。

3、弹性力学中基本概念

一般而言，弹性体内任意点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量都是随点的位置不同而改变的，因而，都是点位置坐标的连续函数。以下的问题：就是寻求体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量四类分量之间的关系。第十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础现在的问题－

就是寻求体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量四类分量之间的关系。第十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础材料力学：采用截面法。弹性力学：采用微元体法。4、弹性力学的基本方程平衡方程

外力－应力几何方程

位移－应变物理方程

应力－应变第十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础平衡微分方程第二节基本方程

力矩平衡方程第十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础平衡微分方程第十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础2.1、几何方程

正应变剪应变第十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础2.2、刚体位移和位移边界条件

当物体的位移分量给定时，应变分量就完全确定了。反过来，当应变量给定时，位移分量却不能完全确定。

平面刚体位移：

以xoy投影面内PAB位移为例。令其应变分量为零来求出相应的位移分量

第十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础2、几何方程和变形协调方程

2.1、几何方程

几何方程:研究应变分量和位移分量之间的关系.在外力作用下，弹性体发生变形。弹性体中任一点P0，变形后移到了点P1，矢量就是点P0的位移，它在三个坐标轴上的投影分别用u、v、w表示，它们都是坐标的函数，见右图

第十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础2.3、变形协调方程

由几何方程可见，六个应变分量完全由三个位移分量对坐标的偏导数确定。因此，六个应变分量不是互相独立的，它们之间必然存在一定的关系。从物理意义上讲，就是在变形前连续的物体，变形后仍是连续的。第十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础2.3、变形协调方程

第二十页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础3、物理方程

前面导出了平衡微分方程和几何方程，适用于任何弹性体，与物体的物理性质无关。但仅有这两组方程还不能求解，还必须考虑物理学方面，建立起应变分量与应力分量之间的关系，这些关系式称为物理方程。

第二十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础3、物理方程

对于各向同性弹性体，可以证明仅有两个独立的弹性常数，其应变分量与应力分量之间的关系如下：右式也称广义虎克定律。式中E为材料拉压弹性模量，μ为泊松比，G为剪切弹性模量，而且三者之间如下式：第二十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础3、物理方程

以应力分量来表示应变分量的，若用应变分量来表示应力分量，其物理方程为第二十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础3、应力边界条件和圣维南原理

边界条件圣维南原理

位移边界条件应力边界条件

如果把作用在物体的一小部分边界上的力系，用一个分布不同但静力等效的力系（主矢量相同，对同一点的主矩也相同）代替，则仅在此边界附近的应力分布有显著的改变，而在距该区域较远的地方几乎没有影响。

第二十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础基本方程小结第二十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础第三节平面问题

1、平面应力和平面应变问题

平面应力问题平面应变问题几何特点厚度远小于板的长度和宽度

纵向尺寸远大于横向尺寸

受力特点面力、体力平行于板平面且沿板厚均匀分布面力垂直纵向且沿长度不变，约束条件沿长度也变应力、应变特点只有面内应力分量σx、σy、τxy存在，应变εz和位移w不为零

只有面内应变分量εx、εy、γxy存在，应力σz不为零第二十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五2、平面问题的基本方程（推导）（简化25）

第一章：弹性力学基础平衡方程

力边界

位移边界

几何方程

变形协调方程

第二十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五平面问题的物理方程第一章：弹性力学基础平面应力平面应变第二十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础2、平面问题的基本解法位移法:

以位移分量u和v作为基本未知函数，利用几何方程和物理方程，将应力分量用位移分量来表示，代入平衡微分方程、应力边界条件，就得到以位移分量为未知函数的定解方程、以及力边界条件。位移法、应力法、以及应力函数法第二十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础2、平面问题的基本解法应力法：以应力分量作为基本未知量，利用平衡微分方程和变形协调方程可共同确定这三个未知函数。在这三个方程中，两个平衡方程本来就是用应力分量表示的，尚需将应变分量表示的变形协调方程改为用应力分量表示，得到所需的第三个方程。位移法、应力法、以及应力函数法第三十页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础2、平面问题的基本解法应力函数法:位移法、应力法、以及应力函数法逆解法、半逆解法

第三十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础1.4用直角坐标解平面问题

一、多项式的应力函数:假设体力不计，即X=Y=0

1、一次式：

2、二次式：3、三次式：

4、四次式或四次以上多项式应力函数：

第三十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础

有一矩形截面的简支梁，长度为2l，高度为h，宽度取1，略去体力，受均布载荷q作用（如下图）。试求梁的应力、应变和位移分量。

二、承受均布载荷简支梁的弯曲

［解］

第三十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础一、极坐标中平面问题的基本方程

1.5用极坐标解平面问题

平衡方程

第三十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础几何方程

1.5用极坐标解平面问题

径向位移环向位移第三十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础几何方程

1.5用极坐标解平面问题

物理方程第三十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础二、极坐标下的应力函数和变形协调方程

1.5用极坐标解平面问题

常（无）体力情况下

第三十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础三、应力与极角无关的问题1.5用极坐标解平面问题

有些问题应力的分布对称于通过坐标原点o并垂直xoy平面的z轴，在这种情况下，应力与极角θ无关，而仅是r的函数，且由于轴对称，剪应力τrθ

=0，只有正应力σr和σθ。因此，应力函数也与极角θ无关，只是径向坐标的函数。

第三十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础三、应力与极角无关的问题1.5用极坐标解平面问题

无孔无体力，唯一可能的应力是均匀受拉或均匀受压；有孔则有其他解答。

第三十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础四、承受均匀压力的厚壁圆筒1.5用极坐标解平面问题

图1-19边界条件为:在r=a处，σr

=－qa,τrθ=0在r=b处，σr

=－qb,τrθ=0第四十页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础四、承受均匀压力的厚壁圆筒

1.5用极坐标解平面问题

1、圆筒只受外压

第四十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础四、承受均匀压力的厚壁圆筒

1.5用极坐标解平面问题

2、圆筒只受内压

第四十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础五、孔边的应力集中

1.5用极坐标解平面问题

第四十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础五、孔边的应力集中

1.5用极坐标解平面问题

应力解为:

孔边各点处应力分量σr和θr均为零,σθ的分布规律为:Y:

X:

第四十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础六、等厚度旋转圆盘中的应力

1.5用极坐标解平面问题

由于圆盘本身和受到的离心力都对称于圆盘的旋转轴，故为轴对称平面应力问题。不过和前面不同的是，体力不等于零，而是离心力。因轴对称，应力、应变和位移都与极角θ无关，只是r的函数。而平衡微分方程变成如下单个方程，第二式自行满足。第四十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础六、等厚度旋转圆盘中的应力

1.5用极坐标解平面问题

实心圆盘空心圆盘第四十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五第一章：弹性力学基础1、四个基本假定

小结

2、三类基本方程

3、两类边界条件

4、两种平面问题5、三种基本解法

6、用直角坐标解平面问题

7、用极坐标解平面问题

连续性假定均匀各向同性假定小变形假定完全弹性假定

平衡微分方程几何方程、变形协调条件物理方程力边界条件位移边界条件平面应力问题平面应变问题位移法应力法应力函数法受均布载荷简支梁的弯曲

三个例子

第四十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五Thankyouverymuch!第四十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五第四十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五材料力学解弹性力学解例1第五十页，共八十页，编辑于2023年，星期五例2第五十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五平衡微分方程的推导

第五十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五平衡微分方程第五十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五力矩平衡方程的推导

第五十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五剪应变推导第五十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五平面刚体位移的推导第五十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五平面刚体位移的推导

对于一般的三维弹性体，如果令其六个应变分量均为零，采用与上述类似的方法，可求出体内各点的位移分量，下式中u0、v0、w0分别为弹性体沿x、y、z三个坐标轴方向的刚体平动，ωx、ωy、ωz分别为弹性体绕x、y、z三个坐标轴的刚体转动。

第五十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五应力边界条件的推导

第五十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五应力边界条件的推导

第五十九页，共八十页，编辑于2023年，星期五圣维南原理应用举例圣维南原理虽然至今还没有得到确切的数学表示和严格的理论证明，但是，大量的实际计算和实验结果都证实了该原理是正确的。第六十页，共八十页，编辑于2023年，星期五平面应力问题

只有面内应力分量σx、σy、τxy存在，并且由于板很薄，只是坐标x、y的函数，而与坐标z无关。但应变εz和位移w不为零。第六十一页，共八十页，编辑于2023年，星期五平面应变问题

柱形体无限长任一横截面皆为对称面，即w=0、εz=0。由对称条件知γzx和γyz也为零。故只有平行于xoy坐标平面的三个应变分量εx、εy和γxy。但应力σz一般不为零。

第六十二页，共八十页，编辑于2023年，星期五平面问题的平衡方程的推导第六十三页，共八十页，编辑于2023年，星期五位移法第六十四页，共八十页，编辑于2023年，星期五应力法平面应力：将物理方程变形协调方程由平衡微分方程消去上式中的τxy第六十五页，共八十页，编辑于2023年，星期五

在一般情况下，平面应力问题归结为联立求解平衡方程（1-7）和变形协调方程（f）；平面应变问题则是求解平衡方程（1-7）和变形协调方程（g）。当体力为常值时，两类平面问题统一于求解平衡方程（1-7）和变形协调方程（1-13）。并使所得的解答满足应力边界条件（1-8）。

用应力法求解常体力的弹性力学平面问题时，所用的平衡方程、变形协调方程和边界条件都不含有反映材料性质的弹性常数，因而在解答中也不含有弹性常数。这表明，平面问题的应用分量σx、σy和τxy与弹性体的材料无关。这在进行平面问题的模型试验时，利用透明材料代替物体原来的材料制作模型，用偏振光测应力，就是以上述结论为根据的。

应力法第六十六页，共八十页，编辑于2023年，星期五应力函数法

特解：

通解：

第六十七页，共八十页，编辑于2023年，星期五应力函数法应力函数法求解：求解应力函数表示的变形协调方程。第六十八页，共八十页，编辑于2023年，星期五2、二次式：

应力分量σx=0、σy=2a,τxy=0。对应矩形板在y方向受均布拉压载荷的问题（图（a））